第十二章 分式和分式方程 项目学习 利用分式方程解决实际问题 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

第十二章 分式和分式方程 课标领航·核心素养学段目标 1. 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 2. 能解可化为一元一次方程的分式方程. 3. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程. 4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 第十二章 分式和分式方程 本章内容要点 4 个关键概念：分式，最简分式，最简公分母，分式方程 1 个重要性质：分式的基本性质 2 种特殊变形：分式的约分，分式的通分 6 种常见运算：分式的乘除，同（异）分母分式的加减 1 类方程解法：解分式方程 1 种重要应用：分式方程在实际问题中的应用 3 个核心素养：抽象能力，运算能力，模型观念 3 个数学思想：类比思想，转化思想，建模思想 第十二章 分式和分式方程 基 本 概 念 分 式 和 分 式 方 程 分式的定义 分式的值为 0 的条件 形如 的代数式叫做分式，其中，A，B 都是整式，且 B 含有字母 分式有意义的条件 B≠0 A=0 且 B≠0 单元思维图解 第十二章 分式和分式方程 分 式 的 运 算 分 式 和 分 式 方 程 · = 分式的 乘法运算 分式的 除法运算 同分母分式的加减运算 = · = = = = 异分母分式的 加减运算 分式的 混合运算 单元思维图解 第十二章 分式和分式方程 基 本 性 质 分 式 和 分 式 方 程 分式的 基本性质 分式的约分 分式的通法 = , = （其 中，M 是不等于 0 的整式） 结果为最简分式或整式 最简公分母 类比思想 单元思维图解 第十二章 分式和分式方程 分 式 方 程 分 式 和 分 式 方 程 分式方程的定义 解分式 方程 列分式方程 解应用题 分母中含有未知数的方程 去分母，化为整式方程 审、设、列、解、验、答 转化思想 解整式方程 检验——增根 建模思想 双检验 单元思维图解 项目学习 利用分式方程解决实际问题 初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，让学生从数学的角度（列分式方程）解决社会生活中的实际问题.培养学生的模型观念，让学生初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程表示数量关系，求出结果并讨论结果的意义.模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性. 例 1 采购员甲和乙结伴去一家工厂购买同种生产原料两次，两次购买生产原料的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中甲每次购买的数量相同，乙每次购买的金额相同． （1）若乙每次花费 8 000 元，第二次购买生产原料的单价是第一次的 且数量比第一次少了 80 kg，求乙这两次购买生产原料的单价分别是多少？ 项目学习 （2）若甲每次购买 500 kg，乙每次花费 6000 元，设两人第一次购买生产原料的价格都是 m 元/kg，第二次购买生产原料的价格都是 n 元/kg（m＞0，n＞0 且 m≠n），每人两次购买的平均价格越低越划算，则甲、乙谁的购买方式更划算，请说明理由． 项目学习 项目学习 ［解析］（1） （2）平均价格= ，作差法比较大小. 第一次 第一次 总价 8 000 8 000 单价 x x 数量 等量关系 第一次数量-第二次数量=80 kg ［答案］解：（1）设乙第一次购买生产原料的单价是 x 元/kg，则乙第二次购买生产原料的单价是 x 元/kg， 根据题意得 - =80，解得 x=20， 经检验，x=20 是所列方程的解，且符合题意， ∴ x= ×20＝25， 答：乙第一次购买生产原料的单价是 20 元/kg，第二次购买生产原料的单价是 25 元/kg； 项目学习 （2）乙的购买方式更划算，理由如下： ∵ 第一次购买生产原料的价格为 m 元/kg，第二次购买生产原料的价格为 n 元/kg（m＞0，n＞0 且 m≠n）， ∴ 甲两次购买生产原料的平均价格为 =（元/kg）， 乙两次购买生产原料的平均价格为 = （元/kg）， ∴ - = - =， 项目学习 ∵（m-n）2＞0，m+n＞0，∴＞0， 即 - ＞0，∴ ＞ ， ∴ 乙的购买方式平均价格更低， ∴ 乙的购买方式更划算． 项目学习 ［点拨］解决实际问题的关键是审清题意，找对等量关系，从而建立起正确的数学模型从而求解. 例 2 科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为 ρ甲，ρ乙的液体混合（ρ甲＜ ρ乙），研究混合物的密度（物体的密度= ），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲、乙两种液体的混合溶液密度为 ρ1，等质量的甲、乙两种液体的混合溶液密度为 ρ2． （1）请用含 ρ甲，ρ乙的式子表示 ρ1； （2）比较 ρ1，ρ2 的大小，并通过运算说明理由； 项目学习 （3）现有 600 g 密度为 1.2 g/cm3 的盐水,加适量的水（密度为 1.0 g/cm3）进行稀释，问：需要加多少水，才能使密度为 1.1 g/cm3 的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中（悬浮时盐水与鸡蛋的密度相等）？ 项目学习 项目学习 ［解析］（1）设混合溶液密度为 ρ1 的两种液体的体积分别为 V，表示出两种液体的质量，利用公式解题即可； （2）用含 ρ甲，ρ乙的式子表示出 ρ2，然后利用作差法计算 ρ1-ρ2 的值进行比较大小； （3）等量关系：悬浮时盐水与鸡蛋的密度相等. ［答案］解：（1）设混合溶液密度为 ρ1 的两种液体的体积分别为 V， ∴ ρ1= = ； （2）ρ1＞ρ2，理由：设混合溶液密度为 ρ2 的两种液体的质量分别为 m， ∴ρ2= = ， ∵ρ1-ρ2= - ==＞0， ∴ρ1＞ρ2； 项目学习 （3）600 g 密度为 1.2 g/cm3 的盐水的体积为 = 500（cm2）， 设需要加水 x g，即加入的水的体积为 x cm3，则 =1.1，解得 x=500， 经检验，x=500 是原方程的解，且符合题意． 答：需要加水 500 g，才能使密度为 1.1 g/cm3 的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中． 项目学习 $$