广东省广州市天河外国语学校2022-2023学年九年级数学上学期期末考试数学试题

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题(每小题3分,共30分) 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝ 2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 3．菱形中，，对角线相交于点，以为圆心，以3为半径作，则四个点在上的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法中错误的是（ ） A．成中心对称的两个图形全等 B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分 C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心 D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合 5．一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（　） A． B． C． D． 6．如图，A，B是反比例函数y=图象上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC＝BD＝OC，S四边形ABCD＝9，则k值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．1． 7．把方程化成的形式，则的值分别是（ ） A．4，13 B．-4，19 C．-4，13 D．4，19 8．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 10．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ） A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm 二、填空题(每小题3分,共24分) 11．已知，则的值为___________. 12．动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是_____． 13．如图，路灯距离地面，身高的小明站在距离路灯底部（点）的点处，则小明在路灯下的影子长为_____． 14．在中，，，则______________. 15．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ． 16．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm． 17．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0 ）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是__________ 18．将函数y=5x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________． 三、解答题(共66分) 19．（10分）西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732) 20．（6分）如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，现有长为米的篱笆，一边靠墙，若墙长米，设花圃的一边为米；面积为平方米． （1）求与的函数关系式及值的取值范围； （2）若边不小于米，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 21．（6分）如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 22．（8分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC． （1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 23．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接． （1）求的值； （2）若，求直线的解析式； （3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系． 24．（8分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2≤x＜1.6 a 1.6≤x＜2.0 12 2.0≤x＜2.4 b 2.4≤x＜2.8 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中a=　 　，b=　 　，样本成绩的中位数落在　 　范围内； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？ 25．（10分）某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/kg，市场调查发现，在一段时间内该产品每天的销售量W(kg)与销售单价x(元/kg)有如下关系：W=，设这种产品每天的销售利润为y(元) ． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 26．（10分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E. （1）求证：∠E=∠C； （2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求cos∠ABC的值； （3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数. 参考答案 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、A 【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴sinA＝sin∠BCD＝； cosA＝cos∠BCD= ; tanA＝； cosB＝； 所以B、C、D均错误 故选：A． 【点睛】 本题考查的是锐角三角函数定义，理解熟记锐角三角函数定义是解题关键，需要注意的是锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的． 2、D 【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，即m2﹣m(x1+x2)+18+x1x2=0；然后根据根与系数的关系即可求得a的值． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D． ∵AC⊥BC， ∴AD2+DC2+CD2+BD2=AB2， 设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2(x1≤x2)， ∴A(x1，0)，B(x2，0)． 依题意有(x1﹣m)2+9+(x2﹣m)2+9=(x1﹣x2)2， 化简得：m2﹣m(x1+x2)+9+x1x2=0， ∴m2m+90， ∴am2+bn+c=﹣9a． ∵(m，﹣3)是图象上的一点， ∴am2+bm+c=﹣3， ∴﹣9a=﹣3， ∴a． 故选：D． 【点睛】 本题是二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是注意数形结合思想． 3、B 【分析】根据菱形的性质可知，AO=CO=3，OB=OD，AC⊥BD，再根据勾股定理求出BO的长，从而可以判断出结果． 【详解】解：如图，由菱形的性质可得， AO=CO=3，BO=DO，AC⊥BD, 在Rt△ABO中，BO==DO≠3， ∴点A，C在上，点B，D不在上． 故选：B． 【点睛】 本题考查菱形的性质、点与圆的位置关系以及勾股定理，掌握基本性质和概念是解题的关键． 4、B 【解析】试题分析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误． 故选B． 考点：中心对称． 5、C 【解析】A. 由抛物线可知，a>0，x=− <0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误； B. 由抛物线可知，a>0，x=−>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误； C. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确； D. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误． 故选C. 6、B 【分析】分别延长CA、DB，它们相交于E，如图，设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝OD•t＝t•5t，则OD＝5t，所以B点坐标为（5t，t），于是AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，再利用S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB得到•5t•5t﹣•4t•4t＝9，解得t2＝2，然后根据k＝t•5t进行计算． 【详解】解：分别延长CA、DB，它们相交于E，如图， 设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t， ∵A，B是反比例函数y=图象上两点， ∴k＝OD•t＝t•5t， ∴OD＝5t， ∴B点坐标为（5t，t）， ∴AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t， ∵S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB， ∴•5t•5t﹣•4t•4t＝9， ∴t2＝2， ∴k＝t•5t＝5t2＝5×2＝2． 故选：B． 【点睛】 本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7、D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解：∵x2+8x-3=0, ∴x2+8x=3, ∴x2+8x+16=3+16, ∴（x+4）2=19, ∴m=4，n=19, 故选：D． 【点睛】 配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8、B 【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP（AAS），则△BEP面积=△CDP面积；易知△BOE面积=×8=2，△COD面积=|k|．由此可得△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=3+|k|=12，解k即可，注意k＜1． 【详解】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD， ∴∠BEP=∠CDP， 又∠BPE=∠CPD，BP=CP， ∴△BEP≌△CDP（AAS）． ∴△BEP面积=△CDP面积． ∵点B在双曲线上， 所以△BOE面积=×8=2． ∵点C在双曲线上，且从图象得出k＜1， ∴△COD面积=|k|． ∴△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=2+|k|． ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴平行四边形ABCO面积=2×△BOC面积=2（2+|k|）， ∴2（3+|k|）=12， 解得k=±3， 因为k＜1，所以k=-3． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到y轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是|k|． 9、B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A、原式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意； 故选B． 【点睛】 此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键． 10、B 【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r， 2πr=， r=10cm 故选B． 考点：弧长的计算． 二、填空题(每小题3分,共24分) 11、 【分析】设，分别表示出a,b,c,即可求出的值. 【详解】设 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】 本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c表示出来是解题的关键. 12、 【分析】先利用点A求出直线l的解析式，然后求出以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时点B的坐标，即b的值，从而确定以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点时b的取值范围. 【详解】设直线l的解析式为 ∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，将点A代入直线解析式中 得 解得 ∴直线l解析式为y＝3x﹣2 如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2） ∴OA＝2，OC＝ ∴AC＝ 若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD ∴BD⊥AC ∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝ ∴ ∴ ∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为或∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是 故答案为 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握锐角三角函数是解题的关键. 13、4 【分析】,从而求得. 【详解】解： , 解得. 【点睛】 本题主要考查的相似三角形的应用. 14、 【分析】根据sinA=，可得出的度数，并得出的度数，继而可得的值． 【详解】在Rt△ABC中，， ∵， ∴ ∴ ∴=. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 15、105°． 【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果． 【详解】连接OQ， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠B=45°， 由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC， ∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO， ∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°， ∴∠OQC=45°， ∵BO：OA=1：， 设BO=1，OA=， ∴AQ=1，则tan∠AQO==， ∴∠AQO=60°， ∴∠AQC=105°． 故答案为105°． 16、1 【分析】（1）根据，求出扇形弧长，即圆锥底面周长； （2）根据，即，求圆锥底面半径． 【详解】该圆锥的底面半径= 故答案为：1． 【点睛】 圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长． 17、 (5,0) 【详解】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒． 故第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（5，0）． 18、y=5（x+2）2+3 【分析】根据二次函数平移的法则求解即可. 【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x2的图象向左平移2个单位得到y=，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=的图象向上平移3个单位可得到函数y=，故答案是：y=． 【点睛】 本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置. 三、解答题(共66分) 19、12.20米 【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度． 【详解】设AB=x米． Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米． Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°x米． CD=BD﹣BC=(1)x=6， 解得：x=9+3， 即AB=(9+3)米． ∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2， ∴AM=AB﹣BM=7+312.20(米)． 答：这棵树高12.20米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题． 20、（1）；（2）当时，有最大值，最大值是，当时，有最小值，最小值是 【分析】（1）根据题意可得S=x(18-3x)=-3x²+18x （2）根据⑴和边不小于米，则4≤x≤5,在此范围内是减函数，代入求值即可． 【详解】解：（1） ， （2）， 当时，有最大值，最大值是， 当时，有最小值，最小值是 【点睛】 本题考查的是二次函数中的面积问题，注意自变量的取值范围． 21、（1）A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）；（2）1 【分析】（1）求出两函数解析式组成的方程组的解即可； （2）先求出函数y＝x﹣2与y轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：（1）解方程组， 解得：，， 即A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）； （2）设函数y＝x﹣2与y轴的交点是C， 当x＝0时，y＝﹣2， 即OC＝2， ∵A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）， ∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝＝1． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键． 22、（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）连接推出根据切线的判定推出即可； （2）连接求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可． 试题解析：(1)BC与相切， 理由：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵AO=DO， ∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∴OD⊥BC， ∴BC与相切； (2)连接OE，ED， ∴△OAE为等边三角形， 又 ∴阴影部分的面积=S扇形ODE 23、 (1) ； (2) ；(3)  BC∥AD． 【分析】（1）将点A（-4 ,1）代入，求的值； （2）作辅助线如下图，根据和CH=AE，点D的纵坐标，代入方程求出点D的坐标，假设直线的解析式，代入A、D两点即可； （3）代入B（0,1），C（2,0）求出直线BC的解析式，再与直线AB的解析式作比较，得证BC∥AD． 【详解】（1） ∵反比例函数的图象经过点A（-4 ,1）， ∴ （2）  如图，∵  ∴ ∴ DH=3 ∵ CH=AE=1 ∴CD=2 ∴ 点D的纵坐标为﹣2， 把代入得： ∴ 点D的坐标是（2，﹣2） 设：，则 ∴ ∴ 直线AD的解析式是： （3） 由题（2）得 B（0,1），C（2,0） 设：，则 解得 ∴ ∵ ∴BC∥AD 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用以及两直线平行的判定，掌握反比例函数的性质以及两直线平行的判定定理是解题的关键． 24、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人． 【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围； （2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整； （3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得. 【详解】（1）由统计图可得， a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20， 样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内， 故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4； （2）由（1）知，b=20， 补全的频数分布直方图如图所示； （3）1000×=200（人）， 答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人． 【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键. 25、（1）；（2）当销售单价定为30元时每天的销售利润最大，最大利润是1元 【分析】（1）每天的销售利润y=每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据（1）得到的函数关系式求得相应的最值问题即可． 【详解】（1）； ∴y与x之间的函数关系式为； （2）， ∵， ∴当时，y有最大值，其最大值为1． 答：销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是1元． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法． 26、（1）证明见详解；（2）；（3）30°或45°. 【分析】（1）由题意：∠E=90°-∠ADE，证明∠ADE=90°- ∠C即可解决问题． (2) 延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB=∠EAD=90°，，由BD：DE=2：3，可得cos∠ABC= ； （3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠BAC，同理∠ABD= ∠ABC， ∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C， ∴∠ADE= （∠ABC+∠BAC）=90°- ∠C， ∴∠E=90°-（90°- ∠C）= ∠C． （2）解：延长AD交BC于点F． ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠E， BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠E=∠CBE， ∴AE∥BC， ∴∠AFB=∠EAD=90°，， ∵BD：DE=2：3， ∴cos∠ABC=； (3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°， ∴∠ABC中必有一个内角为90° ∵∠ABC是锐角， ∴∠ABC≠90°． ①当∠BAC=∠DAE=90°时， ∵∠E=∠C， ∴∠ABC=∠E=∠C， ∵∠ABC+∠C=90°， ∴∠ABC=30°； ②当∠C=∠DAE=90°时，∠E＝∠C=45°， ∴∠EDA=45°， ∵△ABC与△ADE相似， ∴∠ABC=45°； 综上所述，∠ABC=30°或45°. 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$