精品解析：广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高一上学期开学检测数学试题

高一开学考数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 大熊猫的历史可谓源远流长，迄今所发现的最古老的大熊猫成员——始熊猫，其化石出土于我国云南禄丰和元谋两地，地质年代约为800万年前中新世晩期．数据800万用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 4. 如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（    ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 垂线段最短 5. 下列条件中，能判断四边形是菱形的是（    ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 6. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（    ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 9. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 11. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 12. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若代数式有意义，则x的取值范围是_________． 14. 因式分解：_____． 15. 下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 16. 如图，是的直径，、为上的两点，若，则的度数为__________． 17. 已知圆锥的侧面积是，母线是3，则圆锥的底面圆半径为_______． 18. 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ； 根据以上信息，完成下面计算： ______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在中，． （1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在下图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当时，求的度数. 22. 在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主要产区为禄劝县与景东县，某枸杞种植改良实验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息： 甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9 乙品种：如图所示 甲、乙品种产量统计表： 品种 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 a 3.2 0.29 乙品种 3.16 3.3 b 0.15 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_________，________； （2）若乙品种种植3000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵树； （3）请结合以上统计量中的某一方面简要说明哪个品种更好． 23. 某中学科技楼上有一座通信信号收发塔，该校数学小组的同学把“测量信号收发塔的高度”作为一项课题活动．他们在该信号收发塔底部所在的平地上，选取了一个测量点，测量了该信号收发塔顶端的仰角以及信号收发塔底部的仰角．为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量信号收发塔的高度 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示科技楼、线段表示信号收发塔，点，，在同一条直线上，点是测量点，且点，，，都在同一竖直平面内 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 的高度 测量出一层楼的高度为，科技楼每层楼的高度相同，共有8层 …… …… （1）根据测量数据求的高度． （2）请你根据以上测量数据，帮助该数学小组求信号收发塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，） （3）该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目．（写一条即可） 24. 为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购种玩具，用5000元进购种玩具．已知一个种玩具进价比一个种玩具进价多5元，又知进购玩具的数量是玩具数量的2倍． （1），两种玩具的进价各是多少元？ （2）玩具店将种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售种玩具的单日利润最高，玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？ 25. 如图，在△ABC中，，以△ABC的一条边为直径作半圆，交于点，过点作于点． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，，求的长． 26. 如图，顶点为的抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点. （1）求抛物线的表达式； （2）在直线的上方的抛物线上，有一点（不与点重合），使的面积等于的面积，请求出点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一开学考数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解 【详解】的绝对值即. 故选：B. 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形定于判断即可得. 【详解】对A：该图形不为轴对称图形，故A错误； 对B：该图形不为轴对称图形，故B错误； 对C：该图形不为轴对称图形，故C错误； 对D：该图形为轴对称图形，故D正确. 故选：D. 3. 大熊猫的历史可谓源远流长，迄今所发现的最古老的大熊猫成员——始熊猫，其化石出土于我国云南禄丰和元谋两地，地质年代约为800万年前中新世晩期．数据800万用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可求解. 【详解】800万 ， 故选：C 4. 如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（    ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性即可解题. 【详解】人字梯中间设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形的稳定性增加其安全性. 故选：A 5. 下列条件中，能判断四边形是菱形的是（    ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合四边形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，对角线相等的四边形，可能为矩形，所以A不符合题意； 对于B中，对角先互相平分的四边形为平行四边形，所以B不符合题意； 对于C中，对角互相垂直的四边形，有可能为梯形，所以C不符合题意； 对于D中，对角线互相垂直且平分的四边形一定为菱形，所以D符合题意. 故选：D. 6. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（    ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，然后求得另一个根. 【详解】由于是方程的一个根， 所以，所以方程为， 所以另一个根为. 故选：B 7. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判断定理与性质定理可求结果. 【详解】由题可知，所以， 所以. 故选：C. 8. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法及除法法则、合并同类项的法则及幂的乘方对各选项进行逐一计算即可得． 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：D. 9. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设该店有客房x间、房客y人，由每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房求解. 【详解】根据题意有 故选：A． 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理即可求得折叠后DE的长，结合三角形面积公式计算即可求解. 【详解】设的长为cm，则的长为cm， 由四边形为矩形，可得， 即，解之得，即的长为5cm. 则的长为cm，所以. 故选：A 11. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出反比例函数与的解析式，依次判断各个选项即可. 【详解】由题，，根据图象将点代入得， ， 所以， 对于A，当时，有，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，当时，则，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 故选：C. 12. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，对照四个图形即可选出正确答案. 【详解】因为不等式的解集是，所以一次函数从左到右上升，而且经过点，只有B选项符合题意. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若代数式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由偶次方根下被开方数大于等于零解出即可； 【详解】由题意可得， 所以x的取值范围是， 故答案为：. 14. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法分解因式，即可得答案. 【详解】由题意得， 故答案为： 15. 下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得； 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率；  观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 16. 如图，是的直径，、为上的两点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角和圆心角的关系，即可求解. 【详解】连结，因为，所以，则，所以. 故答案为： 17. 已知圆锥的侧面积是，母线是3，则圆锥的底面圆半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先设底面半径为，利用侧面积建立等式求解即可. 【详解】设底面半径为，所以底面周长为，则有 故答案为： 18. 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ； 根据以上信息，完成下面计算： ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知中复数的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】利用有理数运算法则和二次根式的定义计算出答案. 【详解】. 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先化简后代入计算即可得. 【详解】原式， 将，代入得： 原式. 21. 如图，在中，． （1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在下图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当时，求的度数. 【答案】（1） 分别以为圆心，的长为半径画圆，除点外两圆还交于点， 连接，与交于点，此点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一，只需作出的中点即可，根据垂直平分线的作法得到图形即可； （2）在（1）的基础上，得到平分，求出，进而求出的度数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，⊥， 由三线合一得平分， 因为，所以， 又，所以. 22. 在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主要产区为禄劝县与景东县，某枸杞种植改良实验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息： 甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9 乙品种：如图所示 甲、乙品种产量统计表： 品种 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 a 3.2 0.29 乙品种 3.16 3.3 b 0.15 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_________，________； （2）若乙品种种植3000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵树； （3）请结合以上统计量中的某一方面简要说明哪个品种更好． 【答案】（1）， （2） （3）乙品种更好，乙品种方差小更稳定. 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的概念求解； （2）根据题意求出乙品种产量不低于3.16千克的频率，由此估计运算得解； （3）根据样本数据平均数，方差的意义判断. 【小问1详解】 根据中位数的定义，可得， 根据众数的定义，可得. 【小问2详解】 由样本数据可得，乙品种产量不低于3.16千克的频率为， 所以乙品种种植3000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵树为棵. 【小问3详解】 由于甲，乙品种产量的平均数相同，而乙品种产量的方差小于甲品种产量的方差， 所以乙品种产量更稳定，乙品种更好. 23. 某中学科技楼上有一座通信信号收发塔，该校数学小组的同学把“测量信号收发塔的高度”作为一项课题活动．他们在该信号收发塔底部所在的平地上，选取了一个测量点，测量了该信号收发塔顶端的仰角以及信号收发塔底部的仰角．为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量信号收发塔的高度 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示科技楼、线段表示信号收发塔，点，，在同一条直线上，点是测量点，且点，，，都在同一竖直平面内 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 的高度 测量出一层楼的高度为，科技楼每层楼的高度相同，共有8层 …… …… （1）根据测量数据求的高度． （2）请你根据以上测量数据，帮助该数学小组求信号收发塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，） （3）该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目．（写一条即可） 【答案】（1） （2） （3）需要补充的高度 【解析】 【分析】（1）根据测量出一层楼的高度为，科技楼每层楼的高度相同，共有8层，即可求解； （2）根据题意得出，在和中，由三角函数得出的长，利用线段的和差关系计算即可； （3）根据题意，还需要补充的高度，即可解答． 【小问1详解】 由题意得，， 所以的高度为． 【小问2详解】 由题意得，， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以信号收发塔的高度为． 【小问3详解】 该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，我认为还需要补充的高度（答案不唯一）． 24. 为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购种玩具，用5000元进购种玩具．已知一个种玩具进价比一个种玩具进价多5元，又知进购玩具的数量是玩具数量的2倍． （1），两种玩具的进价各是多少元？ （2）玩具店将种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售种玩具的单日利润最高，玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？ 【答案】（1）的进价是20元，的进价是25元 （2）降价7元，最高利润是845元 【解析】 【分析】（1）设的进价为x元，则的进价是元，由题意得列出分式方程，解方程即可解得答案； （2）设玩具降价m元，单日利润是w元，可得w关于m的二次函数，据此即可得到答案． 【小问1详解】 设的进价为x元，则A的进价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， (元)， 故A的进价是20元，B的进价是25元； 【小问2详解】 设玩具降价m元，单日利润是w元， 根据题意得：， 故当时，单日利润最高，最高利润为845元， 故玩具应该降价7元销售，单日最高利润是845元． 25. 如图，在△ABC中，，以△ABC的一条边为直径作半圆，交于点，过点作于点． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 连接OD，则， ， 又，故， 所以，故， ， 因为，所以， 则，即， 而OD为圆O的半径，故是半圆的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明，即可证明结论； （2）说明，即可求得AC，再利用，可得对应边成比例，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 AB是圆O的直径，则， ，即， 又，， ， ， 由于， 故，故， 即. 26. 如图，顶点为的抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点. （1）求抛物线的表达式； （2）在直线的上方的抛物线上，有一点（不与点重合），使的面积等于的面积，请求出点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）或或或. 【解析】 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即可求解； （2）过点作直线，在下方作等距离的直线，直线与抛物线交点即为点，即可求解； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 抛物线的表达式为：， 故，解得：， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 过点作直线，直线与抛物线交点即为点， 而，可设直线的表达式为：， 点，则直线的表达式为：， 联立方程组，解得：（舍去）或； 故点的坐标为：； 【小问3详解】 设点的坐标为：，而点、的坐标分别为：、； 则，，； 当时斜边时，则，解得：或； 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，则，解得； 综上，点的坐标为：或或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $