精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末复习检测卷

期末复习综合检测卷 （时间100分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用合并同类项、单项式乘以单项式积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法法则分别计算各项即可． 【详解】解：A、，原选项计算结果错误，故不符合题意； B、，计算正确，故符合题意； C、，原选项计算错误，故不符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、单项式乘以单项式积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法，正确掌握运算法则是解答此题的关键． 3. 2024年4月，洛阳牡丹花会将盛大开启．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蓉净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”某品种的牡丹花粉直径约为0.000354米，则数据0.000354用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选A． 4. 若三角形两边长分别是6、5，则第三条边c的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，进行计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于两边之差，即6-5=1，而小于两边之和，即5+6=11． 故选D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，能够根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围． 5. 将一副三角板按下列图示位置摆放，其中的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，结合预交和补角的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、根据同角的余角相等得：，故选项符合题意； B、根据题意得：，，则，故选项不符合题意； C、根据题意得：，，则，故选项不符合题意； D、根据题意得：，，则，故选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是余角和补角，掌握余角和补角的性质、正确进行角的大小比较是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 7. 儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有万个形状、大小相同的各种颜色塑料小球．某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为，据此可估计该球池内红球大约有（ ）个 A. 万个 B. 万个 C. 万个 D. 万个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据数据描述求频数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 因为统计出红球的频率为，所以红球所占的比例也就是，根据总数可求出红球个数． 【详解】解：估计该球池内红球的个数大约为（万个）． 故选：C． 8. 如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C在边AO上，两条斜边互相平行，∠O=∠BCE=90°，∠A=30，∠B=45°，则∠ACB等于（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠FMC=45°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠ACB的度数． 【详解】解：∵AF∥BE， ∴∠B=∠FMC=45°， 又∵∠A=30°． ∴∠ACB=∠FMC-∠B=45°-30°=15°， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 9. 下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. ∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF C. AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF D. AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠F 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断. 【详解】如图： A. 没有边的参与，不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误； B. 根据SSA不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误； C. 根据SSS能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确； D.∠A的对应角应该是∠D，故不能判断，本选项错误； 故选C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的几种方法是解决本题的关键，在做此题时可画出图形，根据图形进行判断，切记判定定理的条件里必须有边，且没有边边角（SSA）这一定理. 10. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为10cm，则的周长为（　　） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中作图得到垂直平分，得到，，由的周长为10cm，得到，利用周长公式求出的周长． 【详解】解：由题意得，垂直平分， ∴，， ∵的周长为10cm， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如果是一个完全平方式，那么的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍，故，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 12. 已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的概念，三角形内角和定理， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论． 【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由已知可知，， 又∵， ∴， ∴； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由已知可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴的顶角的度数为或． 故答案为：或． 13. 如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动两次，则两次指针都落在绿色区域的概率为_____________．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：如图所示，把绿色扇形划分成三个圆心角都是的扇形（如图），分别记为绿I，绿II，绿III， 让转盘自由转动2次，画出树状图如图所示： 共有16中等可能出现的结果，其中指针2次都落在绿色区域的结果数为9， 两次指针都落在绿色区域的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，，，，求面积 ____． 【答案】 【解析】 【分析】作，证，得到，即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：做出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8． 15. 在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2022次碰到长方形的边时，点的坐标为 __． 【答案】 【解析】 【分析】依照题意画出图形，再根据轴对称的性质写出前面7个点的坐标，再归纳出规律，利用规律解题即可． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵，，， ∴，，，，，…， ∴的坐标以6为循环单位循环． ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的轴对称的性质，坐标规律探究，熟练的利用轴对称的性质得到坐标的变化规律是解本题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）； 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，积的乘方和幂的乘方以及单项式的乘除等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式的乘除即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 先化简，再求值：，其中，. 【答案】； 【解析】 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则对代数式进行化简运算，然后再合并同类项即可，最后再将a和b的值带入即可得到最终结果. 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了乘法公式和整式的运算法则，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键. 18. 已知：如图，于点D，于点F，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据平行线的判定可得，可得，由，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可判断； （2）根据平行线的性质可得，由角平分线的定义，从而得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， , , ∵平分， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键． 19. 如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成6个扇形），每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是1是_______，转出的数字是7是_______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）转动转盘，转出的数字大于7的概率是________． （3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是_______． 【答案】（1）不可能事件，随机事件 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“不可能事件”“随机事件”“必然事件”的意义进行判断即可； （2）转动转盘一次，共有6种等可能出现的结果情况，其中大于7的有1种，可求出相应的概率； （3）转动转盘可得到3、4、5、6、7、8这六个数字中的一个，与卡片中的两个数字作为三条线段的长度，共有6种等可能的情况，其中能构成三角形的有2种，因此可求出概率． 【小问1详解】 ∵转盘被平均分成6等份，分别标有3、4、5、6、7、8这六个数字，没有数字1， ∴“转到数字1”是不可能的，转到数字7是可能的， 故答案为：不可能事件，随机事件； 【小问2详解】 转动转盘一次，共有6种等可能出现的结果情况，其中大于7的有1种， 所以转动转盘，转出数字大于7的概率是， 故答案为：； 【小问3详解】 转动转盘可得到3、4、5、6、7、8这六个数字中的一个，与卡片中的两个数字作为三条线段的长度，共有6种等可能的情况， 即：2、3、3；2、3、4；2、3、5；2、3、6；2、3、7；2、3、8； 其中能构成三角形的为2、3、3；2、3、4，共计有2种， 所以三条线段能构成三角形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查随机事件以及概率的计算，理解必然事件，不可能事件、随机事件的意义是正确判断的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是计算相应事件发生概率的关键． 20. 某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ （2）设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】（1）填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为； （2），调运方案见解析； （3）调运方案见解析． 【解析】 【分析】（）根据题意，用减可得需要从处调运的数量，用减去可得从调研往处的数量，用减去即为从调运往处的数量； （）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分、和三情况解答即可； 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：（）填表如下： 总计/ 总计/ 依题意得：， 解得， ∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为； 【小问2详解】 解：与之间的函数关系为： 由题意得：， ∴， ∵在中，， ∴随增大而增大， ∴当时，总运费最小， 此时调运方案为： 总计/ 总计/ 【小问3详解】 解：由题意得， ∴当时，（）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变； 当时，总费用最小，其调运方案如下： 总计/ 总计/ 21. 在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 22. 如图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，表示小明离他家的距离．小明家、菜地、玉米地在同一条直线上． （1）小明从家到菜地用了______分钟，菜地离小明家有______千米． （2）小明给菜地浇水用了______分钟． （3）从菜地到玉米地用了______分钟，菜地离玉米地有______千米． （4）小明给玉米地锄草用了______分钟． （5）玉米地离小明家有______千米，小明从玉米地回家的平均速度是______千米/分． 【答案】（1）15；1.1 （2）10 （3）12；0.9 （4）18 （5）2；0.08 【解析】 【分析】（1）根据图像得出小明从家到菜地的时间，菜地离小明家的距离即可； （2）根据图像直接得出小明给菜地浇水用的时间即可； （3）根据图像直接得出从菜地到玉米的时间，菜地离玉米地的距离即可； （4）根据图像直接得出小明给玉米地锄草用的时间即可； （5）根据图像直接得出玉米地离小明家的距离，根据速度公式求出小明从玉米地回家的平均速度即可． 【小问1详解】 解：根据图像可知，小明从家到菜地用的时间为15分钟，菜地离小明家的距离为1.1千米； 故答案为：15；1.1． 【小问2详解】 解：小明给菜地浇水用的时间为：（分钟）． 故答案为：10． 【小问3详解】 解：从菜地到玉米地用的时间为：（分钟）， 菜地离玉米地距离为：（千米）． 故答案为：12；0.9． 【小问4详解】 解：小明给玉米地锄草用的时间为：（分钟）． 故答案为：18． 【小问5详解】 解：玉米地离小明家的距离为：2千米， 小明从玉米地回家的平均速度为（千米/分）． 故答案为：2；0.08． 【点睛】本题主要考查了根据函数图像获取信息，解题的关键是读懂题意，根据图像获取相关信息． 23. 如图，是中的平分线，于，于，连接．求证：． 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． （1）【作图探讨】：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 ，小军得出的依据是 （填序号） ②③④ [测量发现（2）在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明（如图；小慧同学分别过点点作、的垂线段、，从而得以证明（如图．请你选取小聪或小慧的其中一种方法完成证明过程． [迁移应用]（3）：如图5，已知，，点在上，，，若在射线．上存在点，使，请直接写出相应的的长． 【答案】（1）①；③；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查是三角形的面积计算、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据、定理判断即可； （2）延长线段至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）过点作交于，于，连接并延长交于，根据等腰直角三角形的性质求出、，求出，进而求出，得出的长，同理求出． 【详解】（1）解：由小明的作法可知，，， 在和中， ， ， 即小明得出的依据是①， 由小军的作法可知，，， ， 即小军得出的依据是③， 故答案为：①；③； （2）证明：延长线段至点，使，连接， 则是的中线， ， ， ， ， ，， ， 即． 在和中， ， ． ， ； （3）解：过点作交于，于，连接并延长交于， 由（2）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 此时，， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习综合检测卷 （时间100分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年4月，洛阳牡丹花会将盛大开启．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蓉净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”某品种的牡丹花粉直径约为0.000354米，则数据0.000354用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形两边长分别是6、5，则第三条边c的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按下列图示位置摆放，其中的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 7. 儿童游乐园“欢乐海洋球池”内共有万个形状、大小相同的各种颜色塑料小球．某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为，据此可估计该球池内红球大约有（ ）个 A. 万个 B. 万个 C. 万个 D. 万个 8. 如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C在边AO上，两条斜边互相平行，∠O=∠BCE=90°，∠A=30，∠B=45°，则∠ACB等于（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 9. 下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. ∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF C AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF D. AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠F 10. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为10cm，则的周长为（　　） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如果是一个完全平方式，那么的值是________． 12. 已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为______． 13. 如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动两次，则两次指针都落在绿色区域的概率为_____________．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 14. 如图，，，，求的面积 ____． 15. 在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2022次碰到长方形的边时，点的坐标为 __． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）； 17. 先化简，再求值：，其中，. 18. 已知：如图，于点D，于点F，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 19. 如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成6个扇形），每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是1是_______，转出的数字是7是_______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）转动转盘，转出的数字大于7的概率是________． （3）现有两张分别写有2和3卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是_______． 20. 某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ （2）设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从地到处路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 21. 在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 22. 如图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，表示小明离他家的距离．小明家、菜地、玉米地在同一条直线上． （1）小明从家到菜地用了______分钟，菜地离小明家有______千米． （2）小明给菜地浇水用了______分钟． （3）从菜地到玉米地用了______分钟，菜地离玉米地有______千米． （4）小明给玉米地锄草用了______分钟． （5）玉米地离小明家有______千米，小明从玉米地回家的平均速度是______千米/分． 23. 如图，是中的平分线，于，于，连接．求证：． 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． （1）【作图探讨】：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 ，小军得出的依据是 （填序号） ②③④ [测量发现（2）在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明（如图；小慧同学分别过点点作、的垂线段、，从而得以证明（如图．请你选取小聪或小慧的其中一种方法完成证明过程． [迁移应用]（3）：如图5，已知，，点在上，，，若在射线．上存在点，使，请直接写出相应的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$