上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷

上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测 高三数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大恩共有12题，满分54分，第1-6慰每题4分，第7-12题每恩5分) 1.直线x-√5y+1=0的倾斜角大小为 2在( 的展开式中，含x项的系数为 3.已知类合s小， 集合B=(-l,0,1,2,3}，则A∩B=」 x+2y=4 4.若关于x,y的方程组 有唯一解，则实数a满足的条件是 3x+y=6 5.已知x,yeR,则"|x-yF|x+ly川”是“y<0"的 条件. 6.已知ab=1,4a2+9b2的最小值为 7,从1,2,3,4,5这五个数学中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数 的概率为 8已知函数/儿)=2"+1.且8-o8,+x20 1(-x),x<0 则方程8(x)=2的解是 9.已知集合A={到-引引B=m+1sx≤3mme风，若AB=A,则m的取值范 围是 10。甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比春结束时，负的一 方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为)，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁 判，则前4局中乙恰好当一次栽判的概串是 11.设O为坐标原点，P是以F为焦点的地物线y2=2px(P>0)上任意一点，M是线段PF上的点 且PM=4MF,则直线OM斜率的取值范因是 12.对于定义在D上的函数y=∫(x),若阿时满足： ()对任意的x∈D,均有f(-x)+f(x)=0: (2)对任意的名∈D,存在x∈D,且为2≠-x,使得(x)-名=为一八x)成立。 1 则称备数y=f化)为“等均”路数。下列通旅中，①)=x1®心) ③f)=2Q寸)=sinx,“等均函数的序号是」 二、选择题（本大题共有4恩，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16思每题5分) 13.若实数a,b满足a>b>0,则下列不等式中恒成立的是（) A号+2b>2W西·B+2b<26Ca+b>2a画 D.a+b<2√ab 14.在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比套中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始 分，经过“去掉其中一个最高分和一个数低分”处理后，得到4个有效分.则经处理后的4个有效分 与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（) A,平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 15.如图所示，在正方体ABCD-ARC,D中，M是棱AM,上-点，若平面MBD与棱CC,交于点N, 则下列说法中正确的是（） A.存在平面MBND,与直线BB垂直 B.四边形MBND可能是正方形 C.不存在平面MBND与直线AC,平行 D.任意平面MBND,与平面4CA垂直 16.已知无穷数列{a,)的各项均为实数，S.为其前n项和，若对任意正整数k>2024都有 IS,以SI,则下列各项中可能成立的是() A.a·a·0y·…,a.4为等差数到，4，a,a。·…,a为等比数列 B.马，马·a’…,a1为等比数列，4，a4,a4·…，a2.为等差数列 C.4,a,a·…,a如4为等差数列，ama·am·…,0,，…为等比数列 D.4,a,·马·…，0为$比数列，04·a抛，·，an·…为等差数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 2 17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABD为梯形，ABIICD,∠BAD=6O, AD=AB=2,CD=4. (1)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能， 请写出作图过程并给出证明：如果不能，请说明理由： (2)若四梭推P-ABCD的体积是2√5，求直线BP与平面P(D 所成角的大小。 18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 记Sn为数列{a}的前n项和，已知a=l, }是公为时的数别 (1)求{a}的通项公式： (2)证明： +⊥+…+1<2 19.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小恩满分7分) 汽车智能铺助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用衙达测出车辆与前方碎碍物之间的 距离（并结合车速转化为所需时问），当此距高停于报警距高时就开始报警提醒，等于危险距离时就 自动刻车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间。、人的反应时同 系统反应时间12、制动时间，相应的距离分别为d。、d、d2、d·当车速为v(米/秒)，且 v∈[0,33.3]时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而资化， ke0.5,0.9]). 概停见高 d 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 。 41=0.8秒 43=0.2秒 3 距离 4。=20米 d 43 米 20k 3 (1)请出报整距离d(米)与车速v(米/秒)之间的阴数关系式d(w):并求k=0.9时，若汽 达到报警距离时入和系统均不采取任何制动招施，仍以此速度行驶，则丫作撞上囿定障码物的及 短时间、（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽的行驶速度应限制在 多少米/移以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？ 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 知略调T:活±岁1(a>b>0)的左、右焦点分别为斤、·点7L色 椭圆上，且|TFI+TF2=4. (1)求椭圆Γ的方程； 【2)过点0,0)作斜率为k的直线1交椭圈T于M、N两点，若OM.O丽=-，0为坐标原点， 求直线I的方程： (3)应P、Q为椭圆r上的两个动点，0为坐标原点，若直线OP、02的斜本之积为-片， 求证：IOP?+|O2为定值. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题分8分) 设函数f(x)=x+kln1+x)(k≠0)，直线I是曲线y=f(x)在点（化，f()(>0)处的切线。 (1)当k=-1时，求f(x)的单调区间： (2)求证：1不经过点(0,0)： (3)当k=1时，设点A(,f)(>0),C(0,f(),0(0.0),B为1与y轴的交点，Sa0与S 分别表示△ACO与△4B0的面积，是否存在点A使得2Sak0=15S40成立？若存在，这样的点A 有几个？ 上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测 高三数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 2.5 3.{-1,0 4.a≠6 5.必要不充分 6.12 号 8.3 m号 e月 「11] 山2刘 12.①③ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.C14.D15.D16.C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1)不能。 因为梯形ABCD中，AB/CD,AB=2,CD=4 所以AD不平行于BC,则AD与BC必相交于一点，设为M, ∴.ADn面PBC=M, ∴.在侧面PBC中不能作AD的平行线. (2)过点B作BH⊥CD于H,连接PH 因为PD⊥平面ABCD,BHC平面ABCD,所以PD⊥PH 所以BH⊥平面PCD,所以PH是BE在平面PCD内的射影 所以∠BPH是直线BP与平面PCD所成角 因为△ABD中，AB=AD=2,∠BAD=60所以△ABD是等边三角形 所以∠ADB=60°，BD=2 又因为AB/CD,所以∠ADC=120°，所以∠BDC=60° 所以RTABDH中，BH=√3，DH=1, 又因为四棱锥P-ABCD的体积是2V3, 所以V=兮h=号2+45-h=2V5,解得有=2 32 1 所以RT4BPH中，PH=√PD2+DH2=5,BH=√5 tan LBPH BH =B3_ PH 55 直线BP与平面PCD所成角大小是arctan 15 5 18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 解：4)三=n+2 →n=n+ 34 当n22时，S-= 3a，作差=n+1 n+1 a-n-1 累加得品=n(n+ n(n+1) 2 ,a满足an，∴.an= 2 a az a。 19.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 解：(1)由题意得d()=d。+d+d2+d3…1分 ∴.d(v)=20+v+ …3分 20k y2 当k=0.9时，d(y)=20+v 18 ……4分 -29+8+121+2i8 20=1+2.@ y18 =3.1(秒)…7分 3 (2)根据题意，要求对于任意k∈[0.5,0.9]，d(v)<80恒成立，…9分 即对于任意ke[0.5,0.9],20+v+ y<80即L<601 二恒成立， 20k 20k7 由k∈[0.5,0.9]得 1,11 20ke81司 1s601 10v2v 即v2+10v-600<0 …12分 解得-30<v<20∴.0≤v<20(米/秒)， …13分 20x3600=72(千米/小时) 1000 ∴.汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时…14分 2 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 解：(1) :搭圆：芳+卡=e>b>0啪左右焦点分别5、， 在椭圆T上，叫TF+TF到-4. 2a=4 解02 1b=1 椭圆的方程号+y2=1 (2)设(x,y),N,) 根据题意得，Fk(x1), [y=k(x-1) 与y=联这三整理可+4-8+4-4=0 4 14 8k2 X1+x2 根据韦达定理可得 1+4k国 4k2-4 x=1+4k oN.0示=x+%=x5+-x-x)=+-k(+)+k=-2@ 将①代入②，解得仁±1， 即直线1的方程为y=x1或y=-1分 (3)证明：设直线0y=kx, 联立方程组{，y=: x2+4y2=4得r2=4 1+4k2 “oPr=x+y2=1+=4+ 1+4k2 又直线0：y=衣，同星可得0g-1 4k2+1 o叶pgr-+张芹-伪定值 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 3 解当k1时，)=本>-) 得∫(x)的单调增区间是(0，+∞)，单调减区间是(-1,0)： @,问=x+t0+对k*0.r1+本 1y-+h0+-（+在，}x-) 鉴理得y-+奔品+a+k* 酸设过原点，宁千名+(1+小=0+ 11 设F0=h+小，F0):+可0+0 所以F)在(0+m)上严格增，F>0,六h1+0>1 一与*式矛盾。 所以不经过原点。 (3)A,t+ln(1+t),C(0,1+n1+),由(2)知k=1时， a+） 2c=15xcC=1x cl ∴.2oC|=15l0Bl 即2+0+=15n6+-2-3e+0=0 设gt0=2x-13ne40+t>0） g0=242-9%+4_21-10c-4到 (t+1)2(t+1)2 极大值份}6-13h号>0，极小值g倒-=20-13加5<0 又g(图)=16-13n9+40>0所以g0在(0，+四)上有丙个零点. ·存在点A使得2 SMCO=15SAMB0且点A有两个， 4