第二章 直线和圆的方程 考试真题分类汇编-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第二章 直线和圆的方程 考试真题分类汇编 题型01 直线的倾斜角与斜率 1．（2023-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（    ） A．0 B． C． D．3 2．（2023-24高二上·四川雅安·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2021·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 6．（2023-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 题型02 已知直线的平行、垂直求参数 7．（2023-24高二上·四川内江·期中）已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 8．（2023-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 9．（2023-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2023-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 11．（2023-24高二上·贵州安顺·期末）（多选）已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 题型03 求直线的方程 12．（2023-24高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 13．（2023-24高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 14．（2023-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 15．（2023-24高二上·广东东莞·期中）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过两点． 16．（2023-24高一上·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 17．（2023-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 题型04 由直线的平行、垂直求方程 18．（2023-24高二上·福建福州·期中）直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（2023-24高一上·宁夏石嘴山·期中）经过点且与直线平行的直线方程是 . 20．（2023-24高二上·河南·阶段练习）已知点，直线. (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求经过点且与直线垂直的直线方程. 21．（2023-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 题型05 点到直线的距离 22．（2023-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（2023-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 24．（2023-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）与直线垂直，且与点距离为的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 25．（2023-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 26．（2023-24高二上·山西吕梁·期中）在梯形中，，，已知，，． (1)求点的坐标； (2)求梯形的面积． 27．（2023-24高二上·山东临沂·期中）已知直线，，且直线与垂直. (1)求的值； (2)若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 28．（2023-24高二上·江苏镇江·开学考试）在△ABC中，，，. (1)求BC边的高线所在的直线的方程； (2)过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B､C到l的距离之比为1：2，求D的坐标. 题型06 直线的对称问题 29．（2023-24高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（2023-24高二上·安徽六安·期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ． 31．（2023-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 32．（2023-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线，. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 33．（2023-24高二上·辽宁沈阳·期中）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点.求所在的直线方程. 题型07 圆的标准方程和一般方程 34．（2023-24高二下·河北石家庄·期末）若圆的圆心是，则该圆的半径为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 35．（2023-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 36．（2023-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 38．（2023-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 39．（2023-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 题型08 点、直线与圆的位置关系 40．（2023-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 41．（2023-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 42．（2023·广西·模拟预测）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 43．（2023-24高二下·福建厦门·期末）（多选）已知直线与圆：有公共点，则半径可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（2023-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 题型09 圆的切线问题 45．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 46．（2023-24高三上·安徽池州·期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 47．（2023-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 48．（2023-24高三上·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 49．（2023-24高二上·安徽合肥·期末）以两条直线 的交点为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是 ． 50．（2023-24高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 题型10 圆的弦长问题 51．（2023-24高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 52．（2023-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 53．（2023-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 54．（2023-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 55．（2023-24高二上·安徽亳州·期中）已知圆C的圆心在上，半径为，且与直线相切于点P． (1)求圆的标准方程； (2)若圆在直线下方，且与直线相交于、两点，求三角形的面积． 56．（2023-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 题型11 圆与圆的位置关系 57．（2023-24高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 58．（2023-24高一下·浙江宁波·期末）（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 59．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 60．（2023-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．（2023-24高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二下·广东湛江·期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2023-24高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 4．（2023-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 6．（2023-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 三、填空题 7．（2023-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合，．若，则实数 ． 8．（2023-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 9．（2023-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 四、解答题 10．（2023-24高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 11．（2023-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 12．（2023-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 13．（2023-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第二章 直线和圆的方程 考试真题分类汇编 题型01 直线的倾斜角与斜率 1．（2023-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由于直线MN的倾斜角为，则该直线MN的斜率为， 又因为，，所以，解得. 故选：B 2．（2023-24高二上·四川雅安·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以直线的倾斜角为146°. 故选：D 3．（2023-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得， . 故选：D. 4．（2021·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 又，得，，得， . 故选：C. 5．（2023-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 6．（2023-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 题型02 已知直线的平行、垂直求参数 7．（2023-24高二上·四川内江·期中）已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【详解】直线平行，则， 所以. 故选：A 8．（2023-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 9．（2023-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 10．（2023-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 11．（2023-24高二上·贵州安顺·期末）（多选）已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 【答案】AC 【详解】若两直线的方向向量平行，则，则无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确， 由于的斜率为，所以直线不可能垂直于x轴，B错误， 当时，此时，，此时两直线垂直，C正确， 当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误， 故选：AC 题型03 求直线的方程 12．（2023-24高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：直线的斜率为，且纵截距为7， 所以直线的斜截式方程是. 故选：A. 13．（2023-24高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 14．（2023-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 15．（2023-24高二上·广东东莞·期中）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过两点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为直线的斜率是，经过点， 由直线的点斜式方程，可得，即. （2）解：因为直线过两点，可得斜率为， 由直线的点斜式方程，可得，即. 16．（2023-24高一上·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 17．（2023-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 题型04 由直线的平行、垂直求方程 18．（2023-24高二上·福建福州·期中）直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 直线过点且与直线垂直， 所以，化简为：. 故答案为：B. 19．（2023-24高一上·宁夏石嘴山·期中）经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【详解】解：经过点且与直线平行的直线的斜率为：， 所求直线方程为：.即：. 故答案为：. 20．（2023-24高二上·河南·阶段练习）已知点，直线. (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求经过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设经过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求直线方程为； （2）直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为-2， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为， 即. 21．（2023-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由于，所以，解得. （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为. （3）由解得， 设所求直线方程为，代入得， 故所求直线方程为. 题型05 点到直线的距离 22．（2023-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ， 故选：B 23．（2023-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 24．（2023-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）与直线垂直，且与点距离为的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】依题意设所求直线方程为， 则点到直线的距离，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：AB 25．（2023-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 26．（2023-24高二上·山西吕梁·期中）在梯形中，，，已知，，． (1)求点的坐标； (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由，得，即， 由，得，即， 所以，，即点的坐标为． （2）方法一：，， 设，又， 所以梯形的面积 ； 方法二：， ， 由，，得直线的方程为， 点到直线的距离． 所以梯形的面积． 27．（2023-24高二上·山东临沂·期中）已知直线，，且直线与垂直. (1)求的值； (2)若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线与垂直，得，即，解得. （2）由（1）得，直线的方程为，即， 解，得，即点坐标为， ①当直线的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为原点到该直线的距离为3，所以，所以， 则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 28．（2023-24高二上·江苏镇江·开学考试）在△ABC中，，，. (1)求BC边的高线所在的直线的方程； (2)过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B､C到l的距离之比为1：2，求D的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可知：直线BC的斜率为，则BC边的高线所在的直线斜率为， 所以BC边的高线所在的直线方程为，即. （2）由（1）可知直线的方程为：，即， 若直线l的斜率不存在，则直线l：， 可知B､C到l的距离分别为，不合题意； 若直线l的斜率存在，设为，则直线l：，即， 由题意可得：，即或， 当，则直线l：， 联立方程，解得，即； 当，则直线l：， 联立方程，解得，即； 综上所述：D的坐标为或. 题型06 直线的对称问题 29．（2023-24高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上， 设，根据且的中点在直线上，得， 解得，所以， 又，所以直线方程为，故方程为， 故选：D    30．（2023-24高二上·安徽六安·期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ． 【答案】 【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知, 设关于直线的对称点，，解得； 由反射光线性质知 所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度， . 故答案为：. 31．（2023-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    32．（2023-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线，. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）解：若，， 由解得，，所以与的交点坐标为. 显然在上，设关于的对称点为， 则解得，则， 所以直线关于直线对称的直线方程为，即. 33．（2023-24高二上·辽宁沈阳·期中）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点.求所在的直线方程. 【答案】 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 设点关于直线的对称点为， 易知，解得，即， 由对称性可知，点在直线上， 所以，可得直线的方程为， 即. 题型07 圆的标准方程和一般方程 34．（2023-24高二下·河北石家庄·期末）若圆的圆心是，则该圆的半径为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可知，，则， 所以圆的方程为，即， 所以圆的半径为2. 故选：C 35．（2023-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 36．（2023-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 37．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 38．（2023-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 39．（2023-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 题型08 点、直线与圆的位置关系 40．（2023-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 41．（2023-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 42．（2023·广西·模拟预测）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】BC 【详解】由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 43．（2023-24高二下·福建厦门·期末）（多选）已知直线与圆：有公共点，则半径可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 由于直线与圆有公共点， 则，解得， 由于，所以符合条件的选项为C、D. 故选：CD. 44．（2023-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 题型09 圆的切线问题 45．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 46．（2023-24高三上·安徽池州·期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为M，N， ，则， 则，故， 故为钝角，则. 故选：D. 47．（2023-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 48．（2023-24高三上·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，另一条为） 【详解】依题意，点关于直线的对称点， 由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切， 相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为， 因此圆心到直线的距离，解得， 所以所求直线方程为或. 故答案为： 49．（2023-24高二上·安徽合肥·期末）以两条直线 的交点为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是 ． 【答案】 【详解】利用，解得，则圆心坐标为， 设圆的方程为 利用圆心到直线的距离， 整理得， 故圆的方程为. 故答案为：. 50．（2023-24高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 【答案】或 【详解】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 题型10 圆的弦长问题 51．（2023-24高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 52．（2023-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【详解】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 53．（2023-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，设圆的方程为， 由圆与轴相切于点，得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以．    54．（2023-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设过点且斜率为的直线的方程为：， 则：， 整理得：， 直线与圆交于，两点， ， 所以：， 解得：． （2）直线与圆交于,，,两点， ， 由于：， 则：，所以：， 故 解得：或． 由于，所以， 直线的方程为：， 圆心到直线的距离， 圆的半径为 所以． 55．（2023-24高二上·安徽亳州·期中）已知圆C的圆心在上，半径为，且与直线相切于点P． (1)求圆的标准方程； (2)若圆在直线下方，且与直线相交于、两点，求三角形的面积． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：设圆心，因为圆的圆心在上，所以， 因为圆与直线相切，所以，得或，且圆的半径为， 所以圆的标准方程为或. （2）解：由题意知，圆方程为，， 点到直线的距离为，所以， 点到直线的距离为， 所以． 56．（2023-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 题型11 圆与圆的位置关系 57．（2023-24高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 58．（2023-24高一下·浙江宁波·期末）（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【详解】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 59．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 60．（2023-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 一、单选题 1．（2023-24高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    2．（2023-24高二下·广东湛江·期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则圆心到直线得距离， 又半径，， 则，，故，即充分性成立； 若，则是等腰直角三角形，， 则圆心到直线得距离，即， 得，则，即必要性不成立； 综上所述：是的充分不必要条件． 故选：A． 3．（2023-24高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 4．（2023-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 二、多选题 5．（2023-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 6．（2023-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 三、填空题 7．（2023-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合，．若，则实数 ． 【答案】3 【详解】因为，所以直线与直线没有交点， 所以直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足； 当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足， 所以的值为3. 故答案为：3. 8．（2023-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 9．（2023-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 四、解答题 10．（2023-24高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 11．（2023-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 12．（2023-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【详解】（1） 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2） 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 13．（2023-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． （3）过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为． 点到直线的距离， 所以， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$