微专题3 与直线有关的对称问题（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

微专题3　与直线有关的对称问题 　　1.点关于点对称 点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标公式求得，由得 2.点关于直线对称 设点P（x0，y0）关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在已知直线上且直线PP'与已知直线垂直，即解此方程组可得x'，y'，即得点P'的坐标. 3.直线关于直线对称 一般将“关于直线对称的两条直线”的问题转化为“关于直线对称的两点”的问题加以解决. （1）若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在直线l1关于对称轴对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线方程； （2）若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴的对称直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解. 4.常见点关于直线对称、直线关于直线对称的结论 点关于直线的对称 ①点P（x0，y0）关于x轴的对称点为P'（x0，－y0）； ②点P（x0，y0）关于y轴的对称点为P'（－x0，y0）； ③点P（x0，y0）关于原点的对称点为P'（－x0，－y0）； ④点P（x0，y0）关于直线y＝x的对称点为P'（y0，x0）； ⑤点P（x0，y0）关于直线y＝－x的对称点为P'（－y0，－x0）. 直线关于直线的对称 设直线l为Ax＋By＋C＝0， ①l关于直线y＝x对称的直线的方程是Bx＋Ay＋C＝0； ②l关于直线y＝－x对称的直线的方程是A（－y）＋B（－x）＋C＝0. [例1-1]　已知直线l：y＝－x＋1，试求： （1）点P（－2，－1）关于直线l的对称点坐标； （2）直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程； （3）直线l关于点A（1，1）对称的直线方程. [解]　（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x0，y0），则线段PP'的中点M在直线l上，且PP'⊥l. ∴ 解得即P'. （2）由得l与l1的交点为Q（2，0）.在l1上任取一点B（0，－2）， 设点B关于直线l的对称点为B'（x1，y1），则即 解得即B'， 　　∴l2的斜率为kQB'＝＝7. ∴直线l2的方程为y＝7（x－2），即7x－y－14＝0. （3）设直线l关于点A（1，1）的对称直线为l'，直线l上任一点P2（x2，y2）关于点A的对称点P2'（x3，y3）一定在直线l'上，反之也成立. 　　由得 将点（x2，y2）的坐标代入直线l的方程得x3＋2y3－4＝0，∴直线l'的方程为x＋2y－4＝0. [例1-2]　在平面直角坐标系中，已知点A（2，5）与B（4，－7），试在y轴上确定一点P，使得｜PA｜＋｜PB｜的值最小. 　　[解]　如图，取点A关于y轴的对称点A'（－2，5），直线A'B的方程为＝，化简得2x＋y－1＝0.令x＝0，得y＝1.当点P的坐标为（0，1）时，｜PA｜＋｜PB｜的值最小. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $