2.2 圆的对称性 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.2 圆的对称性 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.如图，已知是的直径，弦，垂足为，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，方格纸上一圆经过，，，四点，则该圆圆心的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，下列结论不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 、都是等边三角形 5.如图，为的直径，弦，垂足为点，若的半径为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的跨度，则拱高(    ) A. B. C. D. 7.在中，，分别为弦，的中点，如果，那么在结论：中，正确的是(    ) A. B. C. D. 8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦的长为米，的半径为米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架，如图所示若不计木条的厚度，其俯视图如图所示已知垂直平分，，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是             ． 10.如图，是半径为的的弦，于点，交于点，若，则弦为           ． 11.如图，是的弦，正方形的顶点，在上，且点是的中点，若正方形的边长为，则的长为          ． 12.有一块三角板，为直角，，将它放置在中，如图，点、在圆上，边经过圆心，劣弧的度数等于           13.如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段是______；与相等的弧是______． 14.如图，在中，、为弦，且，则          填“”“”或“”． 15.如图，在中，直径，垂足为，若，则的半径为          ． 16.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．如果桥顶到水面的距离米，桥拱的半径米，此时水面的宽          米． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 如图，点，，，在上，求证：． 18.本小题分 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．，是上一点，，垂足为，求这段弯路的半径． 19.本小题分 如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径求证：． 20.本小题分 如图，，，都是的直径，且求证：． 21.本小题分 将一个圆分成个扇形，已知扇形，，的圆心角的度数之比为，为的角平分线，求这个扇形的圆心角度数． 22.本小题分 如图，是的直径，弦于点，是上一点，是的中点，与交于点，连接． 如图，求证：． 如图，若是直径且，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，的半径为，弦，连接、，利用勾股定理的逆定理可判断为等腰直角三角形，则，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【解答】 解：如图，的半径为，弦， 连接、， ， ， 为等腰直角三角形， ， 所对的弧的度数为或． 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据垂径定理和含的直角三角形的性质解答即可． 此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和含的直角三角形的性质解答． 【解答】 解：是的直径，弦，，， ，， ， ， ， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查垂径定理． 根据垂径定理的推论判断即可． 【解答】 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．  得和的垂直平分线是，  和的垂直平分线是  故圆心的坐标为， 故选C． 4.【答案】  【解析】解：， ，，故A、选项中的结论成立 ，故C选项中的结论成立 当时，选项中的结论才成立，故D选项中的结论不一定成立． 故选D． 本题考查圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定． 通过圆心角、弧、弦的关系可判断，，根据全等三角形的判定可判断，根据等边三角形的性质可判断． 5.【答案】  【解析】【解答】 解：如图，连接， ， ， 在中，， ． 故选B． 6.【答案】  【解析】解：根据垂径定理可知， 在中，， ． 故选A． 7.【答案】  【解析】解：，分别是弦，的中点，，， ，，，． ， ，，． 在和中， ， ． 8.【答案】  【解析】解：如图，连接交于，连接， 点为运行轨道的最低点， ， 米， 在中，米， 点到弦所在直线的距离米． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：如图所示，当为，，三点所确定的圆时，圆柱形饮水桶的底面半径最大，连结． 垂直平分，， 点在上，． 在中，设半径为，则，， ，解得． 即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是． 10.【答案】  【解析】解：连接， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 连接，根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 本题考查的是勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 根据正方形性质得出，，根据垂径定理得出，推出，代入求出即可． 本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出． 【解答】 解：四边形是正方形， ，， ， 由垂径定理得：， 点是的中点， ， ， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握． 因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案． 【解答】 如图，连接， ，为半径， ， ， 劣弧的度数等于， 故答案为：． 13.【答案】，，，，， 、  【解析】解：是的直径，， ； 又， 、、是全等的等边三角形； ； ， 故答案为：，，，，，；、． 根据是的直径，于是得到，则、、均为等边三角形，由此得到结论． 本题考查了圆周角、弦、弧的关系，能够发现、、是全等的等边三角形是解答此题的关键． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】解：连接，设的半径为，则， ，过圆心，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即的半径是， 故答案为： 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出关于的方程，再求出方程的解即可． 本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 16.【答案】  【解析】解：连接，如图所示． ， ． 在中，米，米，， 米， 米． 故答案为：． 连接，根据垂径定理可知，在中，利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． 17.【答案】证明：， ， ， ．   【解析】本题考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 18.【答案】解：为弦，， ． ，解得  答：这段弯路的半径是．  【解析】见答案 19.【答案】见解答．  【解析】证明：， ， 是的直径， ， ， ． 先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用半圆相等得到，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 20.【答案】证明：，，都是的直径，，．  【解析】略 21.【答案】解：为的角平分线， ， 扇形、、的圆心角的度数之比为：：， ：：：：：：， ， ，．  【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，周角的定义，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．由为的角平分线，得到，根据周角的定义列方程即可得到结论． 22.【答案】证明见解析；  ．  【解析】证明：是的中点， ， ， ，是直径， ，， ，， ， ， ； 解：是直径，由知， ， 又， ， 又， 是等边三角形， 又，， ， ， 是的直径，， ， ， ， 又是的中点， ． 先求得，可得，再证得，，在和中，，，可得，从而得出，即可求证； 先求得，再求得，证明是等边三角形，再由，可得，再由勾股定理求得，再证明是直角三角形，再求解即可． 本题是圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟知以上知识是解题的关键． 第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$