2025年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

2025年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题 一、解答题 1．如图，抛物线与x轴、y轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标； （3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，顶点为点． (1)写出二次函数的对称轴及点的坐标； (2)当的面积为3时，求的值； (3)如图，点，，，当抛物线与的边只有2个公共点时，求的取值范围． 4．如图1，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，且点坐标为，.                    图                                          图                                         图 （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，为第四象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，延长交轴于点，连接，直线与轴交于点，与交于点，且，点在上，，若，求点的坐标. 5．已知抛物线：是由抛物线：平移得到的，并且的顶点为（1，－4） （1）求的值； （2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的坐标； ②若PA＝PQ，求点P的横坐标． （3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为16，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．    6．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C． (1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式； (2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标； (3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F； ①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； ②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y． （1）求直线AB的解析式； （2）求y与x的函数关系式； （3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的； （4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由． 8．如图，抛物线经过、两点，点是线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)抛物线与轴的另一个交点为点，在抛物线上是否存在一个动点，使得 ？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点． （1）求直线AB和这条抛物线的解析式； （2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积． 10．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． (3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与直线交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m． （1）求b的值； （2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围； （3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标； （4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标． 12．定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点． 已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）． （1）直接写出点A、C的坐标； （2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式； ②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由； （3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标． 13．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为A（﹣1，0），另一交点为B，与y轴的交点坐标为C（0，3）． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求出顶点D的坐标以及S△BCD面积； （3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 14．如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点． ①当点的横坐标为2时，求四边形的面积； ②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 15．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合） (1)求抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$