精品解析：北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期数学统练2

2025届高三上数学统练2 一､选择题（共10小题） 1 设全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c满足，且，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C D. 4. 下列各式化简运算结果为1的是（ ） A. B. C. （且） D. 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A B. C. D. 7. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 被誉为信息论之父香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（ ） A. B. C. 非零常数，使得 D. ，都有 二､填空题（共5小题） 11. 不等式的解集是_______． 12. 为等比数列，为数列的前项和，，则__________. 13. 函数的值域为__________. 14. 甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为______. 15. 若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题： ①内单调递增； ②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为； ③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是； ④之间存在唯一的“隔离直线”． 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号) 三､解答题（共2小题） 16. 某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站 上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 （1）在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； （2）以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； （3）为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 17. 设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三上数学统练2 一､选择题（共10小题） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：，则. 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 3. 已知a，b，c满足，且，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由已知可得，，再由不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：因为，且，所以，， 对于，，，所以，所以，故正确； 对于，，故正确； 对于，当时，，故错误； 对于，，，所以，故正确． 故选：． 4. 下列各式化简运算结果为1的是（ ） A. B. C. （且） D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的性质进行计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出三数的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意得，， ， 故, 故选：D 6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 7. 已知，“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在，再由函数的单调性及可得不等式的解集. 【详解】因为单调递增，且，， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以由可得， 故选：A 9. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据定义，代入数据分别求和，再根据换底公式计算的值. 【详解】由条件可知， ， . 故选：D 10. 已知数列满足，，，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（ ） A. B. C. 非零常数，使得 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得A正确；由已知递推关系化简可得B正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C错误；由已知递推关系找到前项和的规律可得D正确. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因，， 所以，故B正确； 对于C，设非零常数，，则， 由题意，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，，则为数列的的周期， 同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意； 所以不存在非零常数，，使得，故C错误； 对于D，由得； 由得； 由得，，, 所以，， 故当时，， 所以， 所以，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于能理解的意义，即表示数列中前两项和为外的到项，到项，到项和分别为零. 二､填空题（共5小题） 11. 不等式的解集是_______． 【答案】或， 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即，即， 所以，解得或， 故原不等式的解集为或， 故答案为：或 12. 为等比数列，为数列的前项和，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值. 【详解】设公比为， 由，得， 即，解得， 所以. 故答案为：. 13. 函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域. 【详解】解：当时，单调递减，所以函数的值域为， 当时，单调递增，所以函数的值域为， 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 14. 甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得、，再根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 15. 若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题： ①内单调递增； ②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为； ③之间存在“隔离直线”，且k取值范围是； ④之间存在唯一的“隔离直线”． 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】结合题意逐一考查所给命题的真假： ①∵m(x)=f(x)−g(x)=x2−,，则， ∴F(x)=f(x)−g(x)在内单调递增，故①对； ②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2⩾kx+b对一切实数x成立,即有△1⩽0,k2+4b⩽0，b⩽0， 又⩽kx+b对一切x<0成立,则kx2+bx−1⩽0,即△2⩽0,b2+4k⩽0，k⩽0， 即有k2⩽−4b且b2⩽−4k,k4⩽16b2⩽−64k⇒−4⩽k⩽0，同理可得−4⩽b⩽0，故②对，③错； ④函数f(x)和h(x)的图象在处有公共点, 因此若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点, 设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y−e=k(x−),即y=kx−k+e， 由f(x)⩾kx−k+e(x∈R),可得x2−kx+k−e⩾0当x∈R恒成立， 则△⩽0,即，故,此时直线方程为：， 下面证明： 令，则， 当时,G′(x)=0,当时,G′(x)<0,当时,G′(x)>0， 则当时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值. 所以,则当x>0时恒成立. ∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三､解答题（共2小题） 16. 某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站 上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 （1）在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； （2）以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； （3）为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率来求概率即可； （2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望； （3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可. 【小问1详解】 设选取的乘客在站上车、在站下车为事件， 由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人， 所以． 【小问2详解】 从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为 由题意可知，可取0，1，2 ， ， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的数学期望为 ． 【小问3详解】 因为在站上车的有60人，下车的有36人， 所以， 所以， 因为在站上车的有24人，下车的有56人， 所以， 所以， 因为在站上车的有38人，下车的有26人， 所以， 所以， 所以. 17. 设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 【答案】（I）在内单调递增.； （II）（i）见解析；（ii）见解析. 【解析】 【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果； （ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】（I）解：由已知，的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以在内单调递增. （II）证明：（i）由（I）知，， 令，由，可知在内单调递减， 又，且， 故在内有唯一解， 从而在内有唯一解，不妨设为， 则，当时，， 所以在内单调递增； 当时，， 所以在内单调递减， 因此是的唯一极值点. 令，则当时，，故在内单调递减， 从而当时，，所以， 从而， 又因为，所以在内有唯一零点， 又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点. （ii）由题意，，即， 从而，即， 因为当时，，又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得， 【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $