2025年中考数学专题复习：二次函数综合（特殊三角形问题）

2025年中考数学专题复习： 二次函数综合（特殊三角形问题） 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，且以A，B，C为顶点组成的三角形是等边三角形． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点F在线段上，且，经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点P，与线段交于点E，求的最大值． 2．若抛物线交x轴于交y轴于 (1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． (2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． (3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 3．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． 　备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 4．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且． (1)求直线和直线的解析式； (2)点P是线段上一点，点D是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点G，过点P作轴于点E，于点F．当与的乘积最大时，在线段上找一点H（不与点A，点B重合），使的值最小，求点H的坐标和的最小值； (3)如图2，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是t（），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 7．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 9．如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图， 抛物线  经过坐标原点O，且顶点为， (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴正半轴的交点为，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接、，若 求点的坐标． (3)抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图， 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线经过点， 两点，与x轴交于点B． (1)求此抛物线的解析式； (2)点 D 是第二象限的抛物线上的一个动点，求使 面积最大时点D的坐标； (3)设点M为此抛物线的对称轴上的一点，求使 为直角三角形的点M的坐标． 13．如图，二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向终点B运动．当点P运动到线段上时，过点P作轴，交线段于Q，交抛物线于点D，设运动的时间t秒．    (1)求a，b的值． (2)连接，当t为何值时的值最大，此时的面积为多少？ (3)作线段的垂直平分线交直线于点M，连接，随着点P的运动，当点M在直线的上方且时，求点D的坐标． 14．如图1，已知抛物线C：与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点D． (1)直接写出A，B，D三点的坐标； (2)如图1，点M是抛物线在第二象限上一点，连接和，交于点N，若的面积比的面积大4，求点M的坐标； (3)如图2，在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作，垂足为点M；过点P作，交抛物线于另一点N．若，求点P的坐标． 15．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点是直线下方抛物线上一动点，分别连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的2倍时，求点的坐标； (3)如图2，点是轴上的动点，过点作轴的垂线，与抛物线、直线分别交于点、，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标； (4)将线段沿轴的负方向平移得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点为点关于轴的对称点，连接、，在线段平移过程中，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$