2024年清华大学求真书院Pi节挑战赛数学试题

2024年求真书院Pi节挑战赛试题 2024年3月16日上午，8：30-11：30 20024 1.设数列{a}(m∈N)满足1=2，an1=2sm号.证明：∑a<314. 2 2.设手是一个首系数为1的n次整系数多项式，且其所有的复根的模长均为1.我们来证明∫的 所有复根都是单位根， (1)设∫的所有根为1,2，一，m(重根按重数记).对k∈Z,令b=十站+…十填，证明 bk∈Z (2)证明：存在一个正整数N∈Z+,使得bk=b+N对所有k∈Z均成立， (3)设N为第(2)问中满足条件的那个正整数。证明：对∫的所有根，有==1. 3.定义如下的形式幂级数： F)=∑x+,G)=∑x,H)=∑(-1)rr nEZ nEZ n2艺 求证：(1)(G(x)2+(H(x)2=2(G(x2)2:(2)(G(x)=(F)+(H(a) 4.(1)证明：n阶Hilbert矩阵H= 是正定的，即对于任意的a1,…,an∈R,有 4%20 1≤J≤n 且等号成立当且仅当所有a=0. (2)设n≥2是正整数，f(x,)是实系数二元多项式，并且∫关于x,,的次数均不超过n一1，证 明： (f,)drdw≥ 并求出等号成立的充分必要条件。 5.求所有的正整数对(m,m),使得存在连续函数f:0,→0，m,满足f0)=0,f)=m,且 对任意0<x<y<n,-x和f八)-f(x)不同时为整数. 6,给定正整数，求所有n阶实矩阵A,使得对任意非常数实系数多项式∫，都存在阶实矩阵 X满足f(X)=A.