精品解析：北师大版2023-2024学年九年级数学上册期末复习试题训练

2022-2023学年北师大版数学九年级上册 期末复习试题训练 一、单选题 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质得出3a-3b=a，求出2a=3b，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质的应用，此题比较典型，难度不大． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形对应坐标，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，故把扩大到原来的倍，则点的对应点的横纵坐标都扩大到原来的倍或倍，据此即可得出答案． 【详解】解：∵以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，且点， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 3. 矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设外镶金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设外镶金色纸边的宽为， 由题意得：， 整理得：， 故选：B． 4. 正方形ABCD的边长为2，以AD为边作等边△ADE，则点E到BC的距离是（　　） A. 2+ B. 2- C. 2+，2- D. 4- 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得点E到AD上的距离为，分两种情况可求点E到BC的距离． 【详解】 解：∵等边△ADE的边长为2 ∴点E到AD上的距离EG为， 当△ADE在正方形外面， ∴点E到BC的距离=2+ 当△ADE在正方形里面 ∴点E到BC的距离=2- 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键． 5. 教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得2米高的标杆在地面上的影子长为3米，则教学楼的高度是( ) A. 16米 B. 27米 C. 36米 D. 72米 【答案】A 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴楼高=16米． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题. 6. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x-2=0，或x-1=0， ∴，． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 7. 下列条件中，不能判定平行四边形是矩形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．根据矩形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意； B、，，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意； C、，对角线相等，可推出平行四边形是矩形，不符合题意； D、，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意． 故选：A 8. 两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　） A. 16cm2 B. 54cm2 C. 32cm2 D. 48cm2 【答案】C 【解析】 【分析】设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得，计算求解即可． 【详解】解：设较大多边形的面积为S 由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16 ∴ 解得 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似比的关系． 9. 如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝6，FD＝1，则AB的值为（　　） A. 2 B. 6 C. 10 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），过点E作，先根据中位线定理得出点G是AD的中点，从而可求出GF的长，再根据相似三角形的判定定理与性质可得，从而可得EF的长，然后在中，利用勾股定理可得EG的长，从而可得BD的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】如图，过点E作 AD⊥BC ∴EG∥BD ∵CE为AB边上的中线 ∴点E为AB的中点 点G是AD的中点 在和中， 设，则 解得，即 在中， 在中， 故选：A． 【点睛】 本题考查了中位线定理、相似三角形的判定定理与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 10. 一次函数y=-x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=（-10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x1，y1），（x2，y2）是图象上两个不同的点，若y1=y2，则x1+x2的取值范围是（　　） A. -≤x≤1 B. -≤x≤ C. -≤x≤ D. 1≤x≤ 【答案】B 【解析】 【详解】解：当x=﹣10时，=﹣； 当x=10时，y=﹣x+1=﹣9，∴﹣9≤y1=y2≤﹣． 设x1＜x2，则y2=﹣x2+1、y1=，∴x2=1﹣y2，x1=，∴x1+x2=1﹣y2+． 设x=1﹣y+（﹣9≤y≤﹣），﹣9≤ym＜yn≤﹣，则xn﹣xm=ym﹣yn+=（ym﹣yn）（1+）＜0，∴x=1﹣y+中x值随y值的增大而减小，∴1﹣（﹣）﹣10=﹣≤x≤1﹣（﹣9）﹣ =． 故选B． 二、填空题 11. 方程是一元二次方程，则m＝_______ 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴m-2≠0，m2-2=2， 解得：m=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键掌握一元二次方程的未知数最高次数为2且为整式方程． 12. 如图，分别为矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，则相似比等于__________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得EF=AB=CD，AE=AD=BC，根据相似的性质列出比例式，即可得出，从而求出相似比. 【详解】解：∵分别为矩形的边，的中点， ∴EF=AB=CD，AE=AD=BC， ∵矩形与矩形相似 ∴ ∴ ∴ ∴相似比＝（或） 故答案为：（或）. 【点睛】此题考查的是求相似多边形的相似比，掌握相似多边形的性质是解决此题的关键. 13. 如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则值是_________；若，，则的值是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过F作FN∥AD交AB于N，交BE于M，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】过F作FN∥AD交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90º， ∴四边形ANFD是矩形， 若AE=ED，设AE=ED=a，则AD=DC=AB=NF=2a， ∵DF=FC， ∴AN=DF=BN=a，又MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN==a，MF=NF-MN=a， ∵AE∥MF， ∴； 若AE=3ED，设ED=m，则AE=3m，AD=AB=CD=FN=4m，AN=DF=2m， 同理证得：MN=m，MF=m， 由AE//FM得： ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，解答的关键是作AD的平行线FN，利用平行线分线段成比例定理进行求解﹒ 14. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，易得，结合，，得，即可作答． 【详解】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到， ∴ ∵，， ∴， 即与的相似比是， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____． 【答案】4或4. 【解析】 【分析】①当AF＜AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过E作EH⊥MN于H，由矩形的性质得到MH=AE=2，根据勾股定理得到A′H=，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF＞AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根据矩形的性质得到DH=AG，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】①当AF＜AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上， 则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°， 设MN是BC的垂直平分线， 则AM=AD=3， 过E作EH⊥MN于H， 则四边形AEHM是矩形， ∴MH=AE=2， ∵A′H=， ∴A′M=， ∵MF2+A′M2=A′F2， ∴（3-AF）2+（）2=AF2， ∴AF=2， ∴EF==4； ②当AF＞AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上， 则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°， 设MN是BC的垂直平分线， 过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H， 则四边形AGHD是矩形， ∴DH=AG，HG=AD=6， ∴A′H=A′G=HG=3， ∴EG==， ∴DH=AG=AE+EG=3， ∴A′F==6， ∴EF==4， 综上所述，折痕EF的长为4或4， 故答案为4或4． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、计算题 16. 解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2 （2）x2﹣4x﹣7＝0 【答案】（1）, （2）， 【解析】 【分析】（1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 （2x﹣1）2＝（3﹣x）2 （2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0， [（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0， ∴x+2＝0或3x﹣4＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝； 【小问2详解】 x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11， ∴x﹣2＝， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程有直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键． 四、解答题 17. 如图，正方形的边长为2，，线段的两端在上，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质；正方形的性质．先根据勾股定理求出，再利用三角形全等即可求解． 【详解】∵正方形的边长为2，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 18. 如图，正方形中，点，分别在边，上，，交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，利用正方形性质得出是解题关键．根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ， ，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． 19. 阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格） （1）当已知矩形A边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：， ∵ ， ， ∴满足要求的矩形B存在． （2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． （3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？ 【答案】（1）；2 （2）不存在矩形B （3）当、满足时，矩形存在 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）套用求根公式求出方程的解；（2）牢记“当时，方程无实数根”；（3）牢记“当时，方程有实数根”． （1）利用求根公式即可求出方程的两根； （2）仿照（1）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形； （3）仿照（1）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可找出、之间的关系． 【小问1详解】 利用求根公式可知：，． 故答案为：；2． 【小问2详解】 设所求矩形的两边分别是和， 根据题意得：， 消去化简得：． ， 该方程无解， 不存在满足要求的矩形． 【小问3详解】 设所求矩形的两边分别是和， 根据题意得：， 消去化简得：． 矩形存在， ， ． 故当、满足时，矩形存在． 20. 王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 2 5 6 4 10 3 （1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； （2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由； （3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率． 【答案】（1）；（2）王勇的说法是错误的，李明的说法也是错误的（3） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算； （1）根据概率的计算法则分别求出“3点朝上”和“5点朝上”的概率； （2）根据随机事件的性质来分别进行说明； （3）首先将所得所有结果用列表法来表示出来，然后找出符合条件的情况，最后根据概率的计算法则求出答案． 【详解】（1）“3点朝上”的频率为：， “5点朝上”的频率为：； （2）王勇的说法是错误的 因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大， 只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率区估计其概率． 李明的说法也是错误的，因为事件的发生具有随机性，所以投掷300次，出现“6点朝上”的次数不一定是30次． （3）列表： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∵朝上的点数之和为3的倍数共有12个， ​∴ 21. 如图，在长方形中，点沿折叠后与点重合，测得，求折痕的长 【答案】10cm 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，然后易得∠FEG=60°，根据条件可求出EC=5cm，再利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半得出结果. 【详解】解：由题意可知，是由折成的 ∵ ∴ 在Rt△CEF中，∠EFC=30°， ∴ 【点睛】本题考查折叠的性质，掌握折叠前后对应图形全等，以及直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年北师大版数学九年级上册 期末复习试题训练 一、单选题 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把扩大到原来倍，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 3. 矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形ABCD的边长为2，以AD为边作等边△ADE，则点E到BC的距离是（　　） A. 2+ B. 2- C. 2+，2- D. 4- 5. 教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得2米高的标杆在地面上的影子长为3米，则教学楼的高度是( ) A 16米 B. 27米 C. 36米 D. 72米 6. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C ， D. 7. 下列条件中，不能判定平行四边形是矩形的是（） A. B. C. D. 8. 两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　） A. 16cm2 B. 54cm2 C. 32cm2 D. 48cm2 9. 如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝6，FD＝1，则AB的值为（　　） A. 2 B. 6 C. 10 D. 4 10. 一次函数y=-x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=（-10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x1，y1），（x2，y2）是图象上两个不同的点，若y1=y2，则x1+x2的取值范围是（　　） A. -≤x≤1 B. -≤x≤ C. -≤x≤ D. 1≤x≤ 二、填空题 11. 方程是一元二次方程，则m＝_______ 12. 如图，分别为矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，则相似比等于__________. 13. 如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是_________；若，，则的值是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是________． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____． 三、计算题 16. 解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2 （2）x2﹣4x﹣7＝0 四、解答题 17. 如图，正方形的边长为2，，线段的两端在上，若，求的长． 18. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，交于点，．求证：． 19. 阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格） （1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：， ∵ ， ， ∴满足要求的矩形B存在． （2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． （3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？ 20. 王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 2 5 6 4 10 3 （1）分别计算这30次实验中“3点朝上”频率和“5点朝上”的频率； （2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由； （3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率． 21. 如图，在长方形中，点沿折叠后与点重合，测得，求折痕的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$