2025年中考数学一轮专题复习：二次函数综合（相似三角形问题）

2025年中考数学专题复习： 二次函数综合（相似三角形问题） 1．已知抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为（为常数，且），将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于B，D两点（点B在点D的左侧）． (1)求顶点A的坐标； (2)连接，若轴，求m的值； (3)如图，在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标． 5．如图，已知抛物线与轴交于、两点，交轴于点，，． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)连接，是线段上一点，点关于抛物线对称轴的对称点正好落在上，求点的坐标； (3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒． ①若，请求出的值； ②能否为等腰三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 6．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，过C作y轴的垂线交抛物线于点D，过D作x轴的垂线交x轴于点E，连接，P是第一象限抛物线上一个动点，设点P的横坐标为t． (1)求a，b的值； (2)过点P作交直线于点Q，求线段的最大值和此时点P的坐标； (3)点F在上（点F不与点C、点D重合），连接，过点E作于点K，的平分线交于点N．当直线经过的中点H时，点P也恰好在直线上，求此时点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线的图象相交于A、B两点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线的解析式为，且的面积为35，求k的值； (3)若，则直线必经过一个定点C，求点C的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值； (3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值； (4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上点，使的面积是3，请求出点的坐标； (3)在（2）中轴下方抛物线上点，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，抛物线的顶点为，连接，，，，求证：∽； (3)记抛物线位于轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出的取值范围． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点D，“过点P作x轴的平行线交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到新抛物线，且新抛物线经过线段的中点F，新抛物线与y轴交于点M，点N为新抛物线对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$