2025年中考数学高频压轴题突破——二次函数与线段周长问题_

2025年中考数学高频压轴题突破 二次函数与线段周长问题 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标； （3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标. 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． 图1                     图2                          图3 (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标； (2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长； (3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点． (1)填空： ； ． (2)若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时： ①求点M的坐标； ②求外接圆圆心F的坐标． (3)在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线两点，过点，且交x 轴于点，B交y 轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是抛物线对称轴右侧，直线上方抛物线上的一动点，过点P 作于点M， 过点P 作 x 轴的平行线交抛物线于点N，求的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线平移个单位长度，Q 为平移后的抛物线上一点，使得，直接写出 Q 点的横坐标． 7．已知在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点F为的对称轴上任意一点，若以点B、C、F为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出符合条件的点F的坐标． 8．抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围． 9．如图，二次函数与轴交于点和点，与轴交于点，与一次函数交于点和点．    (1)求出、、的值； (2)若直线上方的抛物线存在点，可使得面积最大，求点的坐标； (3)点为线段上的一个动点，点到（2）中的点的距离与到轴的距离之和记为，求的最小值及此时点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且，．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交于D，交直线于点G，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图所示，一次函数分别交x，y轴于A，C两点，抛物线与经过点A，C． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若P为抛物线上A，C两点间的一个动点，过点P作直线，交直线AC于点Q，当点P运动到什么位置时，线段PQ的长度最大？求此最大长度，及此时P点坐标． （3）在（2）条件下，直线与轴交于N点与直线AC交于点M，当N，M，Q，D四点是平行四边行时，直接写出D点的坐标． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，经过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形，抛物线经过A，C两点，点P为抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作轴交y轴于点F，轴交x轴于点E，设点P的横坐标为m， (1)求抛物线的解析式 (2)当抛物线在矩形内部的部分y随x的增大而减小时，m的取值范围为_______． (3)当P点在第一象限，矩形与正方形重叠部分图形的周长为． ①若时，函数的最小值为，求m的值； ②当时，求与m之间的函数关系式． 14．已知抛物线（a，b，c是常数，，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C．动点P和Q以相同的速度从坐标原点O同时出发，分别在线段上向点B，C方向运动． (1)若； ①求点D的坐标； ②过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，当四边形为矩形时，求点E的坐标： (2)若点，过点C作直线l平行于x轴，直线l与抛物线交于点F（不与点C重合），连接，当的最小值为时，求点F，Q的坐标． 15．已知抛物线与x轴只有一个公共点、交y轴于点，且对称轴在y轴右侧， (1)求抛物线的顶点坐标； (2)直线与该抛物线相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为C． ①若点A，B的横坐标分别为1和4，求的面积； ②过点A作轴，垂足为E，延长交直线于F，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$