精品解析：福建省三明市宁化县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

2023-2024学年上学期期中质量检测试卷 八年级数学 Ⅰ卷（客观题） 一、选择题：本大题10小题共40分，每题4分，只有一个正确选项． 1. 面积为2的正方形的边长是（ ）． A. 1 B. C. D. 4 2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A （﹣3，﹣1） B. （﹣3，1） C. （﹣1，3） D. （3，1） 4. 若二次根式有意义，则（ ）． A. B. C. D. 5. 以下计算正确的是（ ）． A B. C. D. 6. 与最接近的整数是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 边长为2的等边三角形的面积为（ ）． A. 1 B. C. D. 4 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 9. 以下4个一次函数中，y随x增大而减小，且其图象过点的是（ ）． A. B. C. D. 10. 若实数k、b满足k+b＝0，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是( ) A. B. C. D. E. Ⅱ卷（主观题） 二、填空题：本大题6小题共24分，每小题4分． 11. 写出一个比3大且比4小无理数：_____． 12. 如图所示，正方形A与面积为64和100的两个正方形顶点重合拼成的图形，则正方形A的面积为______． 13. 若，则______． 14. 一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是______． 15. 已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 计算三边长为5，6，7的三角形的面积得______． 16. ①一次函数与图象关于x轴对称； ②坐标分别为、、的三点在同一直线上； ③一次函数中，若时该函数值最大为2，则； ④点、在一次函数的图象上，若，则． 以上4个结论中，正确的是______（填序号）． 三、解答题：本大题9小题共86分，应有获得结果的计算或推理过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知中，，，求的面积． 19. 计算： 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在图中画出，并画出与关于y轴对称的图形． （2）求的面积． 21. 如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m． （1）这个梯子底端B离墙有多少米？ （2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长． 22. 如图，正方形在平面直角坐标系中，B的坐标是，D是的中点，． （1）写出点D，E的坐标； （2）问：是直角三角形吗？请说明理由． 23. 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为分钟，甲、乙两种业务的费用分别为和元． （1）试分别写出、与之间的函数关系式； （2）画出、的图象； （3）利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠? 24. 如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． （1）求点B的坐标； （2）求这两个函数的关系式； （3）若点P是x轴上任意一点，请直接写出当为等腰三角形时点P的坐标． 25. 如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D． （1）求长； （2）求证：； （3）求线段长度最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上学期期中质量检测试卷 八年级数学 Ⅰ卷（客观题） 一、选择题：本大题10小题共40分，每题4分，只有一个正确选项． 1. 面积为2的正方形的边长是（ ）． A. 1 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为． 故选：B． 2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故A不符合题意； B、∵，，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵，∴，∴能构成直角三角形，故C符合题意； D、∵，∴，∴不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣3，1） C. （﹣1，3） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（3，1） 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数． 4. 若二次根式有意义，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是：， 解得：． 故选：D． 5. 以下计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，直接利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】A. 无法计算，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. 无法计算，故此选项错误； D. ，故此选项正确， 故选：D． 6. 与最接近的整数是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小．解决本题的关键是利用“夹逼法”估算出的大小． 利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】∵，且， ∴， ∵与最接近， ∴整数5与最接近． 故选：C． 7. 边长为2的等边三角形的面积为（ ）． A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．作出等边三角形边上的高，利用勾股定理可求出高的值，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】如图，作的高， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选C． 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟记两点之间的距离公式是解题关键．利用两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是， 故选：C． 9. 以下4个一次函数中，y随x增大而减小，且其图象过点的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据图象过点，设直线的解析式为：，根据y随x增大而减小，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴设直线的解析式为：， ∵y随x增大而减小， ∴， ∴满足题意的为； 故选B． 10. 若实数k、b满足k+b＝0，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是( ) A. B. C. D. E. 【答案】C 【解析】 【分析】实数k、b满足k+b＝0，且k＜b，k≠0,所以，k<0,b>0,可得一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限. 【详解】因为实数k、b满足k+b＝0，且k＜b，k≠0 所以，k<0,b>0 所以，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； 故选C 【点睛】y=kx+b时： 当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限. Ⅱ卷（主观题） 二、填空题：本大题6小题共24分，每小题4分． 11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 【答案】答案不是唯一， 【解析】 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 12. 如图所示，正方形A与面积为64和100的两个正方形顶点重合拼成的图形，则正方形A的面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理得到正方形的面积等于另外两个正方形的面积差，进行计算即可． 【详解】解：∵三个正方形的边组成一个直角三角形， ∴两个较小正方形的面积和等于大正方形的面积， ∴正方形A的面积为； 故答案为：36． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，掌握若，则x叫a的平方根，a的平方根表示是解题的关键． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ 又 ∴ 故答案为：． 14. 一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴围成三角形面积，先求出一次函数与x轴，y轴分别交于，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∴一次函数与x轴，y轴分别交于， ∴一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是， 故答案为：． 15. 已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 计算三边长为5，6，7的三角形的面积得______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简． 根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴若一个三角形的三边长分别为， 则面积是：， 故答案为：． 16. ①一次函数与的图象关于x轴对称； ②坐标分别为、、的三点在同一直线上； ③一次函数中，若时该函数值最大为2，则； ④点、在一次函数的图象上，若，则． 以上4个结论中，正确的是______（填序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数解析式，根据关于x轴对称的性质判断①；根据两点的坐标求出解析式，再将第三点代入解析式即可判断②；根据一次函数的增减性即可判断③，根据一次函数的定义得到，，代入，根据不等式的性质即可判断④． 【详解】解：①联立， 解得：，即一次函数与的交点在y轴上， 一次函数与的图象与x轴对称没有公共交点， 一次函数与的图象不关于x轴对称，故①错误； ②设过点、的直线的解析式为， 则， 解得：， 过点、直线的解析式为， 将代入，则 坐标分别为、、的三点在同一直线上，故②正确； ③一次函数中， 一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 时该函数值最大为2，则， ，故③正确； ④点、在一次函数的图象上， 即，， ，即， ，故④错误； 故答案为：②③． 三、解答题：本大题9小题共86分，应有获得结果的计算或推理过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减，即得答案； （2）根据二次根式的乘法运算法则，即得答案． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，已知中，，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式，作于D，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理得出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：作于D， ， 则，， ∴， ∴． 19. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式除法约分，二次根式性质，完全平方公式，二次根式加减的法则，是解题的关键． 先约分，化简二次根式，完全平方公式展开差平方，再合并同类二次根式，即得． 【详解】解： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在图中画出，并画出与关于y轴对称的图形． （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据点、、的坐标画出，再根据关于y轴对称的性质画出对称图形即可； （2）利用割补法求出三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图：以及关于y轴对称的图形即为所求， ； 【小问2详解】 解：的面积． 21. 如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m． （1）这个梯子底端B离墙有多少米？ （2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长． 【答案】（1）7米；（2）8m 【解析】 【分析】（1）由题意得米，米，根据勾股定理AC2+BC2=AB2，可求出梯子底端离墙有多远． （2）由题意得此时CD=20米，DE=25米，由勾股定理可得出此时的CE，继而可求BE． 【详解】（1）由题意知米，米，米， 在直角△ABC中，∠C＝90° ∴ ∴米， ∴这个梯子底端离墙有7米 （2）∵米， ∴（米）， 在直角△CDE中，∠C＝90° ∴ ∴（米）， 米米米． 答：梯子的底部在水平方向滑动了8m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，有一定难度，注意两问线段的变化． 22. 如图，正方形在平面直角坐标系中，B的坐标是，D是的中点，． （1）写出点D，E的坐标； （2）问：是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理， （1）根据题意B的坐标是，D是的中点，，即可求出点D，E的坐标； （2）在、、中，分别求出，，，然后在中，利用，即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：B的坐标是，D是的中点， ， 又，， ． 【小问2详解】 由题意可知，，，，， 根据勾股定理，得： 在中，； 在中，； 在中，； 在中，， 是直角三角形． 23. 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为分钟，甲、乙两种业务费用分别为和元． （1）试分别写出、与之间的函数关系式； （2）画出、的图象； （3）利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠? 【答案】（1）(≥0)，(≥0)；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）=月租费用+x分钟的通话费用，=x分钟的通话费用，据此解答即可； （2）根据一次函数图象的画法和函数的实际意义取两点画射线即可； （3）通过图象可得自变量为何值时两个函数值相等，进一步即可做出选择． 【详解】解：(1)根据题意可得：(≥0)，(≥0)． (2)对 (≥0)取点（0，15）和点（50，30）作射线，对于(≥0)取点（0，0）和（50，30）作射线，如下图所示． 　 (3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当＝50时，两个函数的值都等于30． 因此一个月内，通话时间为50分钟，选哪一种通话业务都行，因为付费都是30元； 当一个月内通话时间低于50分钟时，选乙种业务更优惠； 当一个月内通话时间大于50分钟时，选甲种业务更优惠． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于常考题型，解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数图象，找到它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择． 24. 如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． （1）求点B的坐标； （2）求这两个函数的关系式； （3）若点P是x轴上任意一点，请直接写出当为等腰三角形时点P的坐标． 【答案】（1）点B的坐标为； （2）正比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理，注意分情况讨论思想、数形结合思想的应用． （1）根据勾股定理求得的长，从而得到的长，即可得到点B的坐标； （2）设正比例函数是，设一次函数是．根据它们交于点，得到关于m的方程和关于k、b的方程，从而首先求得m的值及k、b的值； （3）分、、三种情况，结合图形、根据等腰三角形的性质、运用勾股定理解得即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：设正比例函数的解析式为，设一次函数的解析式为． 把代入得：，即． 则正比例函数的解析式为； 把、代入，得 ， 解得， 则一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：当时， 点的坐标为或； 当时， 点的横坐标为4， 点的坐标为； 当时， 如图，设点的坐标为， 由勾股定理得， 解得，， 点的坐标为， 所有符合条件的点的坐标为或或或． 25. 如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D． （1）求长； （2）求证：； （3）求线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，推出，利用勾股定理即可求解； （2）在上截取，证明，推出，再证明，推出，即可得出结论； （3）由（2）知，，得到，，求出，进而求出四边形的面积为，当与或垂直时，长的最小值等于梯形的高，利用梯形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 平分，平分交于点E， ， ， ，， 在，； 【小问2详解】 证明：如图，在上截取， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如（2）图， ，， ，， ， 四边形面积为． 当与或垂直时，长的最小值等于梯形的高， ． 【点睛】本题考查勾股定理解三角形，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$