2.2圆的对称性讲义-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2.2圆的对称性讲义-数学九年级上册 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 ( 易错考点 ) 1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 3．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【第二部分】 ( 例题精讲 ) 1．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．求证：CD＝CE． 【解答】证明：在⊙O中，＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC是∠AOB的角平分线， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE． 2．已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD． 【解答】证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD． 【第三部分】 ( 针对性训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，P是弦AB的延长线上的一点，若PA＝8，PB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B．6 C． D．4 2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则AE的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 4．圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（　　） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 6．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm，则⊙O的半径为（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．10cm 7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 8．如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 二．填空题（共8小题） 9．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝3，BC＝5，OC＝，则这个花坛的面积为 　 　．（结果保留π） 10．如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有 　 　个． 11．如图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为60°，半径为2米，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 　 　米．（结果保留π） 12．若⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，OP＝5，则AB＝　 　． 13．如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则OD的长为 　 　． 14．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，＝＝，则∠AOE＝　 　°． 15．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB＝18m，拱高CD＝5m，则拱桥的半径为 　 　m． 16．如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　 　． 三．解答题（共6小题） 17．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 18．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：AO⊥BC． 19．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．求证：CD＝CE． 20．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长． 21．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，＝，DF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接EF交AB于点G． （1）求证：AE＝AG； （2）若BH＝3，BD＝5，求EF的长． 22．图1是某育花苗圆的木制园门，门上头是半圆，下部是长方形．现有一辆装满货物的小货车要从该木制园门（园门各部位尺寸见图2）开进该苗圃，车高2.5m，宽1.6m．问：这辆小货车能否通过该苗圃的木制园门？ 2.2圆的对称性讲义-数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，P是弦AB的延长线上的一点，若PA＝8，PB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B．6 C． D．4 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB， 则OB＝5， ∵PA＝8，PB＝2， ∴AB＝PA﹣PB＝6， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝3， 在Rt△OBC中，OC＝＝＝4， 故选：D． 2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则AE的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD＝4， 在Rt△OCE中，OE＝＝＝3， ∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2． 故选：B． 3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 【解答】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠DCP＝∠OCP， 又∵OC＝OP， ∴∠OCP＝∠OPC， ∴∠DCP＝∠OPC， ∴CD∥OP， 又∵CD⊥AB， ∴OP⊥AB， ∴＝， ∴PA＝PB． ∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点， ∴当C在⊙O上运动时，点P不动． 故选：B． 4．圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧． 则弦所对的圆心角∠AOB＝×360°＝90°； ∴△AOB是等腰直角三角形， 过O作OC⊥AB于C， ∴OC＝AB， ∴弦心距与弦长的比为1：2， 故选：D． 5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（　　） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点C， ∵AB＝16， ∴BC＝AB＝×16＝8， 在Rt△OBC中， ∵OB＝10，BC＝8， ∴OC＝＝6， ∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4． 故选：B． 6．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm，则⊙O的半径为（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．10cm 【解答】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm， ∴AE＝AB＝4cm， ∴OA＝＝5cm． 故选：C． 7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示， ∵CD垂直平分AB，AB＝40cm， ∴BD＝20cm， ∵CD＝10cm，OC＝OB， ∴OD＝OB﹣10， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（OB﹣10）2+202＝OB2， 解得OB＝25， 即圆形工件的半径为25cm， 故选：C． 8．如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 【解答】解：由圆周角定理可知：， ∵∠BAC+∠BOC＝84°， ∴， 解得∠BOC＝56°， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝3，BC＝5，OC＝，则这个花坛的面积为 　25π　．（结果保留π） 【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D， ∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦， ∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（3+5）＝4， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣4＝1， 在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝（）2﹣12＝9， 在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝9+16＝25， ∴花坛的面积为π×OB2＝25π． 故答案为：25π． 10．如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有 　4　个． 【解答】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′， 则， 在Rt△AOP′中，OA＝10，AP′＝8， 故， 则6≤OP＜10， ∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9，共4个， 故答案为：4． 11．如图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为60°，半径为2米，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 　　米．（结果保留π） 【解答】解：∵弧形餐厅灯的圆心角为60°，半径为2m， ∴制作此灯需要硅胶灯带的长度是＝（m）． 故答案为：． 12．若⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，OP＝5，则AB＝　10　． 【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA， ∵OC⊥AB， ∴， 设CP＝x， 在Rt△OCP中，OC2+CP2＝OP2，即OC2+x2＝52， 在Rt△OCA中，OC2+AC2＝OA2，即OC2+（x+4）2＝72， 两式消去OC2得52﹣x2＝72﹣（x+4）2， 解得：x＝1， ∴CA＝1+4＝5，AB＝2CA＝2×5＝10， 故答案为：10． 13．如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则OD的长为 　5　． 【解答】解：∵CD⊥AB且CD经过点O， ∴AD＝AB＝12米， ∵CD＝18米， ∴OA＝OC＝（18﹣OD）， 在Rt△ADO中，根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2， （18﹣OD）2＝122+OD2， 解得OD＝5． 故答案为：5． 14．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，＝＝，则∠AOE＝　54　°． 【解答】解：∵＝＝， ∴∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝42°， ∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∴∠AOE＝180°﹣42°×3＝54°． 故答案为：54． 15．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB＝18m，拱高CD＝5m，则拱桥的半径为 　　m． 【解答】解：如图，设所在圆的圆心为O，半径为r， 由题意可知：AB＝18m，OD＝（r﹣5）m， ∵OC⊥AB， ∴∠ADO＝90°，AD＝BD＝AB＝9（m）， 则由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即92+（r﹣5）2＝r2， 解得：， 故答案为：． 16．如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　γ＝（α+β）　． 【解答】解：连接BC． ∵∠ACB＝α，∠DBC＝β， 又∵∠APB＝∠ACB+∠DBC， ∴γ＝（α+β）， 故答案为γ＝（α+β）． 三．解答题（共6小题） 17．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 【解答】证明：∵AB＝DC， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝BD． 18．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：AO⊥BC． 【解答】证明： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， 则∠AMO＝∠ANO＝90°， ∵OM、ON过O， ∴AM＝AB，AN＝AC， ∵AB＝AC， ∴AM＝AN， 在Rt△AMO和Rt△ANO中，由勾股定理得：OM＝ON， ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴AO平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC． 19．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．求证：CD＝CE． 【解答】证明：在⊙O中，＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC是∠AOB的角平分线， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE． 20．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE， ∵EB＝9，AE＝1， ∴AB＝10，OC＝OA＝5， ∴OE＝4， 在Rt△OCE中，CE＝＝3， ∴CD＝2CE＝6． 21．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，＝，DF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接EF交AB于点G． （1）求证：AE＝AG； （2）若BH＝3，BD＝5，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，且DF⊥AB于点H， ∴＝，＝，FH＝DH， ∵， ∵， ∴∠F＝∠BDF， ∴EF∥BD， ∴∠AGE＝∠B， ∵＝， ∴∠B＝∠E， ∴∠AGE＝∠E， ∴AE＝AG； （2）连接AD交EF于M，连接OD，设⊙O的半径为r，如图所示： ∴OB＝OA＝OD＝r，AB＝2r， ∵DF⊥AB，BH＝3，BD＝5， ∴在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH＝＝4， ∴FH＝DH＝4， ∴在Rt△ODH中，OD＝r，OH＝OB﹣BH＝r﹣3，DH＝4， 由勾股定理得：OD2＝OH2+DH2， 即r2＝（r﹣3）2+42， 解得：r＝， ∴AB＝2r＝， 在△FHG和△DHB中， ， ∴△FHG≌△DHB（ASA）， ∴FG＝BD＝5，GH＝BH＝3， ∴AG＝AB﹣GH﹣BH＝＝， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD， 又∵EF∥BD， ∴AD⊥EF， 由（1）的结论得：AE＝AG， ∴GM＝EM，即GE＝2GM， ∵EF∥BD， ∴△AGM∽△ABD， ∴GM：BD＝AG：AB， 即GM：5＝：， ∴GM＝， ∴GE＝2GM＝， ∴EF＝GE+FG＝＝． 22．图1是某育花苗圆的木制园门，门上头是半圆，下部是长方形．现有一辆装满货物的小货车要从该木制园门（园门各部位尺寸见图2）开进该苗圃，车高2.5m，宽1.6m．问：这辆小货车能否通过该苗圃的木制园门？ 【解答】解：这辆卡车能通木制园门．理由如下： ∵车宽1.6米， ∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高． 在Rt△OMD中，由勾股定理可得： MD＝＝＝0.6（m）， MH＝MD+DH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5， ∴这辆小货车能通过该苗圆的木制园门． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$