吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

20242025(上)高二年级第一次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区城均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.直线x十√3y一2=0的倾斜角为 A晋 B C. n晋 2.若4：x一my一1=0与42：(m一2)x一3y+1=0是两条不同的直线，则“m=一1”是“14∥l2”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D,既不充分也不必要条件 3.已知直线1的一个方向向量m=(3,一2,1)，且直线1经过A(a,2,一1)和B(一2,3，b)两点， 则a十b= A.-2 B.-1 c.1 D.2 4.已知空间向量a=(2,3,1),b=(1,一2，一2)，则a在b上的投影向量为 A.2b B.-2b C D号b 5.下列关于空间向量的说法中错误的是 A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C.直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【高二数学第1页（共4页）】 25037B 6.在平行六面体ABCD-A,BCD中，点P是线段BD上的-点，且PD=3PB,设A1A=a, AB1-b,A1D=c,则PC= 3 C.-a+i+i D.ia-io+ie 7如图，直线y一十3交x轴于点A,将一块等腰直角三角形纸板的直 角顶点置于原点O,另两个顶点M,N恰好落在直线y=是x+3上.若 点N在第二象限内，则tan∠AON的值为 A号 B若 c吉 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，EF是正方体ABCD-A1B,C1D1外接球的直 径，点P是正方体ABCD-A1BC,D,表面上的一点，则PE·PF的取值范围是 A.-2,0] B.[-1,0] C.[0,1] D.[0,2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.给出下列命题，其中正确的命题是 A.若空间向量a,b满足|a=|b|,则a=b B.空间任意两个单位向量必相等 C.在正方体ABCD-AB,CD,中，必有BD=BD D.空间向量a=(1,1,0)的模为√2 10.已知两条平行直线l1:x一y十1=0和2：x一y十m=0之间的距离小于√2，则实数m的值可 能为 A.0 B.1 C.2 D.-1 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD中，E为BB1的中点，F为A,D1的中点，如 图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有 A.DB=3√2 B向量A范与AC所成角的余弦值为压 5 C.平面AEF的一个法向量是(4，一1,2) D点D到平面AEF的距离为8 【高二数学第2页（共4页）】 25037B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线41,4的斜率k1,:是关于k的方程2k十8k十n=0的两根，若41⊥h2,则实数n一 13.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老外 师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记 为A、B、C,AC=2,|AB|=2√5，|BC=4.现移动边AC,使得点 A,C分别在x轴、y轴的正半轴上运动，则|OB(点O为坐标原点) 的最大值为 14.已知空间向量a=(1,1,1),b=(0,y,1)(0≤y≤1)，则cos(a,b)最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知直线4：x十my+1=0,l:2x-y-4=0,4:3x+y一1=0. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值： (2)若三条直线能构成三角形，求实数m满足的条件】 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C中，ACLBC,AC=1,BC=2,CC=3,点D是棱AB的中点， (1)证明：AC1∥平面B1CD: (2)求直线A1B与平面B,CD所成角的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 25037B 17.(本小题满分15分) 已知直线1：(2m+1)x-(3+m)y十m一7=0. (1)m为何值时，点Q(3,4)到直线1的距离最大，并求出最大值： (2)若直线1分别与x轴，y轴的负半轴交于A,B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最 小值及此时直线！的方程. 18.(本小题满分17分) 如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，点E是棱AB上的一点，且AE=2EB, 点F是棱AD1上的一点，且AF=2FD. (1)求异面直线AD,与CF所成角的余弦值； (2)求直线BD到平面CEF的距离. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD, PC=3√3，点E是棱PB的中点，点F是棱PC上的一点，且PF=2FC, (1)证明：平面AEC⊥平面PBC: (2)求平面AEF和平面AFC夹角的大小. 【高二数学第4页（共4页）】 25037B 2024~2025(上)高二年级第一次月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D“y=号+号尽其领斜角为票放选D 2.C若4∥1，则1×（一3）=(m一2)（一m).解得m=一1或m=3.则“m=一1”是“14∥1：“的充分不必要条 件，故选C 3.A因为=(-2-1.6+1).所以号=2中，解得=-合b=-号，所以a+b=-2,故选入 3 D品-号之2-2合2。一号放a在b上的投影向量为a:0一导放选D 9 b 3 5.B平行于平面a的向量，可平移至一个平行于a的平面，故为共面向量，A正确： 空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B错误： 直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量 确定直线，C正确： 由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面 的向量D正确.故选B。 6.c PC =A C -A.P-A B+A D-A.B-BP-A,+A.D:-A.B -A.A-+B.D-AB.+A.D- A-Ai-(AD-A)=AD+A-A才=-a+b+c.故选C 7.A设直线与y轴的交点为B,过O作(OC⊥AB于C,过N作ND⊥(OA于D. 因为N在直线y=子+3上且在第二象限内， 设N(,子+3).则1DN=子+3oD1=- 又A(-4,0),B(0,3).即|OA|=4.OB|=3,所以|AB|=5. 在△A0B中，由三角形的面积公式得，合1OB11OA|=之1AB11OC1,所以1OC=号 12 在R△N0M中.0M1=1oN∠MN0-45.所以m45=S-T赢m1oN1=122 OC 5 81 在R△N0中，ND+1D0=ON,即（径+3）'+(-x)=(22）,解得=-器=是 12 因为点N在第二象限内，所以=一器所引ND=号OD-尝所以m∠AON=沿=子放选入 8.A记正方体ABCD-A,B,C,D的外接球的球心为O.易得OE=之2+2+2=万.且POE[15],所以 PE.P序=(Pi+OE)·(P+O)=(P0+OE)·(P0-OE)=P-OE=P0-3∈[-2,0].故选A. 9.CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以a=b不能得到a=b,A错误： 空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误。 正方体ABCD一A,B,C,D,中，BD.BD,的方向相同，长度相等，故BD=B,D,故C正确： 空间向量a=(1.1,0)的模为√个++0=√2，故D正确，故选CD. 10.AC直线：x-y+1=0和4：x一y十m=0平行，则m≠1，两条平行直线间距离m二1<2，解得 一1<m<3且m≠1，故0和2符合要求，故选AC 11.BCD对于A,正方体中，DB,=23,故A错误： 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 25037B 对于B.AE=(0,2,1).AC=(-2,2,2),故向量夹角余弦值为cos0= A范.AC=压，故B正确： IAELIACI 5 对于C,AE=(0.2.1),AF=(-1.0.2).(0.2,1)·(4.-1.2)=0.(-1.0,2)·(4.-1.2)=0.故(4.-1.2) 是平面AEF的一个法向量，故C正确： 对于D.=(20,0,则点D到平面AEF的距离为d=Di.n=8=8区，故D正确，故选CD. n/221 12.一2因为4⊥2.而且斜率存在，所以1·k:=一1，又1，k:是关于k的方程2k十8k十n=0的两根，k1· :=受=一1，解得n=一2. 13.1+√/13由已知|AC|=2,|AB|=25.|BC|=4. 如图，取AC的中点E.因为△OAC为直角三角形，故OE=号|AC=1. 由于△ABC为直角三角形，故|BE|=AB+AE平=√I3, 显然|OB|≤OE引+|BE,当且仅当O,B,E三点共线时等号成立， 故|OB的最大值为1+√13. 14.6 a·b y十1 3 cosa,b=Tab5×1+y a·b 由y>0,所以十≥2，当且仅当=y,即y=1时等号成立， y 故cos(a.b)= <号×V-当y=0时ab- 小+1 y 3 故cab的最大值为。 15.解：(1)由 2x-y-4=0 3x+y-1=0 解得/=1， y=-2. 代人名的方程，得m=1.…5分 (2)当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形。 ①联立/2x-y-4=0, …9分 3x+y-1=0. 解得二”2，代人x+m+1=0,得m=: ②当41：r+my+1=0与4：2x-y-4=0平行时，m=一2： 1 当4：+my十1=0与4：3x十y一1=0平行时m=子 综上所述，当m≠1且m≠号且m≠一2时，三条直线能构成三角形.（且写成或扣1分）…13分 16.解：如图.以C为坐标原点，CA.CB,(CC所在直线分别为x轴，y轴，：轴建立空间直 角坐标系.所以A(1,0,0).B(0,2,0).C(0,0,0).C(0.0,3),B(0.2,3),A(1,0,3),所 以D(号，1,0)i=(号1,0)CB=(0,2.3),设平面B,CD的一个法向量为 n·Ci=0,1 n=(r,y）,则 0”即乞y=0令r=1,解得y=-名=所以 n·CB=0,2y+3x=0, 平面BCD的一个法向量为n=(1.-之，专)】 小小…4……小…6分 (1)证明：AC=(-1,0,3).因为AC·n=0,…8分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 25037B AC正平面BCD,所以AC∥平面BCD:…………10分 (2)解：因为A,B=(-1,2.-3).所以cos(A,B,n)= Ai·n=-9延 …13分 ABIIm 49 所以直线AB与平面B,CD所成角的正弦值是延 49 ……15分 17.解：(1)已知直线1：(2m十1)x一(3十m)y十m一7=0， 整理得(2.x一y+1)m+x-3y-7=0, 南2y+1=02r=-2. x-3y-7=0y=-3. 故直线/过定点（一2，一3），………………3分 点Q(3,4)到直线1的距离最大， 可知点Q与定点P(一2.一3)的连线的距离就是所求最大值， 即√(3十2)十(4十3)汀=√/7任为最大值。…4分 w是子 (2m+1Dx-(3+m)y十m-7=0的斜率为-7 5 …5分 可得一一解得=一 22 …………6分 (2)若直线1分别与x轴，y轴的负半轴交于A,B两点，则可设直线1的方程为y+3=k(x十2)，k<0, 则A(是-2.0）小B(0,2k-3),…8分 5m=-22张-3=(2-2)8-2)=[12+(-4+(-)≥×12+12=12 (当且仅当k=一号时，取“=“).…13分 故△AOB面积的最小值为12，此时直线1的方程为3.x+2y+12=0. ………15分 18.解：(1)如图所示，以D为坐标原点.DA,DC.DD,所在直线分别为x轴. y轴，：轴建立空间直角坐标系，所以A(3,0.0),D1(0,0,3),F(1,0,3), C(0.3,0).所以AD=(-3.0,3).C下=(1.-3,3). *…………1分 所以cos(AD,C=,AD·C3 6 38 1AD|ICF|√+9×√+9+9 19 …………………4小………6分 所以异面直线AD,与CF所成角的余弦值是⑧ 19 …7分 (2)因为D0,0,0),E3.2,3),B3.3,0),所以FE=(2.20),Di=(3,3,0). 所以FE=号D成，所以FE∥DB. 又DB￠平面CEF,EFC平面CEF,所以DB∥平面CEF, 所以点D到平面CEF的距离即为直线BD到平面CEF的距离. …10分 n·FE=0. 2r+2y=0, 设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,),则 即 n·CF=0.1x-3y十32=0. 令=1，解得y=-1=一子，所以平面CEF的一个法向量为n=(1,-1.一专)》 …15分 因为D心=(0.3,0).所以点D到平面CEF的距离4=D,nl-9厨 n 34 即直线BD到平面CEF的距离为？S年 34 …17分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 25037B 19.(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系， 所以A(0,0,0).B(3,0,0),C(3.3,0),设P(0,0,t)(t>0) 则PC=√/3十3十7=35，解得1=3，即P(0,0,3).……2分 则E(号，02)A正=(0.)AC=(33,0 0即+=0 设平面ABC的一个法向量为m=.则·正0，即受 m,At=0.l3x+3y=0, 令x=1,解得y=一1，=一1，所以平面AEC的一个法向量为n=(1,一1，一1).…4分 因为BC=(0.3,0).B驴=(-3,0.3)，设平面PBC的一个法向量为m=(x1·y·31), m·BC=0 所以 即/3y=0. m·B驴=0,1-3m+31=0 。令x1=1,解得y=0,1=1· 所以平面PBC的一个法向量为m=(1,0,1),…6分 又m·n=0,所以平面AEC⊥平面PBC:…………………………8分 (2)解：求=号币-号×(-3，-3.3)=(-1，-1.1.所以3=心+C市=(2,2.10 设平面EAF的一个法向量为n,=(x,·) 所以”·店0，三 0即受+号=0， m·AF=0,2x:+20十=0， 令1解得为=一名=-1 所以平面EAF的一个法向量为n=(1.一名.-1小.…1分 设平面CAF的一个法向量为n:=(·y·), t/m:·AC=0.3xa+3w=0, 即 m·A亦=0,2+2y+=0, 令x=1,解得y=一1.之=0.所以平面CAF的一个法向量为n2=(1.一1.0)，…14分 因为cos(mm)=TTnT 2 …444…4…4……16分 W1+1+x行 21 所以平面AEF和平面AFC夹角的大小为 ……17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 25037B