精品解析：黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年度第一学期 高三年级数学学科第1次考试（导数、三角函数） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. －1 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 7. 在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 有一个内角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 10. 如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 是的极小值点 11. 下面比较大小正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 函数的单调递减区间是_______. 13. 已知中，已知，的面积，则边长的值为_____． 14. 已知实数成等比数列，且当时函数取得极大值，则___. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最小值. 17. 的内角的对边分别为,若, ，, 求的面积. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 高三年级数学学科第1次考试（导数、三角函数） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可 【详解】由题得，所以. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式求得正确选项. 【详解】 . 故选：B 3. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处导函数为零可求解. 【详解】因为，则， 由题意可知.经检验满足题意 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【详解】，． 故选：. 5. 将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到的解析式 【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得， 故选：D. 6. 函数的零点的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再判断函数的零点个数. 【详解】在上是增函数，且 的零点个数为. 故选：A. 【点睛】本题考查判零点个数，重点考查导数判断函数单调性，属于基础题型.函数的零点的判断方法有三种：一、直接求零点：令 ，如果能求出解，有几个解就有几个零点；二、零点存在性定理：函数在连续的区间上有定义且，则函数在上存在零点；三、先把所求的函数分解成两个简单的函数，再由两函数图象看交点个数，交点横坐标即为函数的零点. 7. 在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 有一个内角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 8. 已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性求值，根据复合函数导数法则求导，然后根据导函数的对称行和周期性即可求解. 【详解】为偶函数， ， ， 为奇函数， ， ，即， ， ，即函数的周期为4， ， ， ， ， ，即， 由得， ， . 故选：. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A不正确； 令，解得， 即函数的定义域为，所以B正确； 令，解得， 当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确； 由，可得，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，所以D正确. 故选：BCD. 10. 如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 是的极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】先由导函数图象得到原函数的单调性，进而得到极值点情况，得到答案. 【详解】A选项，由导函数图象可知，当时，，时，， 时，，时，， 故在，上单调递增，不能用连接，A错误； B选项，在上单调递减，在上单调递增，， 故为的极小值点，B正确； C选项，在区间上单调递减，C正确； D选项，在上单调递增，在上单调递减，， 故是的极大值点，D错误. 故选：BC 11. 下面比较大小正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可构造函数，利用导数判断该函数的单调性，运用函数的单调性即可求解. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由于函数在上单调递增，且， 从而，当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 又，， 所以，，， 即，，，， 故，选项A错； ，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错. 故选：BC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 函数的单调递减区间是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求得函数的导数，令导数小于0，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 令 ，解得 ， 由于 ，故， 所以函数的单调递减区间是， 故答案为： 13. 已知中，已知，的面积，则边长的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得，然后利用余弦定理即得. 【详解】设中三角所对边为，则， ∵， ∴， 由余弦定理可得，， 解得，即. 故答案为：5. 14. 已知实数成等比数列，且当时函数取得极大值，则___. 【答案】 【解析】 【分析】通过求导判断函数的单调性，求出函数的极大值和极大值点，再利用等比数列求出即得. 【详解】由可知其定义域为，求导得，， 由可得，当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 故当时，取得极大值. 又实数成等比数列，即，代入解得，，又由解得, 故 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 【答案】35米 【解析】 【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可； 【详解】设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式整理可得，进而可得最小正周期； （2）根据（1）中函数解析式，结合正弦函数最值分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）可知：， 令，解得， 所以当，取到最小值为. 17. 的内角的对边分别为,若, ，, 求的面积. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理和得到关于的方程，与条件等式联立求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】由余弦定理得，即， 又,联立解得，， 故的面积为：. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数可判断函数在区间上的单调性，可求出值域； （2）将代入不等式，分离参数，得在上恒成立，令，利用导数求出在上的最大值即可得解. 【小问1详解】 当时，， ，定义域为， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在时，取到最小值，， 而，，， ， 因此函数值域为. 【小问2详解】 由，得， 即在上恒成立， 设，，则， ∵，∴，， ∴当时，， 即函数在上单调递减， ∴当时，， 因此，即的取值范围是． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）因为，所以，所以， 令，所以， 令，所以， 因为，时，，所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求确定斜率，求确定切点坐标，利用点斜式即可求切线方程. （2）根据，确定函数，令，利用二次求导的方法确定的单调性，再根据，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即，由此结论得证. 【小问1详解】 当时，，则， 得，又，所以切点为，所以切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $