精品解析：2024年河北省中考二模数学考前测试评估卷

2024年河北省中考二模数学考前测试评估卷（河北卷） 一、单选题（本大题共16小题） 1. 下图中用量角器测得的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平面内，直角三角板直角顶点落在直线上，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式的项数及次数分别是（ ） A 3；3 B. 3；2 C. 2；3 D. 2；2 5. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A. 8.23×10﹣6 B. 8.23×10﹣7 C. 8.23×106 D. 8.23×107 6. 如图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 9. 已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 11. 为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（ ） ………………甲 ………乙 ………………………丙 =—2……………………………………丁 A. 10分 B. 20分 C. 30分 D. 40分 12. 如图，从海盗分别同时沿北偏西方向，北偏东驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（ ） A 60海里 B. 40海里 C. 30海里 D. 20海里 13. 如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ） A. 15 B. 16 C. 19 D. 20 14. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 15. 如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，连接交于点．若，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 3 16. 如图为某二次函数部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为； ②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为； ④当时，，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共3小题） 17. 如图是一组有规律图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……依此规律，第2024个图案中应该有______个白色圆片． 18. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形． (1)的度数为______． (2)若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 19. 如图，在中，，轴于点，双曲线经过点，且与交于点．若的面积为12，．请解决以下问题： （1）若点纵坐标为1，则点的纵坐标为______． （2）______． 三、解答题（本大题共7小题） 20. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案： 方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q． 方案2：第一、二次提价的百分率均为． 其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为： （1）方案1：______；方案2：______； （2）两种方案中哪种提价多？请说明理由． 21. 某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株． （1）请问A、B两种苗木各多少株？ （2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 22. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 23. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 24. 如图，直线l1：y=2x，直线l2：y=-x+m与x轴交于点A，两直线l1，l2交于点B，点B的坐标为． （1）求m，n的值； （2）直线l2上是否存在点D，使得ΔAOD的面积为4，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为．结果足球“画出一－条美妙的曲线”在点O正上方处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离． （注：题中的x表示球到球门的水平距离，y表示球飞行的高度） 26. 如图，已知中，，．点是所在平面内不与点、重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． （1）如图1，当时，线段与的数量关系是______； 直线与相交所成的锐角的度数是______． （2）如图2，当时， ①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； ②当，，时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河北省中考二模数学考前测试评估卷（河北卷） 一、单选题（本大题共16小题） 1. 下图中用量角器测得的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可直接得出． 【详解】解：由题意，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式除以单项式分别进行判断即可. 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 如图，在平面内，直角三角板直角顶点落在直线上，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平角为即可求解． 【详解】∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平角为的知识，掌握考点知识是解答本题的关键． 4. 多项式的项数及次数分别是（ ） A. 3；3 B. 3；2 C. 2；3 D. 2；2 【答案】A 【解析】 【详解】解：多项式中的项为，共3项， 因为的次数是，的次数是，的次数是， 所以此多项式的次数是3， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式项数和次数，熟记多项式的项数的定义（多项式中每一个单项式称为该多项式的项）和次数的定义（次数最高的项的次数即为该多项式的次数）是解题关键． 5. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A. 8.23×10﹣6 B. 8.23×10﹣7 C. 8.23×106 D. 8.23×107 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000823=8.23×10-7． 故选B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6. 如图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看是一个正方形，正方形的右上角是一个三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线都画实线． 7. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可． 【详解】由作法得BD平分∠ABC， ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的的外心， 的外心坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外心知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 9. 已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误． 【详解】解：A、∵， ，∴．故此选项符合题意； B、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b<c+d，故此选项不符合题意； C、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+c<b-d，故此选项不符合题意； D、∵， ，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b<c-d, 故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 10. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，且它们的周长比为， ∴，， ∴与的面积之比：， 即与的面积之比是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 11. 为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（ ） ………………甲 ………乙 ………………………丙 =—2……………………………………丁 A. 10分 B. 20分 C. 30分 D. 40分 【答案】B 【解析】 【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 【详解】解：原式 ， 因此从丙开始出现错误．故得分为20分． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键． 12. 如图，从海盗分别同时沿北偏西方向，北偏东驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（ ） A. 60海里 B. 40海里 C. 30海里 D. 20海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定定理，易证∆ABC是等边三角形，进而即可得到答案． 【详解】连接AC， ∵AB=AC=2×20=40（海里），∠ABC=20°+40°=60°， ∴∆ABC是等边三角形， ∴AC= AB=AC=40（海里），即：两艘货船之间的距离为40海里． 故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理和定义，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 13. 如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ） A. 15 B. 16 C. 19 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ， ∵AD∥BC,AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形的宽都是3， ∴AE=AF=3， ∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 如图2， ， 设AB=BC=x，则BE=9−x， ∵BC2=BE2+CE2， ∴x2=(9−x)2+32， 解得x=5， ∴四边形ABCD面积的最大值是： 5×3=15. 故选A. 14. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图，可得答案． 【详解】解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意； B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意； C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意； D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键． 15. 如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，连接交于点．若，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用中点构造三角形的中位线后利用三角形中位线定理得到一个平行四边形，最后利用证明三角形全等得到EF=DF即可． 【详解】解：如图所示，取BC中点M，连接DM，过D点作DN∥BE交AC于点N， ∵是的中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC， ∴四边形DMCN是平行四边形， ∴DN=CM， ∵BC=2CE，BC=2CM， ∴CM=CE， ∴DN=CE, 由DN∥CE, 则∠DNF=∠ECF，∠NDF=∠CEF， ∴△DNF≌△ECF， ∴EF=DF=2， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，解题关键是能够正确做出辅助线构造出平行四边形． 16. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为； ②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为； ④当时，，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法，可判断①，根据二次函数的图像的对称性可判断②③，根据二次函数的图像，可直接判断④． 【详解】解：由二次函数图像可知：，把（0，8）代入得：， 解得：，即：，故①错误； ∵点A(6，m)，在这个二次函数图象上， 又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线x=2，且2-(-1)＜6-2， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为：直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(8，0)， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，故③正确； 由二次函数的图像可知：当时，，故④错误． ∴正确结论的序号是：②③， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键． 二、填空题（本大题共3小题） 17. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……依此规律，第2024个图案中应该有______个白色圆片． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．从而可得答案． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． ∴第2024个图案中应该有个白色圆片． 故答案为：． 18. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形． (1)的度数为______． (2)若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可求出，进而求出阴影部分扇形的半径和圆心角的度数，利用弧长公式求出的长，再根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径． 【详解】解： 如图，过点作于点， 正六边形的边长为 ， ， ， 的长为， 设圆锥的底面半径为 则， 即， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆与正多边形，求弧长，求圆锥的底面半径，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是解题的关键． 19. 如图，在中，，轴于点，双曲线经过点，且与交于点．若的面积为12，．请解决以下问题： （1）若点纵坐标为1，则点的纵坐标为______． （2）______． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识： （1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，可得，根据相似三角形的性质可得出点的纵坐标； （2）设，得，，由可求出，，由得代入求得 【详解】解： 过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴ ∴ ∵ ∴，即点的纵坐标为4； （2）设， 轴， ∴， ， ， ， 双曲线经过点 故答案为：4，2． 三、解答题（本大题共7小题） 20. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案： 方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q． 方案2：第一、二次提价的百分率均为． 其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为： （1）方案1：______；方案2：______； （2）两种方案中哪种提价多？请说明理由． 【答案】（1）， （2）方案2提价最多 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，得出每种方案提价后的单价．利用作差法比较大小． （1）根据各方案中的提价百分率，即可提出提价后的单价； （2）用作差法即可进行比较． 【小问1详解】 解：方案1：提价后的单价：， 方案2：提价后的单价：， 故答案为：，． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴，则， ∴， ∴提价最多的是方案2． 21. 某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株． （1）请问A、B两种苗木各多少株？ （2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 【答案】（1）A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵； （2）安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务． 【解析】 【分析】（1）根据在基地上种植A，B两种苗木共6000株，A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验． 【小问1详解】 解：设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵， 根据题意可得：， 解得：， 答：A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵； 【小问2详解】 解：设安排a人种植A苗木，则安排（350-a）人种植B苗木， 根据题意可得：， 解得，a=100， 经检验，a=100是原方程的解， ∴350-a=250， 答：安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 22. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，18，10 （2）162 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、n的值； （2）用乘B类人数的占比即可求解； （3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：(名)， ， ， 故答案为：40，18，10； 【小问2详解】 解：， 故答案为：162； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． 23. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）； 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形两锐角互余，切线的性质： （1）过B作，根据切线得到，结合得到，再根据直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）根据（1）及得到，结合三角函数求出，即可得到答案； 【小问1详解】 解：过B作， 由题意可得， ， ∵铁环与水平地面相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵推杆与铁环相切于点B， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的半径为，推杆的长为， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，直线l1：y=2x，直线l2：y=-x+m与x轴交于点A，两直线l1，l2交于点B，点B的坐标为． （1）求m，n的值； （2）直线l2上是否存在点D，使得ΔAOD的面积为4，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由直线l1：y=2x，过点B ，可求解n的值，直线l2：y=-x+m过点可求解m的值，从而可得答案； （2）先求解 设 再根据ΔAOD的面积为4，列方程再解方程即可． 【小问1详解】 解： 直线l1：y=2x，过点B ， 即 直线l2：y=-x+m过点 ∴一次函数的解析式为： 小问2详解】 ∵一次函数的解析式为： ∴令 则 即 ∵点D在上，设 ΔAOD的面积为4， 即 解得：或 ∴或 【点睛】本题考查的是正比例函数与一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，利用方程思想解决图形面积问题是解本题的关键． 25. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为．结果足球“画出一－条美妙的曲线”在点O正上方处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离． （注：题中的x表示球到球门的水平距离，y表示球飞行的高度） 【答案】（1），球不能射进球门 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，求出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出第二次射门的解析式，求出顶点坐标即可求出答案． 【小问1详解】 由题意，可知抛物线的顶点坐标为， ∴ 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 把，代入，得 ， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵． ∴两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离为． 26. 如图，已知中，，．点是所在平面内不与点、重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． （1）如图1，当时，线段与的数量关系是______； 直线与相交所成的锐角的度数是______． （2）如图2，当时， ①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； ②当，，时，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）①不成立，理由见解析；②的面积是25或41 【解析】 【分析】（1）先证明和是等边三角形，再证明，推出， ，延长交的延长线于，证，即可求得直线与相交所成的锐角的度数; (2)①根据等腰直角三角形性质易知，再证明，即可求解；②分点在内和外两种情况讨论，利用①中结论和勾股定理设法求出的斜边长度，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：，，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于，即为直线与相交所成的锐角； ∴， ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 ①不成立，，直线与相交所成的锐角的度数是； 理由如下：如图2， 设直线交于点，交于点， 当时， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴直线与相交所成的锐角的度数是； ②当点在外时，作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点在内时，如下图所示， 同理可得 故的面积是25或41 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键在于正确寻找全等三角形或相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$