2025年数学中考复习二次函数与相似三角形问题专题提升训练

2025年数学中考复习 二次函数与相似三角形问题专题提升训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式和的度数； （2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分） 2．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥线段AC于点E． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，求线段DE的最大值； （3）如图2，连接CD、BC，当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，求点D的横坐标． 3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx2＋4mx＋4m＋6（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当m＝﹣6时，直接写出点A，B，C，D的坐标； (2)如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=，求m的值及直线DE的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点Q为OC的中点，连接AQ，动点P在第二象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线．垂足为H，交AQ于点M，过点M作MN⊥DE，垂足为N，求PM＋MN的最大值． 6．如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点，抛物线与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)若点是抛物线上的任意一点，设点P到直线的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； (3)若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，求的最小值． 7．如图，抛物线，抛物线交轴于点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)若，点，且满足，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，作轴，交轴于，试说明、、在同一条直线上； (3)过点作轴，交轴于，若、、始终在同一条直线上，求、之间满足的数量关系． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．    (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长． 9．如图（1），抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，D是抛物线上一点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标：A______，B______，C______； (2)若点D到直线的距离等于t，当t为何值时，这样的D点有且仅有3个； (3)如图（2），当D在第二象限时，连接，，若，求D点坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在原点右侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．    (1)求A、B、C三点坐标； (2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标； (3)坐标轴上是否存在点G，使以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标：若不存在，请说明理由． 11．如图，边长为3的正方形OABC的两边在两坐标轴上，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C，与x轴交于另一点D，P为第一象限内抛物线上一点，过P点作y轴的平行线交x 轴于点Q，交AC于点E. (1)求抛物线解析式及点D的坐标； (2)过E点作x轴的平行线交AB于点F，若以P，E，F为顶点的三角形与△ODC相似，求点P坐标； (3)过P点作PH⊥AC于H，是否存在点P使△PEH的周长取得最大值，若存在，请求出点P坐标及△PEH周长的最大值，若不存在，请说明理由. 12．已知抛物线经过点A（3，2），B（0，1）和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若，求点F的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，直线与抛物线相交于A和B（4，n）两点，点P是抛物线位于线段AB上方异于点A，B的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交线段AB于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）在P点运动过程中，线段PQ的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）直线AB与y轴交于点C，与x轴交于点D，若△PBQ与△ODC相似，求点P的坐标． 14．已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式　　； (2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标； (3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为　　． 15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x-c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P． （1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标； （2）求∠CAB的正切值； （3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$