河北省沧州市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024-2025学年高二上学期9月质量检测 数 学 试 题 本卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 2．直线，若，则这两条平行直线间的距离为（  ） A．或0 B．0 C． D． 3．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列命题中正确的是（  ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 5. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7．在正方体中，若棱长为，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（  ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值 C．平面平面 D．点到平面的距离为定值 8. 设圆与圆，点，分别是上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对得部分分，选错不得分. 9.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是,为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点， 则四边形面积最小值为2 11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，,为对角线的交点，为 的中点．则下列说法正确的是（  ） A． B．三棱锥的外接球的半径为 C．当异面直线和所成的角为时， D．点到平面与到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时. 13. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 14．知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 (13分) . 已知直线 (1)若坐标原点到直线的距离为，求的值； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程. 16（15分）.已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于P，Q两点，求弦的最短长度； 17（15分）.如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 18（17分）. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成 锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 19（17分）. 已知圆与直线，动直线过定点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，点是的中点，直线与直线相交于点．探索是否为定值， 若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 高二数学试题答案 1. D 2．C 3．B 4．C 5. D 6. A 7．B 8. C 9. A C 10. AC 11.ACD 12. 13. 14．. 15. 【解析】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 16.【解析】（1）解：由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点，得，解得，， 圆的方程为； （2）解：由直线 有：；得，即 即直线恒过定点； 又，即点在圆内部； 圆的圆心为；设直线恒过定点； 当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短； 此时，弦长最短为； 17. 【解析】（1）∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点， 故 又∵，，∴ ∵，∴， ∴ ∴，又∵，，平面 ∴平面 （2）取的中点，连接，则，由(1)可知， ∵，∴平面， 又∵ ∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，， ∵平面，∴，四边形为矩形， ∴ 平面的一个法向量为. 设平面的一条法向量为，， 由 得 令，则， 平面的一个法向量为 则平面与平面的夹角的余弦值为 ∴平面和平面夹角余弦值为 18. 【解析】 （1） 取中点，连接， 分别为中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形，． 又平面，平面， 平面． （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 19. 【解析】（1）1°当直线l的斜率不存在时， l的方程为x＝0，与圆C不相切； 2°当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，即， ∴，解得或， ∴直线l的方程为y＝1或； （2）由题意可知直线l的斜率存在， 设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0）， 由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0， ∴， ∴，∴， 由得，， ∴，∴， ∴， ∴为定值． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$