精品解析：山东省潍坊高新技术产业开发区钢城现代学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共52分） 一、单选题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，满分32分，多选、不选、错选均记为零分．） 1. 下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，即可判定选项． 【详解】解：根据题意可知无理数有π，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0），共2个． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（   ） A. 的算术平方根是1 B. 5是25的一个平方根 C. 的平方根是4  D. 64的立方根是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根的定义，根据立方根、平方根及算术平方根的定义依次做出判断即可． 【详解】解：A、没有算术平方根，故选项错误，不符合题意； B、5是25的一个平方根是正确的，符合题意； C、的平方根是，故选项错误，不符合题意； D、64的立方根是4，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解不等式，得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集. 【详解】因为，不等式组的解集是：x≤-1, 所以，不等式组的解集在数轴上表示为 故选C 【点睛】本题考核知识点：解不等式组.解题关键点：解不等式. 4. 使式子成立的条件是(　　) A. a≥5 B. a＞5 C. 0≤a≤5 D. 0≤a＜5 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：a＞5． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，难度不大，注意掌握分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数． 5. 已知a，b，c是三角形三边，满足，则三角形的形状是（ ） A. 腰和底不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解： ∴a-3=0，b-4=0，c-5=0， 解得：a=3，b=4，c=5， ∵32+42=9+16=25=52， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．还运用了勾股定理的逆定理． 6. 若的小数部分是a，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法得到a的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴的小数部分， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，正确掌握无理数的估算方法得到a的值是解题的关键． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 7. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，根据最简二次根式应满足的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式（不含有分母）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含有二次根式，由此即可求解 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意 故选：A ． 8. 已知，下列四个不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，此选项不符合题意； 、∵，∴，此选项符合题意； 、∵，∴，此选项不符合题意； 、当时，；当时，；当时，；此选项符合题意； 故选：． 9. 通过估算比较大小，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先估算无理数的大小，进而比较大小逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故A选项正确， B. ，故B选项不正确， C. ，故C选项正确， D. ，故D选项正确 故选ACD 【点睛】本题考查了无理数的估算，正确的估算无理数的大小是解题的关键． 10. 有一块直角三角形的花圃，量得两直角边长分别为6m，8m，现要将花圃扩充成等腰三角形苗圃，扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形花圃的周长是（ ）m A. B. 32 C. 40 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理求出斜边的长，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：，由题意，分三种情况： ①如图1，当时， ∵， ∴， ∴的周长． ②如图2，当时， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． ③如图3，当为底时，设，则， 由勾股定理得：， 解得，， ∴的周长为：． 故选：ABD． 第Ⅱ卷 非选择题（共98分） 三、填空题（本题共4小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上，每小题5分，满分20分．） 11. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为900元，标价为1320元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是________折． 【答案】7.5 【解析】 【分析】设该商品打x折销售，根据利润＝销售价格﹣进价结合利润率不低于10%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：设该商品打x折销售， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 13. 已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴上点的关系，正方形的性质及点的平移，根据勾股定理可得，图形结合，根据点的平移即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点表示的数为：，点表示的数为， 故答案为：或 ． 14. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ，则请你仿照小明的方法解决下列问题：若，则 a= ______， b= _______． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了二次根数的性质和化简，利用完全平方公式得到，从而得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2，1． 四、解答题（本小题共8个小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．共78分） 15. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）， 数轴上表示： （2）， 在数轴上表示： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练掌握不等式的性质，以及解不等式（组）的方法和步骤． （1）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； （2）先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答． 【详解】解：（1） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：； ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 解不等式①得： 解不等式②得：． ∴不等式组的解集为：． 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先化简二次根式，计算立方根，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，利用完全平方公式和平方差去掉括号，再计算加减即可； （3）先化简二次根式，计算乘除法，再计算加减即可； （4）先化简二次根式，计算乘法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】先用加减法求得的值(用含的式子表示)，然后再列不等式求解即可． 【详解】， ①﹣②得：， ∵， ∴． ∴． 解得：． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得的值(用含的式子表示)是解题的关键． 18. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？ 【答案】墙的高度为3米 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：设墙高为米，则米，米． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ∵， ∴，即． 解得：． 答：墙的高度为3米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 19. 在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在李老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理，运用构图法进行了一系列探究活动： （1）在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．请利用图求出的面积； （2）在平面直角坐标系中，①若点为，点为，求线段的长； ②若点为，点为，请直接表示出线段的长； （3）在图2中运用构图法画出图形，比较与大小． 【答案】（1）； （2）①；②； （3） 如图， ． 【解析】 【分析】（1）根据割补法求出三角形的面积即可； （2）①根据两点间的距离即可求出答案；②根据两点间的距离即可求出答案； （3）先画出图形，由图可知，，，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①， ②； 【小问3详解】 解：由根据勾股定理，得，，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查网格与勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 20. 某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共个，已知每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元． （1）若购买这两类球的总金额为元，求篮球，足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ （3）在精准扶贫中，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤每棚） 销售价（元每斤） 成本（元棚） 香瓜 甜瓜 根据以上信息，求李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 【答案】（1）购买篮球个，足球个； （2）最多可购买个篮球； （3）李师傅至少种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 【解析】 【分析】（）设购买篮球个，足球个，根据购买篮球、足球共个且共花费了元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （）设购买了个篮球，则购买了个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （）设种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元，根据总利润每个大棚的利润数量结合总利润不低于万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量和数量关系，正确列出二元一次方程组一元一次不等式． 【小问1详解】 设购买篮球个，足球个， 依题意，得：， 解得：， 答：购买篮球个，足球个； 【小问2详解】 设购买了个篮球，则购买了个足球，依题意，得： ， 解得：， 答：最多可购买个篮球； 【小问3详解】 设种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元， 依题意，得： ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：李师傅至少种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 21. 21．已知：在直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，且． （1）如图①，求点B坐标； （2）如图②，若点E为的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若的面积为1，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，直接写出此时t的值和相应的的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）t的值为或；（3），或，． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，则，进一步可求出答案； （2）作作于H，求出，当点M在点O的左侧时，，可得；当点M在点O的右侧时，，可得； （3）当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当时，点M运动到点O，不构成三角形，当点M在上，即时，当时，当时，作，根据勾股定理以可求出答案． 【详解】解：（1）， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ （2）①作于H， ∵在中，点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当点M在点O的左侧时，， ∴， 解得：； 当点M在点O的右侧时，， ∴ 解得：； 综上所述，若的面积为1，t的值为或． ②当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点M运动到点O，不构成三角形， 当点M在上，即时， 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图4，当时，作于H， ∵， ∴， ∴，； 综上所述，符合要求时，或，；． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共52分） 一、单选题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，满分32分，多选、不选、错选均记为零分．） 1. 下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法正确的是（   ） A. 的算术平方根是1 B. 5是25的一个平方根 C. 的平方根是4  D. 64的立方根是 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 使式子成立的条件是(　　) A. a≥5 B. a＞5 C. 0≤a≤5 D. 0≤a＜5 5. 已知a，b，c是三角形三边，满足，则三角形的形状是（ ） A. 腰和底不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 6. 若的小数部分是a，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 12 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 7. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，下列四个不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 通过估算比较大小，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有一块直角三角形的花圃，量得两直角边长分别为6m，8m，现要将花圃扩充成等腰三角形苗圃，扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形花圃的周长是（ ）m A. B. 32 C. 40 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共98分） 三、填空题（本题共4小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上，每小题5分，满分20分．） 11. 已知，则的值为__________． 12. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为900元，标价为1320元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是________折． 13. 已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为_________． 14. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ，则请你仿照小明的方法解决下列问题：若，则 a= ______， b= _______． 四、解答题（本小题共8个小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．共78分） 15. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 18. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？ 19. 在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在李老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理，运用构图法进行了一系列探究活动： （1）在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．请利用图求出的面积； （2）在平面直角坐标系中，①若点为，点为，求线段的长； ②若点为，点为，请直接表示出线段的长； （3）在图2中运用构图法画出图形，比较与大小． 20. 某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共个，已知每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元． （1）若购买这两类球的总金额为元，求篮球，足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ （3）在精准扶贫中，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤每棚） 销售价（元每斤） 成本（元棚） 香瓜 甜瓜 根据以上信息，求李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 21. 21．已知：在直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，且． （1）如图①，求点B坐标； （2）如图②，若点E为的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若的面积为1，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，直接写出此时t的值和相应的的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $