培优03 直线系方程与圆系方程-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 培优03 直线系方程与圆系方程 直线系方程与圆系方程 （1）与直线平行的直线系方程为:(为参数) （2）与直线垂直的直线系方程为:(为参数) （3）过直线与的交点的直线系方程为:(不含为参数). （4）过圆与直线交点的圆系方程为(为参数) （5）过与圆的圆系方程为(不包括圆为参数) 当时,为一条直线(即过两圆交点的直线). 题型01 平行的直线系方程 1．过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 4．已知直线与直线的斜率相等，且直线与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 . 6．已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的，的值. (1)直线过点，且直线和垂直； (2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为. 题型02 垂直的直线系方程 7．（多选）垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（    ） A．4 B． C．3 D． 8．直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 9．已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 10．与直线垂直，且在x轴上的截距为的直线方程是 ． 11．（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 题型03 两直线交点的直线方程 12．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 13．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为 （用一般式表示） 14．求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 15．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 16．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 17．已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且. (1)求直线的方程. (2)直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程. 题型04 直线与圆相交的圆系方程 18．过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 19．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 20．已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为 . 21．在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点． 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ． (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程． 题型05 圆与圆相交的圆系方程 22．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 23．已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 24．已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 25．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 26．已知圆与圆． (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 3．求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 5．求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 6．直线上一点的横坐标是3，若该直线绕点逆时针旋转90°得到直线，求直线的方程． 7．求过两直线和的交点，且垂直于直线的直线方程. 8．根据下列条件，分别求满足条件的直线的方程： (1)过原点，且点到该直线的距离为1； (2)经过两条直线：和：的交点，且与直线：垂直. 9．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 10．已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 11．已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 12．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 培优03 直线系方程与圆系方程 直线系方程与圆系方程 （1）与直线平行的直线系方程为:(为参数) （2）与直线垂直的直线系方程为:(为参数) （3）过直线与的交点的直线系方程为:(不含为参数). （4）过圆与直线交点的圆系方程为(为参数) （5）过与圆的圆系方程为(不包括圆为参数) 当时,为一条直线(即过两圆交点的直线). 题型01 平行的直线系方程 1．过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率， 过点的直线与直线平行， 所以该直线的斜率， 设该直线的方程为， 且该直线过点， 则，得， 所以该直线的方程为，即. 故选：. 2．与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与直线平行的直线方程为， 于是，解得， 所以所求方程为. 故选：C 3．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 4．已知直线与直线的斜率相等，且直线与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可设直线的方程为， 令得，令得， 因为直线与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24， 所以，故， 且，解得， 故直线的方程为. 故选：D 5．直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 . 【答案】 【详解】直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与，轴围成的三角形面积为. 故答案为： 6．已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的，的值. (1)直线过点，且直线和垂直； (2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由于直线和垂直，故， 又直线过点，故， 联立两式，解得，. 故有，. （2）由于直线和平行，故， 直线在轴上的截距为，则， 联立解得，. 故有，. 题型02 垂直的直线系方程 7．（多选）垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】CD 【详解】因为直线垂直于直线，可令直线， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为， 所以，所以在轴上的截距为， 故选：CD 8．直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】9 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 9．已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】依题意设直线的一般式方程为：， 因为直线过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为：． 故答案为：． 10．与直线垂直，且在x轴上的截距为的直线方程是 ． 【答案】 【详解】与直线垂直的直线斜率，显然该直线过点， 所以该直线方程是，即. 故答案为： 11．（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为； （2）与直线垂直的直线设为， 中，令得，令得， 故，所以， 解得， 故直线方程为. 题型03 两直线交点的直线方程 12．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 13．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【详解】由题意可得，解得交点坐标为， 又所求直线的倾斜角为，故斜率为， 所以直线方程为， 故答案为：. 14．求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 15．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 【答案】或 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 当在轴的截距与在轴的截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线的方程为； 当在轴的截距与在轴的截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 16．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 17．已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且. (1)求直线的方程. (2)直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线：的斜率为，且，所以直线的斜率为2， 又直线在y轴上的截距为－3，所以由斜截式知直线的方程为； （2）联立方程，得交点坐标为， 因为与直线平行，故设直线：， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 题型04 直线与圆相交的圆系方程 18．过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，圆的圆心为，半径. 设直线与圆的交点为、，如图所示， 过作，则经过、两点面积最小的圆是以为直径的圆. 由直线的方程为，可得，， 所以所在直线的方程为， 联立，得，即，即为以为直径的圆的圆心. 又圆心到直线的距离， 所以， 所以以为直径的圆的半径为； 所以以为直径的圆的方程为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 19．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 20．已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由，解得或. 不妨令，， 则弦的垂直平分线的方程为. 由，解得， ∴，半径， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 21．在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点． 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ． (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1)选①，；选②，. (2)选①，；选②，. 【详解】（1）解：若选①，直线的斜率为，线段的中点为， 所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，即， 联立可得，故圆心为， 圆的半径为， 因此，圆的方程为. 若选②，设圆的方程为， 将点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以，圆的方程为，即. （2）解：若选①，，故所求切线的斜率为， 则过点的圆的切线方程为，即； 若选②，圆心为，，故所求切线的斜率为， 则过点的圆的切线方程为，即. 题型05 圆与圆相交的圆系方程 22．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与相减得：， 将代入得：， 即， 设两圆和的交点为， 则，，则， 不妨设， 所以线段的中点坐标为， 因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1， 所以线段的垂直平分线为， 与联立得：， 故圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为， 整理得： 故选：D 23．已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 24．已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 25．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）依题意，得，不妨设， 因为，， 所以，即， 整理得，配方得， 所以点的轨迹的方程为. （2）联立得，解得或， 设，，该圆的圆心为， 显然圆心位于线段的垂直平分线上，即轴上，则设， 则，解得或， 当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为， 当当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为. 故满足题意的圆的方程为或.    26．已知圆与圆． (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为圆与圆， 所以将代入， 得两圆公共弦所在直线的方程为 （2）由， 解得，则交点为，， 圆心在直线上，所以设圆心为， 则，即， 解得，故圆心，半径， 所求圆的方程为 1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线的方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为，即. 故选：A. 2．过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 3．求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】求出两直线和的交点，再用两点式方程求出直线方程. 【详解】    由题意可设方程为：， 令，得， 令，得， 由题意知：， 得， 故直线方程为：， 故答案为： 5．求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【答案】 【详解】由圆和， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为， 过直线与圆的交点的圆， 可设为，即， 要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心必在公共弦所在直线上， 即，解得， 代回圆系方程得所求圆方程. 6．直线上一点的横坐标是3，若该直线绕点逆时针旋转90°得到直线，求直线的方程． 【答案】 【详解】令，则，解得，所以，且直线的斜率， 因为直线l是由直线绕点逆时针旋转90°得到， 所以直线l过点，且斜率为， 所以直线l的直线方程为，即. 7．求过两直线和的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】 【详解】联立，解得， 即所求直线过点， 又直线的斜率为，故所求直线的斜率， 由点斜式可得， 化为一般式可得：， 故所求直线的方程为：. 8．根据下列条件，分别求满足条件的直线的方程： (1)过原点，且点到该直线的距离为1； (2)经过两条直线：和：的交点，且与直线：垂直. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时点到该直线的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，所以，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （2）由，得到，所以， 又因为直线的斜率为，所以，所求直线方程的斜率为， 所以，过点，且与直线垂直的直线方程为：，即. 9．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 10．已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 【答案】或 【详解】联立，解得，交点为， 分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为. ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 11．已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 12．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$