2.4线段的垂直平分线同步练习2024-2025学年湘教版数学八年级上册

垂直平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________ 一、单选题 1．如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 2．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等； B．对顶角相等； C．如果，那么； D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 3．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交边于点.若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A． 角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 第1题图 第3题图 第4题图 5．在元旦联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是的（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，②作直线交于点D，连接．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题 9．如图，在中，，是的中点，交于点，的周长是，则的长为 ． 10．如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，若，，则 ． 11．如图，，，点C在的垂直平分线上，，则 ． 12．如图，已知为的三边垂直平分线的交点，如果，则 ． 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 13． 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则 14．如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ． 15．如图，，若和分别垂直平分和，则 ． 16．如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 3、 解答题 17．如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．    18．如图，，以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，延长交于点，连接，求证：． 19．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝6，求△ADE的周长． （2）若∠DAE＝60°，求∠BAC的度数． 20．如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E． 求证：（1）AE=DE； （2）若AE=6，求CE的长． 21．如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数． 22．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数． 23．如图在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．    24．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 25．已知：如图，， ，点在上．求证：．       26．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若周长，，求长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B D B C A 1．A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 2．B 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； C. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选B． 3．C 【分析】本题考查垂直平分线，勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，则，，再根据三角形内角和，勾股定理，即可． 【详解】由题意得，线段是直线的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 5．D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据题意可知凳子到的三个顶点的距离相同，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知凳子到的三个顶点的距离相同，故凳子是三边垂直平分线的交点， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴； 故选B． 7．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由作图可知， 是线段的垂直平分线，据此可得解． 【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C 8．A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴，， ∵， ∴的周长， 故选：A． 9．/3厘米 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，由是的中点，得垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，由的周长，最后代入即可求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质及整体思想的应用． 【详解】∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．/48度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，垂直平分线的性质，等边对等角；根据平分，得出，根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，则，根据,即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 的中垂线交于点， ， ， ． 故答案为：. 11．11 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，由，，点C在的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得，即可得到结论．利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键． 【详解】解：∵，， 即垂直平分， ∴； 又∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故答案为：11． 12． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接并延长， 为三边垂直平分线的交点， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：130． 13． 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角的计算，由得到由作图可知，垂直平分，得到，再得出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 15．/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，由和分别垂直平分和，可得，，即可证得，，又由可求得的度数，即可得的度数，继而求得答案. 【详解】解：∵垂直平分， 同理： ∵， ∴ 故答案为： 16．7 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 17．见解析 【分析】连接AB，BC，作它们的中垂线，交于点P，即可． 【详解】如图所示：    点P即为生活超市位置． 【点睛】本题主要考查根据题意确定点的位置，掌握尺规作垂直平分线的方法，是解题的关键． 18．(1)；(2)详见解析 【分析】（1）先根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠CAB的度数，再由作法可知AM平分∠CAB，根据角平分线的定义求解即可； （2）由角平分线的定义及平行线的性质等量代换可得，可知AC=CM，根据等腰三角形的“三线合一”可得CO垂直平分AM，根据垂直平分线的性质即可证明结论． 【详解】（1）， ， 又， ， 由作法知，是的平分线， （2）由作法知，是的平分线， 又 ∴ ， 又 垂直平分线段 ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，角平分线的尺规作图，解题关键是能从作法中确定AM平分∠CAB． 19．（1）6；（2）120° 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，CE＝AE，求出△ADE的周长＝BC，即可得出答案； （2）由∠DAE＝60°，即可得∠ADE+∠AED＝120°，又由DA＝DB，EA＝EC，即可求得∠BAC的度数． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DB＝DA，EA＝EC， 又BC＝6， ∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6， （2）∵∠DAE＝60°， ∴∠ADE+∠AED＝120° ∵DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，∠AED＝∠C+∠CAE＝2∠C ∴2∠B+2∠C＝120° ∴∠B+∠C＝60° ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120° 【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，熟记性质内容是解此题的关键． 20．（1）证明见解析；（2）12． 【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE； （2）根据直角三角形中， 30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接BE， ∵∠A=90°，∠B=60°， ∴∠C=30°． ∵DE垂直平分BC， ∴EB=EC， ∴∠EBC=∠C=30°=∠ABE， ∴AE=DE； （2）在△CDE中， ∵∠CDE=90°，∠C=30°， ∴DE=CE， ∴CE=2DE=2AE=12 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形性质；直角三角形中30°所对边为斜边的一半是本题解题关键. 21．29° 【分析】根据垂直平分线的性质得出DB=DC，∠DBC=∠C，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC ． ∴∠DBC=∠C ． ∵∠A=100°，∠ABD=22°． ∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°． ∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，         ∴∠C=． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质得出等腰三角形，导出角之间的关系． 22． 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到答案． 【详解】解： ，， ， 垂直平分， ， ， 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 23． 【分析】根据垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是，即， ∴的周长为， ∴的周长是． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，等量代换是解题的关键． 24． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 25．见解析 【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案． 【详解】证明：如图，连接，    ∵， ∴点A是线段垂直平分线上的点． ∵， ∴点D是线段垂直平分线上的点， ∴是线段垂直平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，灵活的应用定理是解题的关键． 26．(1) (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据已知能推出，即可得出答案． 【详解】（1）∵，垂直平分， ， ，， ， ， ∵， ； （2）周长，， ， ， ，， ， ， 即， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$