2024年中考数学专题训练—二次函数与特殊三角形问题

2024年中考数学专题训练— 二次函数与特殊三角形问题 1．如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的值最小，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上找到一点Q，使是等腰三角形．请直接求出Q点坐标． 2．已知开口向下的抛物线与x轴的交点为A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，OC＝3OA． (1)求出该抛物线的解析式； (2)在抛物线第四象限上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于△PBC的面积的3倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，经过点P的直线交对称轴于G，作PH⊥PG，交对称轴于H，当直线PG与抛物线有且只有一个交点P时，求证△PGH的外心一定是某个定点，并求出这个定点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中OA＝2，OB＝4，将△OAB绕点O顺时针旋转90°至△OCD，若已知抛物线过点A、D、B （1）求此抛物线的解析式； （2）连结DB，将△COD沿射线DB平移，速度为每秒个单位. ①经过多少秒O点平移后的O′点落在线段AB上？ ②设DO的中点为M，在平移的过程中，点M、A、B能否构成等腰三角形？若能，求出构成等腰三角形时M点的坐标；若不能，请说明理由. 4．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线y＝ax2+bx﹣2的图像经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求A、B、C点的坐标； (3)求证：△ACB是直角三角形； (4)P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点和点的坐标； (2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上求点，使是以为直角边的直角三角形． 7．已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F． (1)求b和c的值及点C的坐标； (2)求证∶ (3)是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 8．如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且． (1) 求证：是⊙O的切线． (2) 若⊙O的半径为,,设． ①求关于的函数关系式． ②当时，求的值． 9．已知二次函数的图象经过点（2，1）． （1）求二次函数的解析式； （2）一次函数的图象与二次函数的图象交于点A（，），B（，）两点 ①当时（图①），求证：△AOB为直角三角形； ②试判断当时（图②），△AOB的形状，并证明； （3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）． 10．如图，抛物线经过、，点在抛物线上，轴，且平分． (1)求抛物线的解析式； (2)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求线段的最大值； (3)抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 11．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求抛物线的解析式； (3)绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标． 12．抛物线与轴交于点A，点B（1，0），与轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点． （1）求抛物线解析式； （2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D的坐标； （3）直线 ()与x轴相交于点H．与线段AC，AM和抛物线分别相交于点，，．证明线段，，总能组成等腰三角形. 13．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．    (1)求此抛物线的解析式； (2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________； (4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________． 14．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，点D与点C关于直线MN对称，若，求点P的坐标． (3)直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$