精品解析：2023-2024学年人教版八年级数学下册期末复习测试题

人教版八年级数学下册期末复习 数学试题 考试时间：120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，总分30分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴能够组成直角三角形，该选项符合题意； 、∵，， ∴， ∴不能够组成直角三角形，该选项不合题意； 、∵，， ∴， ∴不能够组成直角三角形，该选项不合题意； 、∵，， ∴， ∴不能够组成直角三角形，该选项不合题意； 故选：． 2. 小明同学连续5次测验的成绩分别为：118，122，120，118，127（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（ ） A. 118和120 B. 118和122 C. 120和121 D. 118和121 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与平均数的求解，根据众数与平均数的定义进行求解即可． 【详解】解：小明连续5次成绩为118，122，120，118，127，分数118出现两次，次数最多， 众数为118， 平均数， 故选：D． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. x<-3 B. x≥-3 C. x>2 D. x≥-3，且x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到x+3≥0且x-2≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得x+30且x−2≠0， 所以x的取值范围为x−3且x≠2. 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件. 4. 如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点，．若，则的值是（ ） A. 50 B. 64 C. 100 D. 121 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，依据平行四边形的性质以及角平分线的定义即可得到， 和的长，进而得出的长；最后根据勾股定理进行计算即可得到结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， ， 又， ， 同理可得，， ， ， ， 又和的平分线交于点， ， ， 中，， 故选：B． 5. 甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法分别求出、关于x的函数关系式，再将分别代入求值，最后比较即可． 【详解】根据题意可设， 将(1200，960)代入，得：， 解得：， ∴； 当时，设， 将(200，200)代入，得：， 解得：， ∴此时． 当时，设， 将(200，200)，(1200，900)代入，得：， 解得： ∴此时，． ∴． 当时，； ． ∵496>494， ∴从省钱的角度建议选择乙商场． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 6. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：依题意，从数轴得出 ∴ ， 故选：B． 7. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，以及完全平方公式和几何图形面积结合，正确掌握平方差公式，以及完全平方公式的特点是解题的关键，根据题意由勾股定理可得，，再利用完全平分公式，平方差公式，以及其公式变形求解，即可解题． 【详解】解：由题和勾股定理知，，， 故A项错误，不符合题意； ， ，解得， 故B项正确，符合题意； 有， 故C项错误，不符合题意； ，，表示直角三角形的两直角边， ， ， 故D项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ） A. 24 B. C. 27 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算的应用，设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，，根据题意，，，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，， 根据题意，，，即， 由得 ， 即， 故选：C． 9. 已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种． 【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值， 联立两直线解析式：， 解得， 把代入或解析式求得． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为135°，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故④正确，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确； 假设， ∵ ∴， 则点P与点C重合， 此时不存在，故②错误； 取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故③正确； ∵， ∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，值为或；故④正确； 综上分析可知，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总分18分） 11. 已知实数a满足，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，则当时，不满足，当时去绝对值，进而可得． 【详解】解：∵ 当时， ∵要有意义， ∴， ∴， ∴，， ∴此时不可能满足； 当时 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 13. 如图，在等边中，过点C作，与的平分线交于点D，过点D作，交于点E，若，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，等边三角形的性质等等，过点E作于F，先证明四边形是矩形，得到，再解得到，解得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形，平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案：． 14. 函数的图象经过点，则函数值y随着x的增大而 _______．（填“增大”或“不变”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出k值是解题的关键．由函数的图象经过点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，由，利用一次函数的性质，即可得出函数值y随着x的增大而减小． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得：． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小． 故答案为：减小． 15. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是____． 【答案】丁 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：因为，，，， 所以，由此可得成绩最稳定的为丁． 故答案为：丁． 16. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段上的两个动点，，，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，过点N作轴于点H，交于点T，连接交于点C，交y轴于点D，此时，周长最小，即可求解． 【详解】解：由一次函数的表达式得，点， ， 则， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 过点N作轴于点H，交于点T，连接交于点C，交y轴于点D，此时，周长最小， 理由：周长为最小， 在中，， ， 则， ， 中， ， ， 则点， 由点的坐标得，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17. （）计算：． （）先化简，再求值：，其中． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的运算法则和性质、完全平方公式分别运算，再合并即可求解； （）由可得，进而化简分式，最后把的值代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 18. 如图，已知在中，于，，，． （1）求的长； （2）判断的形状． 【答案】（1）； （2）是直角三角形． 【解析】 【分析】（）由垂直可得，利用勾股定理可得，进而可得； （）由，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可判断求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 19. 如图，四边形是平行四边形，过中点O且交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，且，即可证； （2）由可得，，即可证四边形是平行四边形，且，可证平行四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，熟练掌握这些性质是解决本题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形 ，， ， 是中点， ， ，，， ∴； 【小问2详解】 解：添加条件是，四边形是矩形． 理由如下： ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 20. 济南某社区为倡导健康生活，推进全民健身，去年购进A，B两种健身器材若干件．经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件． （1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？ （2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且B种健身器材的数量不少于A种健身器材的4倍，请你确定一种购买方案使得购进A，B两种健身器材的费用最少． 【答案】（1）A，B两种健身器材的单价分别是240元，360元 （2）购买A种健身器材12件B种健身器材48件时费用最小 【解析】 【分析】（1）设A种健身器材的单价为x元/件，B种健身器材的单价为1.5x元/件，根据“用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件”，列出分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买A种健身器材m件，则购买B种的健身器材（60-m）件，B种健身器材的数量不少于A种健身器材的4倍列出不等式和购买两种器材的费用列出函数关系式然后进行讨论即可． 【小问1详解】 设A种健身器材的单价为x元，B种健身器材的单价为1.5x元， 根据题意得： ﹣ ＝15， 解得：x＝240， 经检验x＝240是原方程的解，且符合题意， 则1.5×240＝360（元）， 答：A，B两种健身器材的单价分别是240元，360元； 【小问2详解】 设购买A种型号健身器材m件，则购买B种型号的健身器材（60﹣m）件，总费用为y元， 根据题意得： ， 解得：0≤x≤12， y＝240m+360（60﹣m）＝﹣120m+21600， ∵﹣120＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴当m取最大值12时，即购买A种器材12件，购买B种健身器材60﹣12＝48件时y最小． 答：购买A种健身器材12件B种健身器材48件时费用最小． 【点睛】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，关键是找准数量关系列出方程和函数关系式以及m的取值范围． 21. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 160 a b 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 【答案】（1）175；170 （2）估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀； （3）该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数以及用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． （1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）用总人数乘样本中1分钟跳绳175次及以上所占比例即可； （3）根据中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：在被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，175出现的次数最多，故众数； 把被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是168，172， 故中位数． 故答案为：175；170； 【小问2详解】 解：（名， 答：估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀； 【小问3详解】 解：， 该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生． 22. 阅读下列解题过程：，，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出__________； （2）观察上面的解答过程，请写出__________； （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，正确根据规律化简各式是解题关键． （1）直接根据题意将式子分母有理化，即可解题； （2）直接根据题意将式子分母有理化，即可解题； （3）先根据题意将式子分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算，即可解题； 【小问1详解】 解：； 故答案为：． 【小问2详解】 解：； 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 23. 如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． （1）求证：； （2）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查动点问题及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键． （1）由垂直得，在中，，由，可得，即可证明结果； （2）分类讨论：①当，②当，③当即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当时， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即； ②当时，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ③当时，此种情况不存在， 综上所述，当或时，为直角三角形． 24. 如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． （1）若点的坐标为，求所在直线的解析式； （2）求； （3）如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据题意易得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，设所在直线的解析式为，利用待定系数法，求解直线的表达式即可； （2）过点作于点，作，交于点，交轴于点，由题意得，，，，证明为等腰三角形，可得，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：当点在边上时，解得，进而可得，即可确定点坐标；当点在的延长线上时，同理可得，进而确定，的值，即可确定点坐标． 【小问1详解】 解：如下图，过点作于点， ∵，且过点作轴于点，作轴于点， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：过点作于点，作，交于点，交轴于点， 由题意得，四边形为正方形，为矩形， ∵，， ∴，，， 根据正方形的对称性，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； 小问3详解】 当点在边上时，如下图， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即， ∴， 则， 则点； 当点在的延长线上时，如下图， 同理可得：， ∴在中，， ∴， ∴， 则． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版八年级数学下册期末复习 数学试题 考试时间：120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，总分30分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　） A B. C. D. 2. 小明同学连续5次测验的成绩分别为：118，122，120，118，127（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（ ） A. 118和120 B. 118和122 C. 120和121 D. 118和121 3. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围为（ ） A. x<-3 B. x≥-3 C. x>2 D. x≥-3，且x≠2 4. 如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点，．若，则的值是（ ） A. 50 B. 64 C. 100 D. 121 5. 甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 不确定 6. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ） A. 24 B. C. 27 D. 9. 已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ） A 4 B. 3 C. D. 10. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总分18分） 11. 已知实数a满足，则的值是______________． 12. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ______． 13. 如图，在等边中，过点C作，与的平分线交于点D，过点D作，交于点E，若，则的长为_________． 14. 函数的图象经过点，则函数值y随着x的增大而 _______．（填“增大”或“不变”或“减小”） 15. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是____． 16. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段上的两个动点，，，则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17 （）计算：． （）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知在中，于，，，． （1）求的长； （2）判断的形状． 19. 如图，四边形是平行四边形，过中点O且交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 20. 济南某社区为倡导健康生活，推进全民健身，去年购进A，B两种健身器材若干件．经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件． （1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？ （2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且B种健身器材的数量不少于A种健身器材的4倍，请你确定一种购买方案使得购进A，B两种健身器材的费用最少． 21. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 160 a b 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 22. 阅读下列解题过程：，，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出__________； （2）观察上面的解答过程，请写出__________； （3）利用上面的解法，请化简： 23. 如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． （1）求证：； （2）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 24. 如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． （1）若点的坐标为，求所在直线的解析式； （2）求； （3）如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$