专题2.25 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.25 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】与数轴上的动点问题相关的基本概念 1、数轴上两点间的距离：即为这两点表示的有理数差的绝对值：，其中a、b分别表示两点点表示的数，d为两点间的距离； 2、两点中点公式:在数轴上，A、B两点表示的数为，线段AB中点点C表示的数为，点C表示的数为； 3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的表示的数，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b； 4、数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【知识点二】数轴上的动点问题基本解题思路和方法: 1、表示出题目中动点运动后的点表示的数(一般用含有时间t的式子表示)； 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)； 3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程（也可分类讨论）； 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 【题型目录】 【题型1】数轴上动点表示的数........................................................2 【题型2】数轴上两点之间距离........................................................2 【题型3】数轴上动点问题基础题......................................................2 【题型4】数轴上动点问题综合题......................................................3 【题型5】数轴上动点问题压轴题......................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】数轴上动点表示的数 【例1】数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】数轴上有一个动点向左移动2个单位长度到达，再向右移动4个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为 ． 【变式2】数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【题型2】数轴上两点之间距离 【例2】（20-21七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为8，则 ． 【变式1】在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（   ） A．PB B．OP C．OQ D．QB 【变式2】（23-24七年级上·江西宜春·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【题型3】数轴上动点问题基础题 【例3】（20-21七年级上·福建漳州·期末）如图，点，在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为． （1）当点运动到点处时，求的值； （2）求的长（用含字母的代数式表示）． 【变式1】（21-22七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【题型4】数轴上动点问题综合题 【例4】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【变式1】（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）如图所示的数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 若一动点 从点 以每秒 个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为 秒，当 之间的距离为 个单位长度时， 的值为（　　）    A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 【题型5】数轴上动点问题压轴题 【例5】（22-23七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ； (2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ； (3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？ 【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【变式2】如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t= 秒. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.25 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】与数轴上的动点问题相关的基本概念 1、数轴上两点间的距离：即为这两点表示的有理数差的绝对值：，其中a、b分别表示两点点表示的数，d为两点间的距离； 2、两点中点公式:在数轴上，A、B两点表示的数为，线段AB中点点C表示的数为，点C表示的数为； 3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的表示的数，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b； 4、数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【知识点二】数轴上的动点问题基本解题思路和方法: 1、表示出题目中动点运动后的点表示的数(一般用含有时间t的式子表示)； 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)； 3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程（也可分类讨论）； 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 【题型目录】 【题型1】数轴上动点表示的数........................................................2 【题型2】数轴上两点之间距离........................................................3 【题型3】数轴上动点问题基础题......................................................4 【题型4】数轴上动点问题综合题......................................................6 【题型5】数轴上动点问题压轴题......................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】数轴上动点表示的数 【例1】数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 【变式1】数轴上有一个动点向左移动2个单位长度到达，再向右移动4个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．可设这个数是，则． 解：设点对应的数为， 则：， 解得：， 所以点表示的数为， 故答案为：． 【点拨】本题考查数轴，掌握数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加是解题的关键． 【变式2】数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． 【题型2】数轴上两点之间距离 【例2】（20-21七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为8，则 ． 【答案】4 【分析】根据数轴上两点间的距离与绝对值的关系，列出式子，再化简绝对值，求解即可． 解：∵点A表示的数是，点表示的数是，两点的距离为8， ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了数轴两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是本题的解题关键． 【变式1】在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（   ） A．PB B．OP C．OQ D．QB 【答案】C 【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知，，，然后分分类讨论：①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答. 解：设运动时间为t秒， 由题意可知：，，，， ①当动点P、Q在点O左侧运动时， ， ∵， ∴； ②当动点P、Q运动到点O右侧时， ， ∵， ∴， 综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的整数倍， 故选：C. 【点拨】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用. 【变式2】（23-24七年级上·江西宜春·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． 【题型3】数轴上动点问题基础题 【例3】（20-21七年级上·福建漳州·期末）如图，点，在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为． （1）当点运动到点处时，求的值； （2）求的长（用含字母的代数式表示）． 【答案】（1）4；（2）8-2t或0或2t-8 【分析】（1）利用A，B两点的距离除以点P的运动速度即可； （2）当点P在点B左侧，点P与点B重合，当点P在点B右侧，三种情况分别求解． 解：（1）[6-（-2）]÷2=4， ∴当点运动到点处时，t=4； （2）由题意可得： AP=2t， 则点P表示的数为-2+2t， 则当点P在点B左侧时，PB=6-（-2+2t）=8-2t； 当点P与点B重合时，PB=0； 当点P在点B右侧时，PB=-2+2t-6=2t-8． 【点拨】本题考查了数轴表示数的意义，数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点距离的计算方法． 【变式1】（21-22七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解． 解：当点M在原点左边， 由题意得：2（6-3t）=4+t， 解得：t=； 当点M在原点右边， 由题意得：2（3t-6）=4+t， ∴t=， 故选C． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离．根据题意易得动点表示的数为，动点表示的数为，则，，列出方程求解即可得出答案． 解：根据题意得，动点表示的数为，动点表示的数为， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 【题型4】数轴上动点问题综合题 【例4】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)，；(2)当点运动秒时，点与点相遇. 【分析】（）根据两点之间的距离为个单位列式即可解答； （）设点运动秒时追上点，根据题意列出关于的方程即可解答； 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程等知识点，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题的关键． 解:（1）解：∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，， ∴数轴上点表示的数是， 由题意得：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）设点运动秒时追上点， 根据题意得：， 解得：， 答：点运动秒时，点与点相遇． 【变式1】（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）如图所示的数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 若一动点 从点 以每秒 个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为 秒，当 之间的距离为 个单位长度时， 的值为（　　）    A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒 【答案】D 【分析】根据数轴上点的运动规律及数轴上两点之间的距离公式即可解答． 解：设运动的时间为 秒, ∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为个单位长度， ∴， ∴或； 故选． 【点拨】本题考查了数轴上点的运动规律，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 【答案】或10或或20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，设运动时间为t秒，分，，，，及六种情况考虑，当时，点O在线段上（不包含顶点），找出的长，进而可得出不存在的情况；当时，点O在线段上（不包含顶点），，由，可列出关于t的一元一次方程，解之可求出t的值；当时，点B，O重合，此时；当时，点B在线段上（不包含顶点），，，由，可列出关于t的一元一次方程，解之可求出t的值；当时，点A，B重合，此时；当时，点A在线段上（不包含顶点），，，不存在的情况．综上所述，即可得出结论． 解：设运动时间为t秒． 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点）， ∴， ∴不存在的情况； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点）， ∴， 根据题意得：， 解得：； 当时，点B，O重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点B在线段上（不包含顶点）， ∴，， 根据题意得：， 解得：； 当时，点A，B重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点A在线段上（不包含顶点）， ∴，， ∴不存在的情况． 综上所述，当或10或或20时，A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 故答案为：或10或或20． 【题型5】数轴上动点问题压轴题 【例5】（22-23七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ； (2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ； (3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？ 【答案】(1)，; (2)3; (3)秒或秒. 【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数； （2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解:（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动， 当移动时间为秒时，； 又点表示有理数， 当移动时间为秒时，点表示的数为． 故答案为：，； （2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为， 此时． 故答案为：； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【答案】D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 【变式2】如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t= 秒. 【答案】t=1s或s． 【分析】根据题意可得点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-）=10+t，根据2MO＋2RO=NO把问题转化为绝对值方程解决即可. 解:由题意可得：点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-）=10+t， ∴，，， ∵2MO＋2RO=NO，∴， 即， ①当0＜t≤时，，解得t=1， ②当＜t≤时，，解得t=2， ③当t＞时，，解得t=(舍)； 综上所述，t=1s或s． 【点拨】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建绝对值方程解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$