精品解析：2024年湖南省岳阳市长岭中学中考模考数学试题 (1)

2024年岳阳市长岭中学中考模考九年级数学试卷 （1） 时量： 120分钟 满分： 120分 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题3分，共30分． 1. 计算 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在某市体育中考期间，在运动技能测试“排球垫球”项目中，某市直中学有8位学生的垫球数分别为39，53，55，48，52，53，48，48．这组数据的中位数和众数分别是（） A. 50，48 B. 52，48 C. 52，53 D. 48，48 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B. 五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C. 甲、乙两组数据平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D. “外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 6. 如图， 直线与两平行直线分别相交于点 M， N，的平分线交于点 P， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 已知一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C. y随x增大而减小 D. 当时， 9. 圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 11. 某种新冠病毒的长度为150纳米，用小数表示为0.00000015米，则将这个小数用科学记数法表示为_______米． 12. 分解因式：______． 13. 已知一个样本数据为1，4，2，5，3，那么这个样本的方差是_________． 14. 分式方程的解为_______． 15. 用尺规做一个角等于已知角的依据是________ ． 16. 如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC的中点．若△ADE的面积是1，则四边形DBCE 的面积值是______． 17. 如图， 已知分别切于点A 和B， C 是优弧上任意一点， 且 则_________． 18. 已知，则 __________________ ． 三、解答题：本大题共8个小题，共66分． 19. 求不等式组的非负整数解． 20. 化简求值： ，请你自选，的值，其中为负整数，为无理数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线相交于点 E，两个顶点A，D分别在x轴和y轴上，轴， 已知， 反比例函数 在第一象限的图象经过点 E． （1）求反比例函数解析式； （2）若点在反比例函数 的图象上， 当时， 求函数值y的取值范围． 22. 2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车路程为150千米，乘坐普通列车的路程为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？ 23. 市直某中学九年级到泰顺国防园参加了“研学实践”活动，学校团委在全年级范围内随机抽取了部分学生，对本次活动中的四个拓展体验项目进行“魅力项目”评选调查，将调查问卷统计整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图． “魅力项目”评选调查问卷 在下面四项拓展训练项目中，你最喜欢的一项是（ ） A．极速竞技 B．飞夺泸定桥 C．白人刺杀 D．重走长征路 请根据所给信息解答下列问题： （1）据统计，最喜欢“白人刺杀”项目的学生占被抽取学生的，共抽取了多少名学生？ （2）补全频数分布直方图； （3）若九年级有300名学生，请估计全年级学生中最喜欢“重走长征路”的有多少人； （4）该中学某班团支部5人中，1人喜欢“极速竞技”，1人喜欢“飞夺泸定桥”，1人喜欢“白人刺杀”，2人喜欢“重走长征路”，覃老师要从这5人中任选2人了解他们对此次“研学实践”活动项目的感受，请你用列举法，求选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的概率． 24. 如图， 在等边中， 以为直径作交分别于点D，E，作 于F． （1）求证：是的切线； （2）若 过点E作 于H， 若在上任取一点 M（点 H， B除外），连接并延长交于点P，连接交的延长线于点N，求长和的值． 25. 【探究发现】（1）如图1， 正方形中，E，F分别是，的中点， 连接，交于点 G， 证明： 【类比迁移】（2）如图2， 正方形中， E， F分别是边，上的点， 且 连接，交于点G．在上取一点H， 使 连接，， 证明： 【拓展应用】（3）如图3， E， H是菱形边，上的点， 连接， 点G在上， 连接， ，， 且，，，，，求的长及 的值． 26. 如图， 已知抛物线经过原点，且与直线l交于和两点． （1）求抛物线的解析式和的值． （2）若是抛物线上一个动点（在点 和点 之间），作 于点 ， 轴交于点 ，在点运动的过程中，是否存在某一位置，使得的面积最大？若存在，请求出此时点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）将抛物线绕顶点旋转 后，再平移使其顶点在直线上，且经过点 ，得到抛物线，试问在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年岳阳市长岭中学中考模考九年级数学试卷 （1） 时量： 120分钟 满分： 120分 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题3分，共30分． 1. 计算 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查负整指数幂，熟练掌握负整指数幂的运算法则是解题的关键． 根据负整理指数幂运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键． 根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】解：从上面看是四个正方形，符合题意的是C． 故选：C． 3. 在某市体育中考期间，在运动技能测试“排球垫球”项目中，某市直中学有8位学生的垫球数分别为39，53，55，48，52，53，48，48．这组数据的中位数和众数分别是（） A 50，48 B. 52，48 C. 52，53 D. 48，48 【答案】A 【解析】 【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．根据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：把这组数据重新排序后39，48，48，48，52，53，53，55， 这组数据的中位数为，众数是48． 故选：A 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，能正确根据幂的运算法则进行计算是解此题的关键．根据同底数幂的乘除法，合并同类项法则与积的乘方进行计算，再根据求出的结果找出选项即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B. 五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C. 甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D. “外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数据的收集、整理与分析的应用，根据概率的意义、全面调查与抽样调查的概念、方差的意义、随机事件的定义进行解题即可．熟练掌握概率意义、方差的运用、随机事件、全面调查与抽样调查的定义是解题关键． 【详解】解：A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式，原说法正确，故此选项不符合题意； B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则不一定会中奖，原说法不正确，故此选项符合题意； C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定，原说法正确，故此选项不符合题意； D．设该多边形的边数为， 依题意，得：， 解得：， ∴此多边形一定是四边形， ∴“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图， 直线与两平行直线分别相交于点 M， N，的平分线交于点 P， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：，， ， 的平分线交于点 P， ， ， ， 故选：C 7. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则：且， 解得：且． 故选：D． 8. 已知一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，结合一次函数的图象性质对各个选项逐个判断即可求解，掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，所以图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选不符合题意； B、图象与轴交于点，与轴交于点，所以图象与两坐标轴围成的三角形面积是：，故选不符合题意； C、，所以y随x的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，，正确，故选不符合题意； 故选：C． 9. 圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：B． 10. 如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义以及坐标与图形，长方形的性质，先理解题意，得出， ，结合点O 和点B的坐标分别记为，，然后得出，最后得，即可作答． 【详解】解：依题意，∵在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为，且长方体的长宽高分别为，， ∴， ， ∵点O 和点B的坐标分别记为，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 11. 某种新冠病毒的长度为150纳米，用小数表示为0.00000015米，则将这个小数用科学记数法表示为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较小的数． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 已知一个样本数据为1，4，2，5，3，那么这个样本的方差是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由平均数的公式先求得数据的平均数，再由方差公式求解． 【详解】平均数=(1+4+2+5+3)÷5=3 方差S2甲=[(1−3)2+(4−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2]÷5=2， 故填2. 【点睛】本题考查了方差的概念，解题的关键是掌握概念进行解答. 14. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 详解】解： 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 故答案为：． 15. 用尺规做一个角等于已知角的依据是________ ． 【答案】SSS 【解析】 【分析】由作法易得，从而得到三角形全等，由全等三角形的性质得到角相等． 【详解】 由作法易得， 根据SSS可判定， 进而可得. 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC的中点．若△ADE的面积是1，则四边形DBCE 的面积值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意判断出DE为中位线，从而得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵点D，点E分别为AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线，则DE∥BC， ∴△ABC与△ADE相似，相似比为2，则面积比为4，即：， ∴, 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的判定与性质，及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 17. 如图， 已知分别切于点A 和B， C 是优弧上任意一点， 且 则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接、，如图，先根据切线的性质得到，则利用四边形的内角和得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互补得到的度数． 【详解】解：连接、，如图， 和分别切于点，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 已知，则 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共66分． 19. 求不等式组的非负整数解． 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2 20. 化简求值： ，请你自选，的值，其中为负整数，为无理数． 【答案】，当，时，原式. 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算—化简求值及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的混合运算法则计算，然后选取适当的值代入，利用二次根式的运算法则计算求解即可； 【详解】解： 当，时， 原式 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线相交于点 E，两个顶点A，D分别在x轴和y轴上，轴， 已知， 反比例函数 在第一象限的图象经过点 E． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在反比例函数 的图象上， 当时， 求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，求反比例函数解析式，菱形的性质； （1）根据菱形的性质可得，结合轴可证明四边形是矩形，即可得到，代入计算即可； （2）根据反比例函数的增减性求值即可． 【小问1详解】 ∵菱形， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数 在第一象限的图象经过点 E， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，，当时，， ∵点在反比例函数 ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，． 22. 2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？ 【答案】高速列车的平均速度是150千米/时 【解析】 【分析】此题考查的是分式方程的应用，掌握用列表法分析等量关系并列方程是解决此题的关键. 设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时3x千米， 列表如下： 普通列车 高速列车 路程 168 150 速度 x 时间 然后再根据“高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时”，列方程并解方程即可（注：分式方程要验根）. 【详解】解：设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时千米 由题意可知： 解得： 经检验：是原方程的解， ∴高速列车的平均速度是每小时千米. 答：高速列车的平均速度是每小时150千米. 23. 市直某中学九年级到泰顺国防园参加了“研学实践”活动，学校团委在全年级范围内随机抽取了部分学生，对本次活动中的四个拓展体验项目进行“魅力项目”评选调查，将调查问卷统计整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图． “魅力项目”评选调查问卷 在下面四项拓展训练项目中，你最喜欢的一项是（ ） A．极速竞技 B．飞夺泸定桥 C．白人刺杀 D．重走长征路 请根据所给信息解答下列问题： （1）据统计，最喜欢“白人刺杀”项目的学生占被抽取学生的，共抽取了多少名学生？ （2）补全频数分布直方图； （3）若九年级有300名学生，请估计全年级学生中最喜欢“重走长征路”的有多少人； （4）该中学某班团支部5人中，1人喜欢“极速竞技”，1人喜欢“飞夺泸定桥”，1人喜欢“白人刺杀”，2人喜欢“重走长征路”，覃老师要从这5人中任选2人了解他们对此次“研学实践”活动项目的感受，请你用列举法，求选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的概率． 【答案】（1）60名 （2）见详解 （3）150名 （4） 【解析】 【分析】（1）运用“白人刺杀”项目学生的人数除以占比，即可作答． （2）运用总人数减去各个活动项目的人数，得出“重走长征路”的人数，再补齐频数分布直方图，即可作答． （3）运用样本估计总体来列式计算，即可作答． （4）先画树状图，再得出共有20种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的结果有4种，代入概率公式计算，即可作答． 本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图，样本估计总体． 【小问1详解】 解： （名）， ∴共抽取了60名学生； 【小问2详解】 解：（名）， 补全频数分布直方图，如图所示： ； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， 若九年级有300名学生，请估计全年级学生中最喜欢“重走长征路”的有150人； 【小问4详解】 解：依题意，把“极速竞技”，“飞夺泸定桥”，“白人刺杀”，“重走长征路”分别记为，画树状图： 共有20种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的结果有4种， ∴选出的2人恰好1人喜欢“飞夺泸定桥”、1人喜欢“重走长征路”的概率． 24. 如图， 在等边中， 以为直径作交分别于点D，E，作 于F． （1）求证：是切线； （2）若 过点E作 于H， 若在上任取一点 M（点 H， B除外），连接并延长交于点P，连接交延长线于点N，求长和的值． 【答案】（1）见详解 （2）， 【解析】 【分析】（1）先由等边三角形的性质得，结合半径相等，证明是等边三角形，得出，因为，所以，即可作答． （2）先由圆周角定理得结合等边三角形的性质得，则，因为，且，则，得出，因为，所以，，即可作答． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 【探究发现】（1）如图1， 正方形中，E，F分别是，的中点， 连接，交于点 G， 证明： 【类比迁移】（2）如图2， 正方形中， E， F分别是边，上的点， 且 连接，交于点G．在上取一点H， 使 连接，， 证明： 【拓展应用】（3）如图3， E， H是菱形边，上的点， 连接， 点G在上， 连接， ，， 且，，，，，求的长及 的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）先证明得到，从而可得到，即可得出结论； （2）先证明，得到，从而可证明得到，再由，，得到，继而证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （3）先证明得到，，从而得到，，即，从而证得，得到，则，即可求得的长；再连接，过点H作于M，交延长线于N，然后证明得到，，再证明得到，则，即，求得，最后在中，由余弦定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：∵正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴； 连接，过点H作于M，交延长线于N，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于M，交延长线于N， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等于360度，求角的余弦值等知识，综合性强，为压轴题．在解（3）时正确作出辅助线构造全等三角形是关键． 26. 如图， 已知抛物线经过原点，且与直线l交于和两点． （1）求抛物线的解析式和的值． （2）若是抛物线上的一个动点（在点 和点 之间），作 于点 ， 轴交于点 ，在点运动的过程中，是否存在某一位置，使得的面积最大？若存在，请求出此时点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）将抛物线绕顶点旋转 后，再平移使其顶点在直线上，且经过点 ，得到抛物线，试问在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是学会分类讨论，注意不要漏解，与方程相结合，利用相似三角形解决最值问题； （1）由待定系数法分别求出抛物线的抛物线和直线的解析式，可求点坐标，即可求的正切值； （2）由题意可以证明，可得，当最大时，的面积最大，由二次函数性质可求的最大值，即可求解； （3）由题意先求出解析式或，分两种情况讨论即可求出点的坐标； 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 抛物线经过原点，且与直线交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 设直线解析式为：， ， 解得：， 直线解析式为：， 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， 点的坐标，且点， ， 的正切值， 【小问2详解】 ， ， ， 轴， ， ，且， ， ， ， 当最大时，的面积最大， 设点，则点， ， 当时，的最大值为， 点， 的面积的最大值为： 【小问3详解】 抛物线的解析式为：， 设抛物线解析式为：， 顶点坐标， 抛物线顶点在直线上，且经过点， ， 解得：或， 抛物线的解析式为：或， 当抛物线解析式为时，如图， 是以为直角边的直角三角形， 或， 直线解析式为：， 直线解析式为：，直线解析式为：， 若点在抛物线上，点在直线上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 点； 若点在抛物线上，点在直线上， ， ， ， 方程无解， 当抛物线解析式为：时，如图， 是以为直角边的直角三角形， 或， 直线解析式为：， 直线解析式为：，直线解析式为：， 若点在抛物线上，点在直线上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 点坐标， 若点在抛物线上，点在直线上， ， ， ， 方程无解， 综上所述：点或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$