精品解析：2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学压轴卷 (A)

2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学压轴密卷（A） （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 杭州亚运会共有来自亚洲45个国家（地区）代表团的约12000余名运动员报名参赛，报名人数创历届之最，将12000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2023年上半年一些国家的服务进出口总额同比增长率如下表： 美国 德国 英国 中国 日本 韩国 其中服务进出口总额同比增长率最高的国家是（　　） A. 日本 B. 中国 C. 美国 D. 德国 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 8. 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　) A. x＝－1 B. x＝2 C. x＝0 D. x＝3 9. 光线在不同介质中传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ） A. 102里 B. 126里 C. 192里 D. 198里 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图在3×3的正方形网格中有四个格点A.B.C.D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是____点. 13. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 14. 如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若面积为5，正方形的周长为，则k的值为________． 15. 如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 17. 两个加工区A和B均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A，B加工区路程和每吨每千米的运费如表所示： 路程(千米) 运费(元/吨·千米) 甲公司 乙公司 甲公司 乙公司 A加工区 20 15 12 1.2 B加工区 25 20 1 0.8 （1）现A加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？ （2）现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A，B两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A加工区需要70吨原材料不变，当A，B两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？ 18. 为弘扬中华优秀传统文化，全市开展了“传承经典文化，阅读经典名著”大赛．某校准备挑选优秀选手组成学校代表队参加市级比赛，为此，在校内举行了“与经典同行”遴选比赛，共设置三项内容：“飞花令”“经典诵读”“笔墨经典”，每项满分为100分，得分按的比例计算选手个人最终得分，按得分由高到低确定前12名入选代表队． 信息一：遴选赛后对选手成绩进行了整理：选手们的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图： 信息二：选手李强的得分统计表 项目 飞花令 经典诵读 笔墨经典 得分（分） 88 90 85 请根据以上图表信息，解答下列问题： （1）参加校内遴选赛的选手共有多少名？C组人数占参赛选手的百分比是多少？ （2）李强的最终得分是多少分？若组内另外选手的最终得分分别为86，87，89，85，85，85，86，87，86，85，89，分析李强是否能入选校代表队． 19. 我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系． （1）预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？ （2）为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？ 20. 在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于之间有障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角处放置一个平面镜(如图所示)，经测量，他发现与墙面所成的角即墙面，当小明站在点C处，与点A距离，且点C在上，连线与平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到，参考数据：） 21. 如图，已知中设的外接圆为，的平分线交于点D，点E在的延长线上且，连接，． （1）尺规作图：作的外接圆为的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 22. 专题复习课上，老师带领同学们共同探索“折叠”中的动态变化问题，进一步感悟综合几何图形的解题关键是“化繁为简”．在复杂图形中分解出特殊（基本）图形．进而建立图形要素（线段、基本图形）的解题关系．已知矩形纸片，，． 【操作感知】 （1）如图1，将矩形纸片沿折叠、点C落在点处，设与交于点P，小丽同学关注折叠后得到的，如图2，利用对称性及平行关系得；小强同学观察中，与线段间的关系后，认为可以求得现有图形中任意线段的长；请你根据同学们的操作观察和思考，求线段的长． 【类比分析】 （2）如图4，E是边上一个动点，现将沿直线折叠，点C落在点处，当为多长时，点恰好落在上？ 【动态探究】 （3）如图5，点E在矩形边上以．向点B运动，点F在矩形边上以向点D运动，点C沿着折叠落在点处，过作分别交矩形边于点，G，求经过后的面积（）． 23. 在平面直角坐标系中，将某函数的部分记为图象，经过点，图象沿直线翻折后得到的图象记为，则图象和关于y轴对称．图象和组成图象M． （1）设点在图象上，则点A在图象上的对应点坐标为 ； （2）如图1，当时，设是一次函数图象，求关于y轴对称的对应的函数表达式； （3）如图2，当时，设是二次函数图象，过点，过点的直线l与y轴垂直，当直线l和图象M有四个交点时，求a的取值范围； （4）在（3）条件下，点P，Q在抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学压轴密卷（A） （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 杭州亚运会共有来自亚洲45个国家（地区）代表团的约12000余名运动员报名参赛，报名人数创历届之最，将12000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n和a的值即可得到答案． 【详解】． 故选：B． 2. 如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得． 【详解】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形， 所以其主视图为： 故选C． 【点睛】考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 2023年上半年一些国家的服务进出口总额同比增长率如下表： 美国 德国 英国 中国 日本 韩国 其中服务进出口总额同比增长率最高的国家是（　　） A. 日本 B. 中国 C. 美国 D. 德国 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，会比较有理数的大小是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴增长率最大的是中国． 故选：B． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式除单项式，根据各个运算法则逐个计算即可． 【详解】A.，计算错误，不符合题意； B.，计算错误，不符合题意； C.，计算正确，符合题意； D.，计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可． 详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8. 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　) A. x＝－1 B. x＝2 C. x＝0 D. x＝3 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用待定系数法把(2,3)(0,1)代入y=kx+b,可得关于k、b的方程组,再解方程组可得k、b的值,求出一次函数解析式,再求出方程kx+b=0的解即可. 【详解】解::y=kx+b经过(2,3)(0,1), ，解得: kx+b=x+1=0, 解得:x=-1, 所以A选项是正确的. 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系,关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式. 9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质求解即可，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ） A. 102里 B. 126里 C. 192里 D. 198里 【答案】D 【解析】 【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里， 依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378， 解得：x=6． 32x=192， 6+192=198， 答：此人第一和第六这两天共走了198里， 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则进行计算，注意结果要化成最简二次根式 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的乘法计算，掌握运算法则准确计算是解题关键 12. 如图在3×3的正方形网格中有四个格点A.B.C.D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是____点. 【答案】B 【解析】 【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案． 【详解】解：当以点B为原点时，如图， A（-1，-1），C（1，-1）， 则点A和点C关于y轴对称，符合条件． 故答案为B． 【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键． 13. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红球 白球 蓝球 红球 （红球，红球） （白球，红球） （蓝球，红球） 白球 （红球，白球） （白球，白球） （蓝球，白球） 蓝球 （红球，蓝球） （白球，蓝球） （蓝球，蓝球） 由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果， 所以两次摸到球的颜色相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若面积为5，正方形的周长为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、反比例函数的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 过点A作轴于点E，则，由反比例函数比例系数的几何意义得到，根据正方形的性质得到，，再利用三角形面积计算公式得到，则可利用勾股定理得到，利用三角形面积公式求出，然后利用勾股定理求出，得到，即可求k的值． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，则， ∵A在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的周长为． ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，抛物线与轴相交于两点．过点直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设抛物线与轴的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∵将线段绕点旋转，得到线段，点在抛物线上，横坐标， ∴当点与点重合时，点与点重合， 此时，点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴， 解得（不合舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或 ， 故答案为：或 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂公式，立方根，特殊角的三角函数计算，解答即可． （2）根据分式的乘除混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，立方根，特殊角的三角函数，分式的乘除混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 17. 两个加工区A和B均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A，B加工区的路程和每吨每千米的运费如表所示： 路程(千米) 运费(元/吨·千米) 甲公司 乙公司 甲公司 乙公司 A加工区 20 15 1.2 1.2 B加工区 25 20 1 0.8 （1）现A加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？ （2）现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A，B两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A加工区需要70吨原材料不变，当A，B两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？ 【答案】（1）A 加工区从甲公司购进原材料20 吨，乙公司50吨 （2）当A加工区从甲公司购买70吨原材料，B加工区从甲，乙两公司各购买30吨和80吨原材料时，总运费最少 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用,一元一次不等式组的应用； （1）设A加工区从甲公司购进原材料x吨，从乙公司购进原材料y吨，利用购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，再建立方程组求解即可； （2）设A加工区从甲公司购进原材料m吨．从乙公司购进 吨，则B加工区从甲公司购进吨，从乙公司购进吨．设总运费为，再建立函数关系式结合一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A加工区从甲公司购进原材料x吨，从乙公司购进原材料y吨， 依据题意列方程组， 解得 答：A 加工区从甲公司购进原材料20 吨，乙公司50吨； 【小问2详解】 解：设A加工区从甲公司购进原材料m吨． 从乙公司购进 吨， 则B加工区从甲公司购进吨， 从乙公司购进吨． 设总运费为，依据题意得． ∵， ∴总运费随m的增大而减小． ∵， ∴， 则当时， 总运费最少， 即． 答：当A加工区从甲公司购买70吨原材料，B加工区从甲，乙两公司各购买30吨和80吨原材料时，总运费最少． 18. 为弘扬中华优秀传统文化，全市开展了“传承经典文化，阅读经典名著”大赛．某校准备挑选优秀选手组成学校代表队参加市级比赛，为此，在校内举行了“与经典同行”遴选比赛，共设置三项内容：“飞花令”“经典诵读”“笔墨经典”，每项满分为100分，得分按的比例计算选手个人最终得分，按得分由高到低确定前12名入选代表队． 信息一：遴选赛后对选手成绩进行了整理：选手们的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图： 信息二：选手李强的得分统计表 项目 飞花令 经典诵读 笔墨经典 得分（分） 88 90 85 请根据以上图表信息，解答下列问题： （1）参加校内遴选赛的选手共有多少名？C组人数占参赛选手的百分比是多少？ （2）李强的最终得分是多少分？若组内另外选手的最终得分分别为86，87，89，85，85，85，86，87，86，85，89，分析李强是否能入选校代表队． 【答案】（1）40人，； （2）88分，李强没有入选校代表队． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，掌握相关知识是解题的关键． （1）用A组的人数除以A组所点的百分比可求出参加校内遴选赛的人数，用C组的人数除以参加校内遴选赛的人数可求C组人数占参赛选手的百分比； （2）依据题意求出李强的最终得分，再根据在全校的排名即可判断． 【小问1详解】 解：参加校内遴选赛的选手共有： (人)； C组人数占参赛选手的百分比是：； 【小问2详解】 解：李强的最终得分是： (分)， ∵李强在C组内的最终得分排名为第3名，全校排名第名， ∴李强没有入选校代表队． 19. 我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系． （1）预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？ （2）为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？ 【答案】（1）快艇在距离海岸能追赶上可疑船只． （2）快艇的速度为． 【解析】 【分析】本题考查的是实际问题与一次函数∶ （1）设直线的解析式为，直线的解析式为，把函数图象中的已知坐标代入解析式求解．然后通过与的解析式，列方程求解即可． （2）本题通过快艇与可疑船只离海岸距离相同，利用求出可疑船只所用的时间，再利用速度路程时间求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 当，时，有，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 当，时，有，解得， 直线的解析式为， 当快艇追赶上可疑船只时， 有，解得， 把代入中，有， 所以快艇在距离海岸能追赶上可疑船只． 【小问2详解】 解：快艇可比快艇B提前追赶上， 此时快艇与可疑船只距离海岸（）， 即当时，有，解得， 20. 在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于之间有障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角处放置一个平面镜(如图所示)，经测量，他发现与墙面所成的角即墙面，当小明站在点C处，与点A距离，且点C在上，连线与平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到，参考数据：） 【答案】能， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，延长线段，取延长线上一点为E，求得， 由反射角等于入射角，得到，再得到，在中，，求得， 即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：他通过平面镜能观察到点D， 延长线段，取延长线上一点为E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点 D距离点A 约为． 21. 如图，已知中设的外接圆为，的平分线交于点D，点E在的延长线上且，连接，． （1）尺规作图：作的外接圆为的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，圆周角定理，圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的内接四边形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握作图，圆的性质是解题的关键． （1）作线段垂直平分线，交点即为所求； （2）连接，证明即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下： 则点O即为所求． 【小问2详解】 证明：连接， 则；， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴； ∴； ∵四边形内接于， ∴； ∵ ∴， ∴． 22. 专题复习课上，老师带领同学们共同探索“折叠”中动态变化问题，进一步感悟综合几何图形的解题关键是“化繁为简”．在复杂图形中分解出特殊（基本）图形．进而建立图形要素（线段、基本图形）的解题关系．已知矩形纸片，，． 【操作感知】 （1）如图1，将矩形纸片沿折叠、点C落在点处，设与交于点P，小丽同学关注折叠后得到的，如图2，利用对称性及平行关系得；小强同学观察中，与线段间的关系后，认为可以求得现有图形中任意线段的长；请你根据同学们的操作观察和思考，求线段的长． 【类比分析】 （2）如图4，E是边上的一个动点，现将沿直线折叠，点C落在点处，当为多长时，点恰好落在上？ 【动态探究】 （3）如图5，点E在矩形边上以．向点B运动，点F在矩形边上以向点D运动，点C沿着折叠落在点处，过作分别交矩形边于点，G，求经过后的面积（）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数； （1）根据折叠和矩形的性质先证明，再设， 则， ，最后在中根据勾股定理列方程计算即可； （2）设，根据折叠得到，，再在中根据勾股定理列方程计算即可； （3）连接， 连接交于点M， 交于点N，根据，，得到，再求出当时在上时，最后根据和分类讨论求解即可． 计算即可． 【详解】(1) 解：在中， 由折叠得． ∵， ， ∴， ∴． 设， 则， ， 在 中，， 由勾股定理得 ∴ 解得 (2) 解：设，则． 在 中，， 由勾股定理得 ， 解得， ∴； 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得 即 时，点恰好落在上． (3)解：连接， 连接交于点M， 交于点N， ∵点E在矩形边上以．向点B运动，点F在矩形边上以向点D运动， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时在上， ①当时，如图1， 由翻折可得被垂直平分， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ②当时，如图2，过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． ∴ 23. 在平面直角坐标系中，将某函数的部分记为图象，经过点，图象沿直线翻折后得到的图象记为，则图象和关于y轴对称．图象和组成图象M． （1）设点在图象上，则点A在图象上对应点坐标为 ； （2）如图1，当时，设是一次函数图象，求关于y轴对称的对应的函数表达式； （3）如图2，当时，设是二次函数图象，过点，过点的直线l与y轴垂直，当直线l和图象M有四个交点时，求a的取值范围； （4）在（3）的条件下，点P，Q在抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对应的点的坐标特点可得答案； （2）求解， 任取图象上一点关于y轴对称的点为， 设过与的直线为，再进一步可得答案； （3）求解，可得该函数图象的顶点坐标为．由直线l过点且与图象M有四个交点，再结合图象建立不等式求解即可； （4）由（3）可知， (3) 16对称轴为直线．可得点P， Q都在上， 其中点Q在对称轴右侧．①当P在对称轴左侧时，②当P在对称轴右侧时，再利用最高点与最低点的纵坐标的差为，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解： 由已知图象和关于y轴对称，所以关于y轴对称的点为； 【小问2详解】 解：由已知经过点， 所以当时， 图象经过点， 得， 任取图象上一点关于y轴对称的点为， 设过与的直线为， ∴，解得：， ∴为， 即关于y轴对称的对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时， 点C的坐标为． 把点代入二次函数中， 得， 所以． ∴， 该函数图象的顶点坐标为． ∵直线l过点且与图象M有四个交点， 当时，如图， ∴， 解得； 当时，如图，显然不符合题意． 综上，a的取值范围为； 【小问4详解】 解：由（3）可知， (3) 16对称轴为直线． ∵， ∴， ， 如图，∵点P， Q都在上， 其中点Q在对称轴右侧． ①当P在对称轴左侧时， ∴， ∴， 点P与点Q之间部分最高点为顶点，最低点为点Q， ， 整理解得或．都不符合题意，舍去， ②当P在对称轴右侧时，如图， ∴， ∴． ∵； 所以点 P与点Q 之间部分最高点为P 点，最低点为点Q， ， 整理解得(舍) 或． 综上，a的值为． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$