第二单元：轴对称和平移（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

轴对称和平移 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) ( 思维导图 ) ( 知识梳理 ) 知识点一、轴对称 1． 轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴． 2．轴对称的性质： （1） 成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 知识点二、画轴对称图形的对称轴 1、轴对称图形的画法： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）． （2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）． 知识点三、作轴对称图形 1．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对称图形了． 知识点四、作平移后的图形 1．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． 2．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 知识点五、运用平移、对称和旋转设计图案 1． 一个长方形（或正方体）沿一条边旋转就会成为一个圆柱．． 2．一个直角三角形沿着一条直角边旋转就会变成一个圆锥． 3．一个已知半圆，以直径为轴翻转后的图形与已知半圆能变成一个圆 ( 典例分析 ) 【典例1】把图形A向左平移6格后得到图形B，再以MN为对称轴画出图形B的轴对称图形，得到图形C． 【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据平移的特征，把图形A的各顶点分别向左平移6格，依次连接即可得到向左平移6格后的图形B．根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴MN的下边画出图形B的关键对称点，依次连接即可即可得到图形C． 【解答】解： 【名师点评】作平移后的图形、作轴对称图形，对应点（对称点）位置的确定是关键． 【典例2】画出三角形先向右平移8格，再向上平移4格后的图形。 【答案】 【思路分析】将三角形的三条线段都先向右平移8格，再向上平移4格。 【解答】解：三角形先向右平移8格，再向上平移4格后的图形如图： 【名师点评】此题重点考查将平面图形进行平移的方法。 【典例3】按要求涂色。 （1）把小船向右平移13格后得到的图形涂上红色。 （2）把小船先向下平移3格，再向右平移6格后得到的图形涂上蓝色。 【答案】（1）（2）如图： 【思路分析】（1）把小船的每个顶点都向右平移13格，顺次连接后得到的图形涂上红色。 （2）把小船的每个顶点先向下平移3格顺次连接，再把平移后的图形的每个顶点都向右平移6格后，顺次连接得到的图形涂上蓝色。 【解答】解：（1）（2）如图： 【名师点评】熟悉图形平移的方法是解决本题的关键。 【典例4】 （1）先将●向北平移3格，再向西平移4格． （2）平移后的●在原来●的　 　方向． 【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，即可把●先向北（上）平移3格，再向西（左）平移3格． （2）以●原来的位置为观测点，经过两次平移●的位置在左上方，即西北方向． 【解答】解：（1）先将●向北平移3格，再向西平移4格（下图）． （2）平移后的●在原来●的西北方向． 故答案为：西北． 【名师点评】此题主要考查了两个方向的内容：作平移后的图形、根据方向确定物体的位置． 【典例5】利用平移、轴对称或旋转的知识设计一幅自己喜欢的图案． 【答案】见试题解答内容 【思路分析】先画出一个四边形图案，再把这个图案绕点O顺时针或逆时针旋转90°、180°270°即可成为一幅轴对称图形．还可利用平移的特征，把这个图形平均设计出一条壁报的花边． 【解答】解：根据分析作图如下： 【名师点评】本题是考查用平移、旋转、轴对称设计图案，根据图形的平移、旋转、轴对称的特征设计即可． ( 高频考题 ) 1．请你把通过平移后可以与黑鱼重合的鱼涂上颜色。 2．先补全下面轴对称图形，再画出向右平移6格后的图形。 3．画一画． （1）画出将图形A向右平移10格得到的图形B． （2）以直线a为对称轴，画图形B的轴对称图形，得到图形C． 4．根据对称轴补全下面这个轴对称图形，画出这个轴对称图形先向下平移2格，再向右平移8格后的图形。 5．（1）将〇先向上平移3格，再向左平移4格。 （2）将△先向下平移2格，再向右平移5格。 6．画一画。 要求一：画出三角形ABC的轴对称图形。（虚线为对称轴。） 要求二：画出原三角形ABC向上平移三格后的图形。 7．分别画出将向上平移3格、向左平移8格后得到的图形． 8．按要求填一填，画一画。 （1）图①先向下平移 　 　格，再向 　 　平移12格得到图②。 （2）画出图②向左平移6格后的图形。 9．（1）用数对表示各个字母所在的位置． （2）画出将图形向右平移6格后的图形，并写出平移后图形的各个顶点的位置． 10．按要求画出移动后的图形。 （1）〇先向南移动4格，再向东移动3格。 （2）△先向北移动2格，再向西北移动2格。 （3）□先向西南移动3格再向北移动2格。 11．用已学过的图形在如图的方格纸上设计一个你喜欢的图案。 12．移一移，画一画。 （1）在图形①向左平移4格得到的图形上涂上颜色。 （2）画出将图①向下平移2格得到的图形。 13．先以虚线为对称轴，画一个轴对称图形；再将画出的轴对称图形先向左平移4格的图形。 14．按要求作图。 （1）画出图形A关于直线L的轴对称图形B。 （2）画出图形B向右平移3格，再向下平移5格后得到的图形C。 15．分别画出将平行四边形向右移6格、向下平移4格后得到的图形． 16．填一填，画一画． （1）小房子先向右平移了 　 　格，再向上平移了 　 　格． （2）画出平行四边形先向左平移4格，再向下平移3格后的图形． 17．作图． （1）图形A先往右平移5格，再往上平移2格，平移后的O点记作O′． （2）如果O点用数对表示是（4，7），那么O′点用数对表示是（　 　，　 　）． 18．请按照给出的对称轴画出第一个图形的对称图形，请画出第二个图形向上移动3个格后的图形． 19．把下面的三角形ABC连续向右平移两次，每次平移4格，分别得到三角形A1B1C1和三角形A2B2C2。 表示A、A1和A2的数对有什么共同特点？表示B、B1和B2以及C、C1和C2的数对呢？ 20．在如图的图形中分别涂一个小方格，使它们成为轴对称图形。 21．把字母F连续向右平移两次，每次都平移5格，画出每次平移后的图形． 22．画出下面每个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形，再把左边的图形向上平移5格． 23．以如图图形的其中一条边所在的直线为对称轴，画出图形的另一半。比一比谁的画法多。 24．（1）画出图①向下平移4格后的图形． （2）画出图②向左平移8格后的图形． （3）画出图③向右平移6格后的图形． 25．移一移，画一画． （1）画出图1向下平移3格后的图形． （2）画出图2向左平移4格后的图形． （3）画出图3向右平移5格后的图形． 26．涂一涂． 把平移后能和重合的图形涂上颜色． 27．利用图中的七巧板，通过平移、旋转和轴对称设计你喜欢的图案． 28．在图中任选一个图形，运用图形运动的知识设计一幅美丽的图案． 29．分别画出将三角形向上平移5格，再向右平移6格后得到的图形． 30．将七巧板经过平移或旋转后得到箭头图． 请在箭头图中画出相应的每块七巧板的轮廓线，标出序号，同时说明每块板是怎样平移或旋转的． ( 答案解析 ) 1．【答案】 【思路分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动。旋转的定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。判断即可。 【解答】解： 【名师点评】解答此题的关键是：应明确旋转和平移的意义，并能灵活运用其意义进行解决问题。 2．【答案】 【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左半图的关键对称点，依次连接即可补全这个轴对称图形；根据平移的特征，把这个轴对称图形的各顶点分别向右平移6格，依次连接即可得到平移后的图形。 【解答】解：根据题意画图如下： 【名师点评】作平移后的图形、作轴对称图形，对应点（对称点）位置的确定是关键。 3．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据平移的特征，把图形A的各顶点分别向右平移10格，依次连接即可得到向右平移10格后的图形B． （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴a的下边画出图形B的关键对称点，依次连接即可图形C．． 【解答】解：（1）画出将图形A向右平移10格得到的图形B（下图）： （2）以直线a为对称轴，画图形B的轴对称图形，得到图形C（下图）： 【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连接各对称点即可． 4．【答案】 【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的右边画出左图的关键对称点，依次连接即可补全下面这个轴对称图形；根据平移的特征，把这个轴对称图形的的各顶点分别向下平移5格，再向右平移8格，依次连接即可得到平移后的图形。 【解答】解：根据题意画图如下： 【名师点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。作轴对称图形，对称点位置的确定是关键。 5．【答案】 【思路分析】（1）根据平移的特征，整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动，即可把〇先向上平移3格，再向左平移4格； （2）同理，即可把△先向下平移2格，再向右平移5格。 【解答】解：（1）将〇先向上平移3格，再向左平移4格（下图）： （2）将△先向下平移2格，再向右平移5格（下图）： 【名师点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。 6．【答案】 【思路分析】要求一：根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出三角形ABC的对称点，依次连接即可画出三角形ABC的轴对称图形。 要求二：根据平移的特征，把三角形ABC的各顶点分别向右平移三格，依次连接即可得到平移后的图形。 【解答】解：根据要求画图如下： 【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连接各对称点即可。平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 7．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据平移图形的特征，把图中梯形的各顶点分别向上3格，再向左平移8格，依次连接，涂色即可． 【解答】解：分别画出将图形向上平移3格后，再向左平移8格的图形．（如图） 【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 8．【答案】（1）3，右；（2） 【思路分析】（1）根据平移的性质：图①先向下平移3格，再向右平移12格得到图②。 （2）把图形②的4个关键点（顶点）分别向左平移6格，再依次连接起来即可得平移后的图形。 【解答】解：（1）图①先向下平移3格，再向右平移12格得到图②。 （2）画出图②向左平移6格后的图形。如图： 故答案为：3，右。 【名师点评】本题考查了平移知识，图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。 9．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出各字母的位置． （2）根据平移的特征，把图形的各顶点分别向右平移6格，再首尾连接即可得到向右平移6个单位后的图形A′B′C′E'F'；根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出平移后图形各顶点的位置． 【解答】解：（1）A（2，5），B（2，2），C（3，3），D（4，2），E（4，5），F（3，4）； （2）画图如下： 平移后图形为A'B'C'D'E'F'，各点的位置：A'（8，5）B'（8，2）C'（9，3）D'（10，2）E'（10，5）F'（9，4） 【名师点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离；用数对表示点的位置如无特殊说明，第一个数字表示列，第二个数字表示行． 10．【答案】 【思路分析】根据平移图形的特征即可解答。 【解答】解： 【名师点评】本题主要考查平移图形的特征。 11．【答案】如图：（答案不唯一） 【思路分析】根据题意，已学过的图形有，长方形、正方形、三角形，平行四边形、梯形……等，可以选择三角形，通过旋转设计成一个风车的图形（答案不唯一）。 【解答】解：用已学过的图形在如图的方格纸上设计一个你喜欢的图案，如图：（答案不唯一） 【名师点评】此题考查了对已学图形和已学运动相结合的运用。 12．【答案】 【思路分析】根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化。据此解答即可。 【解答】解：（1）在图形①向左平移4格得到的图形上涂上颜色。作图如下： （2）画出将图①向下平移2格得到的图形。作图如下： 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握图形平移的性质及应用。 13．【答案】（答案不唯一）。 【思路分析】答案不唯一。根据轴对称图形的特征，可画一个较大的等腰三角形作“小鱼”的身子，再画一个较小的等腰三角形作“小鱼”的尾巴，的画的“小鱼”是轴对称图形，两过两等腰三角形底边中点的直线就它的对称；根据平移的特征，把“小鱼”的各顶点分别微信左平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。 【解答】解： （答案不唯一）。 【名师点评】如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴，据此即可以虚线为对称轴画一个轴对称图形；平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 14．【答案】 【思路分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴L的右边画出图A的关键对称点，依次连接即可画出图形A关于直线L的轴对称图形B。 （2）根据平移的特征，把图B的各顶点分别向右平移3格，再向下平移5格，依次连接即可得到平移后的图形C。 【解答】解：（1）画出图形A关于直线L的轴对称图形B（下图）。 （2）画出图形B向右平移3格，再向下平移5格后得到的图形C（下图）。 【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连接各对称点即可。平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 15．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据平移的特征，把平行四边形的各顶点分别向右平移6格，依次连接即可得到向右平移6格后的图形；用同样的方法即可画出平行四边形向下平移4格后的图形． 【解答】解：分别画出将平行四边形向右移6格（红色）、向下平移4格后得到的图形（绿色）． 【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 16．【答案】见试题解答内容 【思路分析】①根据小房子关键点对应部分间的距离（格数）及相对位置，即可确定平移的方向与距离（格数）． ②根据平移的特征，把平行四边形的各顶点分别向左平移4格首尾连接，即可得到向左平移4格后的图形；再把平移后的平行四边形的各顶点分别向下平移3格，即可得到向下平移3格后的图形． 【解答】解：画图如下， （1）小房子先向右平移了6格，再向上平移了4格． 故答案为：6，4． 【名师点评】本题考查了平移，平移要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 17．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据平移的特征，把图形的各顶点分别向右平移5格，再向上平移2格，依次连接即可得到平移后的图形，并标上点O′． （2）如果O点用数对表示是（4，7），说明点O在第4列，第7行，向右平移5格，列数加5，再向上平移2格，行数加2，即O′在第9列，第9行，根据数对中第一个数表示列，第二个数表示行，即可用数对表示出点O′的位置． 【解答】解：（1）图形A先往右平移5格，再往上平移2格，平移后的O点记作O′（下图）． （2）4+5＝9，7+2＝9 即即O′在第9列，第9行，用数对表示是（9，9）． 故答案为：9，9． 【名师点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离．数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中会有所不同，但在无特殊说明的情况下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行．点前、后移动列不变，行数减、加移动的格数；左、右移动行不变，列数减加移动的格数． 18．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边边画出第一个图形的关键对称点，依次连接，涂色即可．根据平移的特征，把第二个图形的各顶点分别向上平移3格个单位，首尾连接、涂色即可得到平移后的图形． 【解答】解：按照给出的对称轴画出第一个图形的对称图形（图中红色部分），请画出第二个图形向上移动3个格后的图形（图中绿色部分）： 【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连接各对称点即可． 19．【答案】 根据数对的知识可知，连续向右平移改变的是列数，行数不变。 【思路分析】根据平移的方法，把三角形ABC的顶点连续向右平移两次，每次平移4格，分别连接即可得到得到三角形A1B1C1和三角形A2B2C2。然后根据数对的知识可知，连续向右平移改变的是列数，行数不变。 【解答】解：作图如下： 根据数对的知识可知，连续向右平移改变的是列数，行数不变。 【名师点评】本题考查了平移知识，图形平移，大小、形状、方向均不变，改变的是位置。 20．【答案】 【思路分析】找准对称轴，根据对称轴画出轴对称图形，再涂色，据此解答。 【解答】解：作图如下： 【名师点评】本题考查的是对称图形，找准对称轴是解答关键。 21．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据题干，把字母F的各个顶点分别向右平移5格，得到第一次平移后的图形1；再向右平移5格，得到第二次平移后的图形2，据此即可解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得： 【名师点评】此题主要考查了图形的平移：明确每次平移后的对应点的位置是解决此类问题的关键． 22．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出已知图形的关键点的对称点，连接即可； （2）根据平移的性质，平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置．因此只要找出原图中所有的关键点，然后把这些点向上平移5格，找到平移后的对应点，再顺次连接即可． 【解答】解：根据题干分析可得： 【名师点评】本题是考查轴对称图形的画法以及平移作图，关键是把对应点的位置画正确． 23．【答案】 【思路分析】以直角梯形的任一边所在的直线为对称轴，都可画出图形的另一半，直角梯形有4条边，因此，有4种画法。 【解答】解： 【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连接各对称点即可。 24．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据平移的特征，把图①的各顶点分别向下平移4格，依次连接即可得到向下平移4格后的图形． （2）同理，把图②的各顶点分别向左平移8格，依次连接即可得到向左平移8格后的图形． （3）同理，把图③的各顶点分别向右平移6格，依次连接即可得到向右平移6格后的图形． 【解答】解：（1）画出图①向下平移4格后的图形（图中红色部分）． （2）画出图②向左平移8格后的图形（图中绿色部分）． （3）画出图③向右平移6格后的图形（图中蓝色部分）． 【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 25．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据平移的特征，把图1的各顶点分别向下平移3格，依次连接即可得到向下平移3格后的图形． （2）同理，把图2的各顶点分别向左平移4格，依次连接即可得到向左平移4格后的图形． （3）把图3的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到向在平移5格后的图形． 【解答】解：（1）画出图1向下平移3格后的图形（图中红色部分）： （2）画出图2向左平移4格后的图形（图中绿色部分）： （3）画出图3向右平移5格后的图形（图中蓝色部分）： 【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 26．【答案】见试题解答内容 【思路分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置；据此涂色即可． 【解答】解： 【名师点评】本题考查了图形平移的性质和特征． 27．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据图形的平移、旋转或轴对称的特征，即可用七巧板可以设计出许多精美的图案． 【解答】解：利用图形的平移、旋转用七七板设计图案（一匹可爱的小马）如下： 【名师点评】本题属于操作题，动手操作一下，即可用七巧板设计出自己喜欢的图案． 28．【答案】见试题解答内容 【思路分析】利用平移设计图案，可根据要求或个人喜好灵活选择平移方向和距离，同一种基本图形可以设计出不同的图案，但设计时要按平移的规则作图． 【解答】解：利用图形的平移知识设计一幅图案．如下： 【名师点评】本题考查运用平移、对称和旋转设计图案，注意做这类题的关键是找对应点． 29．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向上平移5格，依次连接即可得到向上平移5格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向右平移6格． 【解答】解：分别画出将三角形向上平移5格（红色），再向右平移6格（绿色）后得到的图形． 【名师点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离． 30．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据七巧板中的图形特征和序号，在拼成的图形中找出来并标上序号，再根据平移和旋转的特征即可解答问题． 【解答】解：如图所示： 图1先向上平移1个单位，再向右平移9个单位可得； 图2先绕直角顶点顺时针旋转180°，再向上平移1个单位，再向右平移9个单位可得； 图3先绕直角顶点顺时针旋转90°，再向右平移19个单位可得； 图4先向上平移2个单位，再向右平移11个单位可得； 图5先绕直角顶点逆时针旋转90°，再向右平移11个单位可得； 图6先向上平移2个单位，再向右平移13个单位可得； 图7先向上平移4个单位，再向右平移13个单位可得． 【名师点评】解答此题的关键是根据七巧板中的各个图形的特征，在拼成的图形中找出来即可解答问题．图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离．图形旋转注意四要素：即原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$