2.8圆锥的侧面积 讲义2024－2025学年苏科版数学九年级上册

2.8圆锥的侧面积讲义-数学九年级上册 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 ( 目录导航 ) 第一部分:易错考点 第二部分:例题精讲 第三部分:针对性训练 【第一部分】 ( 易错考点 ) 圆锥的计算 (1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高. (2)圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. (3)圆锥的侧面积:S侧=•2 r•l= rl. (4)圆锥的全面积:S全=S底+S侧= r2+ rl (5)圆锥的体积= 底面积 高 注意:①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等. ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等. 【第二部分】 ( 例题精讲 ) 1.如图,有一圆锥,其高,母线SA=30cm. (1)求此圆锥侧面展开图的圆心角. (2)若在此圆锥的上面截去一个高为的圆锥,求剩下的几何体侧面展开图的面积. 【解答】解:(1)设此圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 , ∵圆锥高SO=20cm,母线SA=30cm, ∴AO==10cm, 由题意得:=2 •AO,即=2 10, 解得 =120, 即此圆锥侧面展开图的圆心角的度数为120 . (2)由题意可知,O1C∥OA,SO1=10cm, ∴ O1SC∽ OSA, ∴=,即=, 解得SC=15(cm), 则截去的圆锥的侧面展开图的面积为==75 (cm2), ∵这个圆锥的侧面展开图的面积为==300 (cm2), ∴剩下的几何体侧面展开图的面积为300 ﹣75 =225 (cm2), 答:剩下的几何体侧面展开图的面积为225 cm2. 2.如图1是某厂房遮雨棚示意图(尺寸如图所示),遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.如图2是遮雨棚顶部截面示意图,所在圆的圆心为O.求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布(不考虑接缝等因素,计算结果保留 ). 【解答】解:图2中,EF=2米,AE=2米, 设OA=x米,则OE=(x﹣2)米, 在Rt AOE中,由勾股定理得, OA2=OE2+AE2, 即x2=(x﹣2)2+(2)2, 解得x=4, 即OA=4米, ∵AE=2米, ∴sin∠AOE===, ∴∠AOE=60 , ∴∠AOB=120 , ∴的长为=(米), ∴覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要帆布的面积为 60=640 (平方米). 【第三部分】 ( 针对性训练 ) 一.选择题(共8小题) 1.如图,圆锥的母线长为5cm,高是4cm,则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是( ) A.180 B.216 C.240 D.270 2.如图,冰激凌蛋筒下部呈圆锥形,则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( ) A.80cm2 B.40cm2 C.80 cm2 D.40 cm2 3.如图,用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为2,侧面积为8 的圆锥体,则该扇形的母线的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,在矩形ABCD中,以点A为圆心,以AD长为半径画弧交BC于点E,将扇形ADE剪下来做成圆锥,若,则该圆锥底面半径为( ) A. B. C.1 D.2 5.把一个圆心角为120 ,半径为9cm的扇形纸片,通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4 cm的圆锥侧面,如图所示,则圆锥上粘贴部分(图中阴影部分)的面积是_cm2.( ) A.8 B.9 C.19 D.27 6.如图,从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心为60 的最大扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的高为( ) A. B. C. D. 7.如图已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120 ,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面积为( ) A.4 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2 8.小李同学在数学综合实践活动中,用一块扇形材料制作了一个圆锥模型(如图所示),经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm,圆锥的高为8cm,则根据测量数据推算,制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为( ) A.145 B.120 C.216 D.180 二.填空题(共8小题) 9.将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为4 cm2,圆心角 为90 ,圆锥的底面圆的半径为 . 10.一个圆锥的底面周长是25.12cm,高是4cm.从顶点沿高把它切成相等的两半,表面积增加了 cm2. 11.若圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则它的侧面展开图的圆心角是 . 12.如图,用圆心角为120 ,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 cm. 13.如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,∠BAC=30 ,BC=2,将Rt ABC绕AC所在直线l旋转一周所得到的几何体的表面积是 . 14.如图,小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的圆心角为216 ,半径是5cm,那么这个圆锥的底面半径是 . 15.用半径为13cm,面积为65 cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 cm. 16.有一个圆锥形的零件,底面半径长为4cm,母线长为10cm,用一张扇形铁皮恰好能将这个零件的侧面包裹住(接缝忽略不计),这张扇形铁皮的面积是 cm2. 三.解答题(共5小题) 17.已知. (1)化简M; (2)如图,a,b分别为圆锥的底面半径和母线的长度,若圆锥的侧面积为24 ,求M的值. 18.根据“双减”工作要求,为丰富学生课余生活,促进学生全面成长,学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动,在一次综合实践活动中,华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为50cm的扇形铁片,再制作成一个高40cm的圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计),求华华剪裁的扇形铁片的圆心角. 19.如图,从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为多少? 20.如图,在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90 的扇形CAB. (1)求阴影部分面积; (2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面,求圆锥底面圆的半径. 21.如图, ABC是一张直角三角形纸片,∠C=90 ,它的两条直角边分别是a和b(a>b),将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周,得到两个圆锥.试猜想哪个圆锥的体积更大,并通过计算证明自己的猜想. 2.8圆锥的侧面积讲义-数学九年级上册 参考答案与试题解析 一.选择题(共8小题) 1.如图,圆锥的母线长为5cm,高是4cm,则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是( ) A.180 B.216 C.240 D.270 【解答】解:∵圆锥的母线长为5cm,高是4cm, ∴圆锥底面圆的半径为:=3(cm), ∴2 3=, 解得n=216 . 故选:B. 2.如图,冰激凌蛋筒下部呈圆锥形,则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( ) A.80cm2 B.40cm2 C.80 cm2 D.40 cm2 【解答】解:由图知,底面直径为8cm,母线长为10cm, 则底面周长为8 cm, 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是,. 故选:D. 3.如图,用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为2,侧面积为8 的圆锥体,则该扇形的母线的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:设圆锥的母线长为l, 由题意得:2 l=8 , 解得:l=4, 故选:D. 4.如图,在矩形ABCD中,以点A为圆心,以AD长为半径画弧交BC于点E,将扇形ADE剪下来做成圆锥,若,则该圆锥底面半径为( ) A. B. C.1 D.2 【解答】解:∵在矩形ABCD中, ∴∠BAD=∠B=90 , ∵AB=BE=3, ∴ ABE是等腰直角三角形, ∴∠BAE=45 ,AE==4, ∴∠DAE=45 , ∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长, ∴圆锥的底面圆的半径为r, ∴=2 r, ∴解得r=. 故选:A. 5.把一个圆心角为120 ,半径为9cm的扇形纸片,通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4 cm的圆锥侧面,如图所示,则圆锥上粘贴部分(图中阴影部分)的面积是_cm2.( ) A.8 B.9 C.19 D.27 【解答】解:∵圆锥的底面周长为4 cm, ∴围成圆锥的扇形弧长为4 (cm), ∵已知扇形的弧长为=6 (cm), ∴粘贴部分的弧长为6 ﹣4 =2 (cm), ∴圆锥上粘贴部分的面积是 2 9=9 (cm2). 故选:B. 6.如图,从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心为60 的最大扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的高为( ) A. B. C. D. 【解答】解:设圆锥的底面圆半径为r. 过圆心O作OD⊥AC于点D,连接AO,如图. ∵∠BAC=60 , ∴∠DAO=30 . ∴,, ∴AC=2AD=6, ∴, ∴圆锥的底面圆的半径r=1. ∴圆锥的高为=, 故选:A. 7.如图已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120 ,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面积为( ) A.4 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2 【解答】解:由弧长公式可知:==4 ∴底面圆的周长为4 , 设底面圆的半径为CD=r, ∴4 =2 r ∴r=2, ∴圆锥的底面积为 22=4 , 故选:A. 8.小李同学在数学综合实践活动中,用一块扇形材料制作了一个圆锥模型(如图所示),经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm,圆锥的高为8cm,则根据测量数据推算,制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为( ) A.145 B.120 C.216 D.180 【解答】解:∵圆锥底面直径为12cm,圆锥的高为8cm, ∴圆锥的母线长为=10, ∴=12 , 解得n=216. 故选:C. 二.填空题(共8小题) 9.将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为4 cm2,圆心角 为90 ,圆锥的底面圆的半径为 1cm . 【解答】解:设扇形的半径为R cm,弧长为l cm, 由题意得:=4 , 解得:R=4(负值舍去), 则l 4=4 , 解得:l=2 , ∴圆锥的底面圆的半径为:2 (2 )=1(cm), 故答案为:1cm. 10.一个圆锥的底面周长是25.12cm,高是4cm.从顶点沿高把它切成相等的两半,表面积增加了 32 cm2. 【解答】解:25.12 =8(cm), 8 4 2=32(cm2), ∴表面积增加了32cm2. 故答案为:32. 11.若圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则它的侧面展开图的圆心角是 120 . 【解答】解:圆锥的底面周长是:2 1 =2 , 设圆心角的度数是n ,则, 解得:n=120. 故侧面展开图的圆心角的度数是120 . 故答案是:120 . 12.如图,用圆心角为120 ,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 4 cm. 【解答】解:∵圆心角为120 ,半径为6cm的扇形的弧长==4 , ∴圆锥的底面圆的周长为4 , ∴圆锥的底面圆的半径为2, ∴这个纸帽的高==4(cm). 故答案为4. 13.如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,∠BAC=30 ,BC=2,将Rt ABC绕AC所在直线l旋转一周所得到的几何体的表面积是 . 【解答】解:如图所示,过点B作BD⊥AC于D, ∵在Rt ABC中,∠ABC=90 ,∠BAC=30 ,BC=2, ∴∠ACB=60 , ∴, ∴, ∵将Rt ABC绕AC所在直线l旋转一周所得到的几何体可以看作底面圆半径为BD,高分别为AD,CD的长的两个圆锥组成的几何体, ∴将Rt ABC绕AC所在直线l旋转一周所得到的几何体的表面积为, 故答案为:. 14.如图,小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的圆心角为216 ,半径是5cm,那么这个圆锥的底面半径是 3cm . 【解答】解:设这个圆锥的底面半径为r,根据题意得, , 其中n=216,l=5, ∴, 故答案为:3cm. 15.用半径为13cm,面积为65 cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 12 cm. 【解答】解:设圆锥的底面圆的半径为r cm, 则 2 r 13=65 , 解得:r=5, 所以圆锥的高h===12(cm), 故答案为:12. 16.有一个圆锥形的零件,底面半径长为4cm,母线长为10cm,用一张扇形铁皮恰好能将这个零件的侧面包裹住(接缝忽略不计),这张扇形铁皮的面积是 40 cm2. 【解答】解:设这张扇形铁皮的面积是S, 由题意得,S= rl= 4 10=40 (cm2), 故答案为:40 . 三.解答题(共5小题) 17.已知. (1)化简M; (2)如图,a,b分别为圆锥的底面半径和母线的长度,若圆锥的侧面积为24 ,求M的值. 【解答】解:(1)M=• =• =; (2)由题意得: 2 a b=24 , 则ab=24, ∴M==. 18.根据“双减”工作要求,为丰富学生课余生活,促进学生全面成长,学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动,在一次综合实践活动中,华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为50cm的扇形铁片,再制作成一个高40cm的圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计),求华华剪裁的扇形铁片的圆心角. 【解答】解:设扇形圆心角为 ,最后制成烟囱帽的底面圆半径为r cm, 则, 根据题意得:, 解得: =216 , ∴华华剪裁的扇形铁片的圆心角为216 . 19.如图,从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为多少? 【解答】解:设圆锥的底面圆的半径为r cm, 根据题意得2 r=, 解得r=6, 所以这个圆锥的高==3(cm). 20.如图,在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90 的扇形CAB. (1)求阴影部分面积; (2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面,求圆锥底面圆的半径. 【解答】解:(1)连接AB,OC, ∵∠ACB=90 , ∴AB是圆O的直径, ∴点A、O、B三点共线, ∴OB=OC=OA, 又∵AC=BC, ∴AO⊥OC, ∵圆的直径为2, 则, 故. ∴; (2)AB的长, 则, 解得:. 故该圆锥的底面圆的半径是. 21.如图, ABC是一张直角三角形纸片,∠C=90 ,它的两条直角边分别是a和b(a>b),将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周,得到两个圆锥.试猜想哪个圆锥的体积更大,并通过计算证明自己的猜想. 【解答】解:以直角边b所在直线为轴旋转一周,得到的圆锥的体积更大. 证明如下:以直角边a所在直线为轴旋转一周,得到的圆锥的体积为: b2 a= ab2, 以直角边b所在直线为轴旋转一周,得到的圆锥的体积为: a2 b= a2b, ∵=<1, ∴ ab2< a2b, ∴以直角边b所在直线为轴旋转一周,得到的圆锥的体积更大. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$