新课预习衔接：第三单元倍数与因数(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．奇数与偶数的初步认识 【知识点解释】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 【知识点归纳】 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 6．5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 第三部分 典型例题 例题1：要把18块饼干分成两份，并且每份的个数都是质数，这两份饼干可能各是多少块？ 【考点】合数与质数的初步认识． 【答案】5和13块；7和11块。 【分析】根据合数与质数的初步认识即可解答。 【解答】解：18＝5+13 18＝7+11 答：这两份饼干可能5和13块；7和11块。 【点评】本题主要考查合数与质数的初步认识。 例题2：张林是初中生，他说：我现在的年龄是3的倍数，5年后我的年龄既是2的倍数，又是5的倍数，请问张林今年多少岁？ 【考点】3的倍数特征；2的倍数特征；5的倍数特征． 【答案】15岁。 【分析】5年后张林的年龄既是2的倍数，又是5的倍数，那么这个数的个位上应是0，因为他是5年前是初中生，所以5年后他的年龄是20岁，求张林今年多少岁，减去5即可，据此解答。 【解答】解：根据分析可知，5年后张林的年龄是20岁。 20﹣5＝15（岁） 15是3的倍数。 答：张林今年15岁。 【点评】本题考查了2、3、5的倍数特征及其应用，要熟练掌握。 例题3：五年级有48名同学报名参加义务劳动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于3，小于10，可以分为几组？每组多少人？ 【考点】找一个数的因数的方法． 【答案】可以分成4组，每组12人；或分成6组，每组8人；或分成8组，每组6人。 【分析】根据找一个数的因数的方法，把48名同学平均分成若干组，分成的组数和每组的人数必须是48的因数。据此解答即可。 【解答】解：48＝4×12＝6×8 所以可以分成4组，每组12人；或分成6组，每组8人；或分成8组，每组6人。 【点评】此题考查的目的是理解掌握找一个数的因数的方法及应用。 第四部分 高频真题 1．1和5都是10的（　　） A．因数 B．质因数 C．公因数 D．互质数 2．下面各数中，因数个数最少的是（　　） A．97 B．48 C．36 3．小明说：“所有的质数都是奇数。”下面能说明他说法错误的是（　　） A．2 B．5 C．15 4．当x为（　　）时，3x+1的值一定是奇数． A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 5．两个质数的乘积一定是（　　） A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 6．两个质数的乘积一定是（　　） A．奇数 B．合数 C．质数 7．把36本书分给同学们，每人分得的书一样多，刚好分完。同学们的人数不可能是（　　）人。 A．4 B．6 C．5 8．最小的质数和最小的合数相乘，积是 　 　。 9．一个两位数是一个偶数，十位与个位上的数的积是18，这个两位数可能是 　 　或 　 　。 10．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是 　 　，最小倍数是 　 　，108的所有因数中，质数有 　 　个。 11．18的因数有　 　，其中质数有　 　，合数有　 　． 12．两个质数的和是18，积是77，这两个数是 　 　和 　 　． 13．著名的“哥德巴赫猜想”中说到：“任意一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数的和”。如14＝11+3，18＝11+7等，请你写出一个符合这个猜想的算式：　 　。 14．一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数是　 　． 15．在横线上填上合适的质数。 （1）13＝　 　+　 　 （2）35＝　 　×　 　 （3）24＝　 　﹣　 　 16．端午节，妈妈买了120个咸鸭蛋，要平均装在一些箱子里，且每个箱子里的咸鸭蛋不少于10个，不多于20个。有几种不同的装法？各需要箱子多少个？ 17．月饼厂有三种包装盒，规格分别为4块一盒、5块一盒和6块一盒。现某公司想订货54块月饼，请问选择哪一种规格的月饼盒能正好把54块月饼装完呢？为什么？ 参考答案与试题解析 1．1和5都是10的（　　） A．因数 B．质因数 C．公因数 D．互质数 【考点】因数和倍数的意义． 【答案】A 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可． 【解答】解：因为10的因数有1和5，而1既不是质数也不是合数， 所以1和5都是10的因数，而不是质因数； 公因数只存在于两个或两个以上数，互质数指的是公因数只有1的两个数，所以只有A符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查的是因数的意义，应根据其意义进行解答． 2．下面各数中，因数个数最少的是（　　） A．97 B．48 C．36 【考点】找一个数的因数的方法． 【答案】A 【分析】先找出3个选项中3个数的因数，再确定哪个数的因数最少。 【解答】解：A．97＝1×97，97的因数有1，97。共有2个因数。 B．48＝1×48，48＝2×24，48＝3×16，48＝4×12，48＝6×8，48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。共有10个因数。 C.36＝1×36，36＝2×18，36＝3×12，36＝4×9，36＝6×6，36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。共有9个因数。 2＜9＜10，所以三个选项中97的因数的个数最少。 故选：A。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法。用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不容易遗漏。 3．小明说：“所有的质数都是奇数。”下面能说明他说法错误的是（　　） A．2 B．5 C．15 【考点】合数与质数的初步认识；奇数与偶数的初步认识． 【答案】A 【分析】根据质数和奇数的意义判断。只有1和它本身两个因数是数是质数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。 【解答】解：小明说：“所有的质数都是奇数。”能说明他说法错误的是2。 故选：A。 【点评】本题主要考查奇数和质数的意义及应用。 4．当x为（　　）时，3x+1的值一定是奇数． A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【考点】奇数与偶数的初步认识． 【答案】D 【分析】因为3x+1的值一定是奇数，根据奇数和偶数的性质“奇数+偶数＝奇数”可知：3x一定是偶数，因为3是奇数，根据“偶数×奇数＝偶数”可知：x一定是偶数；据此选择即可． 【解答】解：当x为偶数时，3x+1的值一定是奇数； 故选：D． 【点评】解答此题的关键：根据偶数和奇数的性质进行解答． 5．两个质数的乘积一定是（　　） A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【考点】合数与质数的初步认识；奇数与偶数的初步认识． 【答案】D 【分析】两个质数相乘的积是两个质数的倍数，这两个质数也就是这个积的因数。据此解答即可。 【解答】解：两个质数的乘积一定是合数。 故选：D。 【点评】本题是一道有关质数与合数的认识的题目，结合题意解答即可。 6．两个质数的乘积一定是（　　） A．奇数 B．合数 C．质数 【考点】合数与质数的初步认识． 【答案】B 【分析】根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1号它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除了1号它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此解答即可。 【解答】解：两个质数的乘积一定是合数。 故选：B。 【点评】此题考查的目的是理解掌握质数、合数的意义及应用。 7．把36本书分给同学们，每人分得的书一样多，刚好分完。同学们的人数不可能是（　　）人。 A．4 B．6 C．5 【考点】找一个数的因数的方法． 【答案】C 【分析】把36本书均分给几位同学，刚好分完，那么同学们的人数必须是36的因数，找到36的因数有：1，2、3、4、6、9、12、18、36；选项A和B符合题意，故答案选C。 【解答】解：36的因数有：1，2、3、4、6、9、12、18、36； 如果同学们人数为5那么还有剩下的书，同学们的人数不可能是5。 故选：C。 【点评】可以找可以被35整除的数是几，然后选择答案。 8．最小的质数和最小的合数相乘，积是 　8　。 【考点】合数与质数的初步认识． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据质数与合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。最小的质数是2，最小的合数是4，由此解答即可。 【解答】解：2×4＝8 所以最小的质数和最小的合数相乘，积是8。 故答案为：8。 【点评】明确质数与合数的意义，是解答此题的关键。 9．一个两位数是一个偶数，十位与个位上的数的积是18，这个两位数可能是 　36　或 　92　。 【考点】奇数与偶数的初步认识． 【答案】36，92。 【分析】先找出乘积为18的两个一位数是什么，因为这个数是偶数，再确定个位上的数字，进而确定这个两位数。 【解答】解：根据表内乘法可知，乘积为18的自然数有2和9，3和6，又组成的两位数是偶数，所以这个两位数是36或92。 故答案为：36，92。 【点评】本题考查了偶数的特征：是2的倍数的数叫作偶数，又叫作双数，如：0，2、4、6、8等。 10．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是 　108　，最小倍数是 　108　，108的所有因数中，质数有 　2　个。 【考点】找一个数的倍数的方法；找一个数的因数的方法． 【答案】见试题解答内容 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3。 【解答】解：“108”的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2个。 故答案为：108，108，2。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数和倍数的方法，以及质数的意义。 11．18的因数有　1、2、3、6、9、18　，其中质数有　2、3　，合数有　6、9、18　． 【考点】找一个数的因数的方法；合数与质数的初步认识． 【答案】见试题解答内容 【分析】质数是只有1和它本身两个约数的数，合数是除了1和它本身，还有别的约数的数，18的因数有1、2、3、6、9、18，其中1既不是质数也不是合数，根据质数、合数的意义可知：18的因数中有2、3两个质数，6、9、18三个合数． 【解答】解：18的因数有1、2、3、6、9、18， 18的因数中质数有：2、3，合数有：6、9、18； 故答案为：1、2、3、6、9、18，2、3，6、9、18． 【点评】根据质数、合数的意义进行解答． 12．两个质数的和是18，积是77，这两个数是 　11　和 　7　． 【考点】合数与质数的初步认识． 【答案】见试题解答内容 【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．据此意义根据题目中的条件确定即可． 【解答】解：77＝11×7，又11+7＝18， 所以这两个数是11，7． 故答案为：11，7． 【点评】明确质数的意义是完成本题的关键． 13．著名的“哥德巴赫猜想”中说到：“任意一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数的和”。如14＝11+3，18＝11+7等，请你写出一个符合这个猜想的算式：　32＝13+19　。 【考点】合数与质数的初步认识；奇数与偶数的初步认识． 【答案】32＝13+19（答案不唯一）。 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数，合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，因此任意一个大于2的偶数都是合数，根据质数合数的定义进行解答。 【解答】解：32是偶数，32可以分成13和19，13和19是质数，所以可以：32＝13+19（答案不唯一）。 故答案为：32＝13+19（答案不唯一）。 【点评】本题考查了质数、合数的应用。 14．一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数是　36或92　． 【考点】奇数与偶数的初步认识；表内乘法综合计算． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据表内乘法可知，乘积为18的两个一位数有2和9，3和6，又组成的两位数为偶数，所以这个两位数为36或92． 【解答】解：乘积为18的两个一位数有2和9，3和6， 所以这个两位数的偶数为36或92． 故答案为：36或92． 【点评】根据个位与十位上数字的积是18确定这两个数字是多少是完成本题的关键． 15．在横线上填上合适的质数。 （1）13＝　2　+　11　 （2）35＝　5　×　7　 （3）24＝　31　﹣　7　 【考点】合数与质数的初步认识． 【答案】（ 1 ） 2，11；（ 2 ） 5，7；（ 3 ） 31，7。 【分析】根据质数与合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数，由此解答。 【解答】解：（1）13＝2+11 （2）35＝5×7 （3）24＝31﹣7 故答案为：（1）2，11；（ 2 ） 5，7；（ 3 ） 31，7。 【点评】本题考查了质数和合数的认识，结合题意分析解答即可。 16．端午节，妈妈买了120个咸鸭蛋，要平均装在一些箱子里，且每个箱子里的咸鸭蛋不少于10个，不多于20个。有几种不同的装法？各需要箱子多少个？ 【考点】找一个数的因数的方法． 【答案】4；12；10；8；6。 【分析】先找出120的所有因数，再解答即可。 【解答】解：120的因数有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120。 答：有4种不同的装法。如果每箱装10个，需要箱子12个；如果每箱装12个，需要箱子10个；如果每箱装15个，需要箱子8个；如果每箱装20个，需要箱子6个。 【点评】本题考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握。 17．月饼厂有三种包装盒，规格分别为4块一盒、5块一盒和6块一盒。现某公司想订货54块月饼，请问选择哪一种规格的月饼盒能正好把54块月饼装完呢？为什么？ 【考点】找一个数的因数的方法． 【答案】每盒6块，理由是6是54的因数。 【分析】根据题意可知，每盒装的块数必须是54的因数，根据求一个数的因数的方法解答即可。 【解答】解：54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54。 所以选择每盒6块能正好把54块月饼装完，理由是6是54的因数。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$