微专题4 与圆有关的最值问题（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 微专题4与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见类型 已知(x,y)是所给圆上一点， 1.形如二名的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题， 2.形如ax十by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. 3.形如(x一α)2+(y一b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值 问题 [例1-1]已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+y的最小值为() A.7-43B.7+43 C.2+3D.2-3 [分析]思路一：由x2十y2-4x+1=0,转化为求x2+y2=4x-1的最小值. 只需要确定x的范围； 思路二：利用x2十y的几何意义，数形结合，本方法需要着重掌握. 思路三：三角换元，利用三角函数的最值. [解析] 圆的标准方程为(x-2)+y=3,则圆心为C(2,0),半径为3 方法一：易知(x-2)≤3，所以-3+2≤x≤3+2， 所以x2+y2=4x-1的最小值为-43+8-1=7-43. 方法二：因为(0-2)2+0>3，所以原点在圆(x一2)3+y=3外部. x十y的几何意义为坐标原点O到圆上一点距离的平方，所以(x+y)mm= (00C1-3)2=(2-3)2=7-43. 1/2 独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 方法三：可设x-2=3cos日，y=3sin日，所以x=2+V3cos0,y=V3sin0, 0∈[0,2π). 所以x2+y2=4+43cos日+3cos20+3sin20=7+43cos日≥7-4V3. [答案]A [例1-2]已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点. (1)求m+2n的最大值： (2)求的最大值和最小值： [解] （1)由圆C:x2+y2-4x一14y+45=0,转化为圆的标准方程可得(x一2)2+ (y-7)2=8,可得圆心为C(2,7),半径=22. 设m十2n=t,将m十2n=t看成直线方程. 12+2×7-t1 因为该直线与圆C有公共点，所以圆心C到直线的距离d= 912+27 ≤22， 解得16-210≤t≤16+210，所以m+2n的最大值为16+210 （2)记点Q(-2,3),则0表示直线M0的斜率 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即a-y十2k+3=0. 因为支线0与图C有公共底，可符22+8≤2迈，套理容仁一4十 Vk2+1 1≤0， 解得2-3≤≤2+5，所以0+号的最大值为2+归，最小值为2-短 2/2 ·独家授权侵权必究