精品解析：福建省厦门二中（外国语联考）2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

2023～2024学年第一学期八年级期末考试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．作图题可直接用2B铅笔画． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 2023年9月23日，第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市隆重举行．下面选取的图标是按轴对称图形设计的是（ ） A. B. C. D. 2. 某种细菌的半径约为0.00000023米，数据0.00000023用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. x2·x4＝x6 B. a3+a2＝ab C. （a3）3＝a6 D. 3x8÷3x4＝x2 5. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（　　） A. SSS B. ASA C. SAS D. HL 6. 已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A. 2ab B. －2ab C. 3b2 D. －5b2 7. 对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A. ∵，平分 B. ∵，平分，， C. ∵，平分，， D. ∵，∴ 8. 如图，在中，，点D是边上一点，，若点D到的距离为3，则下列关于点D的位置描述正确的是（ ） A. 点D是的中点 B. 点D是平分线与的交点 C. 点D是垂直平分线与AC的交点 D. 点D与点B的距离为5 9. 若，，，则下列a、b、c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 使二次根式有意义的a的取值范围是______． 12. 计算：______． 13. 若点与关于x轴对称，则代数式的值为______． 14. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的_____倍． 15. 已知非零实数，满足，则的值等于______． 16. 如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为_____．（用含a的式子表示） 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （1）计算∶ （2）计算： （3）分解因式： 18. 先化简，再求值：，其中. 19. 如图，，求证：． 20. 如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． （1）用含m的代数式表示正方形的边长：________； （2）已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 21. 如图，在中，，且． （1）在边的延长线上求作点D，使，并连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：是直角三角形 22. 甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米．B、C两城的距离为400千米． （1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度． （2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，若，则哪一辆车先到达C城，并说明理由． 23. 某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： （1）请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； （2）已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，点，点，连接．已知a与b满足：． （1）直接写出： ______； ________； （2）如图，y轴上有一动点（），连接．第一象限内作射线；过点B作交x轴于C点，点Q在射线上，且； ①求C的坐标．（用m表示） ②在点P运动过程中，点Q的位置会随之变化，记是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系． 25. 如图，在等边三角形中，是延长线上一点，连接，且，点关于的对称点为，连接，分别交于点，， （1）依题意补全图形． （2）改变的大小，在变化过程中， 的大小是否发生变化？若有变化，请写出的变化范围；若不变，请求出的大小； （3）试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第一学期八年级期末考试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．作图题可直接用2B铅笔画． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 2023年9月23日，第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市隆重举行．下面选取的图标是按轴对称图形设计的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形， 故选B． 2. 某种细菌的半径约为0.00000023米，数据0.00000023用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，把一个数表示成与的次幂相乘的形式，这种记数方法叫做科学记数法，当原数的绝对值大于或等于时，为正整数；且等于原数的整数位数减，当原数的绝对值大于而小于时，是负整数，的绝对值等于原数左边第个非数前面所有的个数． 利用科学记数法表示数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B ． 3. 下列各数不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， 能与合并，故A不符合题意； B、， 不能与合并，故B符合题意； C、， 能与合并，故C不符合题意； D、， 能与合并，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. x2·x4＝x6 B. a3+a2＝ab C. （a3）3＝a6 D. 3x8÷3x4＝x2 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法的运算法则分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、x2·x4=x6，原计算正确，故此选项符合题意； B、a3和a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、（a3）3=a9，原计算错误，故此选项不符合题意； D、3x8÷3x4=x4，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（　　） A. SSS B. ASA C. SAS D. HL 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 【详解】解：∵在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 6. 已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A. 2ab B. －2ab C. 3b2 D. －5b2 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式， 则单项式M可以是−5b2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 7. 对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A. ∵，平分 B. ∵，平分，， C. ∵，平分，， D. ∵，∴ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】解：是等腰三角形，平分， ，． 证明如下： 在等腰中，，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，点D是边上一点，，若点D到的距离为3，则下列关于点D的位置描述正确的是（ ） A. 点D是的中点 B. 点D是平分线与的交点 C. 点D是垂直平分线与AC的交点 D. 点D与点B的距离为5 【答案】B 【解析】 【分析】作于E，连接，利用角平分线的判定定理可证明是的角平分线，即可作答． 【详解】解：如图所示：作于E，连接， ∵，点D到的距离为3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， 即点D是的角平分线与的交点，故B项正确； 其余选项，利用现有条件均无法得出， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明是的角平分线，是解答本题的关键． 9. 若，，，则下列a、b、c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的比较大小，先根据平方差公式和零指数次幂、提取公因式计算出，，，然后比较大小即可解题． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选A． 10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接， ，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝，∠DAE＝，即可得出∠CAE＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝＝90°−． 【详解】解：如图，连接，，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上， ∴AC垂直平分， ∴AB＝， ∴∠BAC＝∠， ∵AB＝AD， ∴AD＝， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠， ∴∠CAE＝∠BAD＝α， 又∵＝＝90°， ∴四边形中， ＝180°−α， ∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α， ∴∠ACB＝＝90°−α， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 使二次根式有意义的a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 13. 若点与关于x轴对称，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵点与关于x轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的_____倍． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为： 15. 已知非零实数，满足，则的值等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 16. 如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为_____．（用含a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （1）计算∶ （2）计算： （3）分解因式： 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的混合运算及因式分解，解题的关键是熟练运用整式的混合运算，二次根式的混合运算及因式分解步骤解决问题． （1）先运用完全平方公式及平方差公式计算，然后合并同类项即可； （2）运用二次根式的运算法则计算即可； （3）先变形，再提公因式，然后用平方差公式分解因式． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】先利用分式的性质进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：， ， 把代入得，． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分母的有理化，熟练掌握分式的性质进行化简是解题的关键． 19. 如图，，求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．由证明即可． 【详解】略 20. 如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． （1）用含m的代数式表示正方形的边长：________； （2）已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 【答案】（1） （2）的值与m的大小无关 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识． （1）根据长方形和正方形周长相等即可求解； （2）根据求差法比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：正方形的边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 的值与m的大小无关，理由为： ， ∴的值与m的大小无关． 21. 如图，在中，，且． （1）在边的延长线上求作点D，使，并连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：是直角三角形 【答案】（1） 图形如图所示： （2） 证明：由作图可得：，， ， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据要求作出图形； （2）先求得，再由等腰三角形的性质可得，再证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米．B、C两城的距离为400千米． （1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度． （2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，若，则哪一辆车先到达C城，并说明理由． 【答案】（1）甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时； （2）乙车先到达C城． 【解析】 【分析】（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时，再根据时间= 路程速度 即可得出结论； （2）先求出甲乙两车到达C城时间的表达式，再比较其大小即可． 【小问1详解】 解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时， ∵A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，两辆车同时到达C城， ∴ ， 解得， 经检验 是原方程的根，且符合题意； ∴． 答：甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时； 【小问2详解】 ∵乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时， ∴乙车到达C的时间， 甲车到达C的时间， ∵， ∴乙车先到达C城． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，分式的值的大小比较，熟知时间= 路程速度是解答此题的关键． 23. 某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： （1）请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； （2）已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）能，， 【解析】 【分析】本题考查因式分解： （1）参照题干写出一个“关于a的连续式”即可； （2）设，得到，进而得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 能， 由题意，设， 则：， ∴，解得， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，点，点，连接．已知a与b满足：． （1）直接写出： ______； ________； （2）如图，y轴上有一动点（），连接．第一象限内作射线；过点B作交x轴于C点，点Q在射线上，且； ①求C的坐标．（用m表示） ②在点P运动过程中，点Q的位置会随之变化，记是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系． 【答案】（1）2，2 （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）①过点作轴与点，证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果； ②连接，由①可知，，，推出，进而得到，得到点在直线上移动，进而求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2，2； 【小问2详解】 ①由（1）知道，， ∴， 过点作轴与点， 则：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接， 由①知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上移动， ∴直线即为直线， ∵， ∴， ∴，即：． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负性，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 25. 如图，在等边三角形中，是延长线上一点，连接，且，点关于的对称点为，连接，分别交于点，， （1）依题意补全图形． （2）改变的大小，在变化过程中， 的大小是否发生变化？若有变化，请写出的变化范围；若不变，请求出的大小； （3）试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图， （2） 的大小不会发生变化，； （3） ；理由如下： 如图3，连接，在上截取，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（）依题意补全图形即可； （2）连接，由对称可得，再由，可得，则； （3）由（2）得：，，证明（），根据全等三角形的性质得，最后由和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的大小不会发生变化，，理由如下： 如图2，连接， ∵点B关于的对称点为E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $