2025年中考数学一轮专题复习：二次函数综合（特殊三角形问题）

2025年中考数学专题复习： 二次函数综合（特殊三角形问题） 1．在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求过点三点的抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 2．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值； (3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． (1)求此二次函数的解析式． (2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． (3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． (4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 6．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，且 (1)求A，B 的坐标； (2)若D到A，B，C距离相等，求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形． 8．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 10．抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 11．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．    (1)直接写出b，c的值； (2)如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，且点恰好落在直线上，求点的坐标； (3)若点M是的中点，以点，，，为顶点的四边形的面积为． ①求S与m的函数解析式； ②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且． (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标： (3)在（2）的条件下，m取最大值时，找坐标轴上的点Q及坐标平面内的点N，当P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 14．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点是抛物线对称轴上一动点，点是直线上一动点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 15．如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上，且，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$