重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 3．关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 5．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）． A． B． C． D． 6．已知函数，若为奇函数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 7．若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ） A． B． C．， D．， 10．若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ） A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心 C．是周期函数 D． 11．已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A．a的取值范围是 B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知为钝角，，则________． 13．已知，，则的最大值是________． 14．对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知数列满足，且． （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 16．（本小题满分15分） 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 17．（本小题满分15分） 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 18．（本小题满分17分） 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． （1）过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； （2）若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）求在上的最大值； （2）求过点且与曲线相切的直线方程； （3）证明：，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.命题“Hx∈R,x2+2x+1≥0”的否定是 A.3x∈R,x2+2x+1≥0 B.3x∈R,x2+2x+1<0 C.Hx∈R,x2+2x+1>0 D.Hx∈R,x2+2x+1<0 2.今年高二(1)班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分.考试成绩 非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以 上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1)班共有()个同学. A.45 B.48 C.53 D.43 3.关于x的不等式gx·gx+lgx-1<0对一切xeR*恒成立，则k的取值范围是 A（-∞，-4] B.(-∞，-4]U[0,+∞) C.(-4,0) D.(-4,0] 4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象， 以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中， 以n(neN.)开头的数出现的概率为P(m)=lgt1,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该 定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性。若 og,2+iog,5（keN,k≤19)（说明符号名0，=a+a1+…+a,(k,i,jeN,),则k的值为 log38-l0g,2 A.3 B.5 C.7 D.9 数学·第1页（共4页） C3扫描全能王 门亿人都在用的归播APP 5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮 有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm,则小轮每秒转过 的弧长是(）cm. A.10π B.5m c号 D君 6.已知函数f(x)=x3-6x2,若g(x)=f(x+a)-b为奇函数，则 A.a=2,b=16 B.a=-2,b=-16 C.a=-2,b=16 D.a=2,b=-16 7.若函数f(x)=x+(k-1)x2+(k+5)x+2在区间(0,3)上不单调，则k的取值范围是 A.(-4,-3) B.（-5,-2) C.(-5,-3) D.(-4,-2) 8.已知函数f八x)=e+e,若关于x的方程f代x2+x)=k有4个不同的实数根，则k的取值范围是 A.(2,eite) B.(2,e2+e2) C.(2,eite) D.(ete÷,eite) 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若tana=√3，则下列与角的终边可能相同的角是 Ckm+号，kez D.2kw 10.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x,y∈R都有f(x+y)=f八x-1)+f(y-1)且f(0)=2,则下 列结论一定正确的是 A.点(-2,0)是f八x)图象的一个对称中心 B.点(0,2)是(x)图象的一个对称中心 C.f八x)是周期函数 D.f（2025)=2027 1山.已知函数f(x)=(x-1)nx-ax-a(a≠0)在区间(0，+o)上有两个不同的零点x1,x2,且x1<x2,则 下列选项正确的是 A.a的取值范围是(0,1) B.x1x2=1 4 C.(x1+1)(2+1)>4 D.Inx:+2a<lnxz<Inx +2a+ 3 ■■ 数学·第2页（共4页) CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) ,则sina 1 12.已知a为钝角，tana=- 13.已知a,beR*,4a+h=l,则 的最大值是 tb 14.对于函数代)=c-+a,g()=r,若对任意的与e[0,1小，存在唯一的名e[侵，使得 f(x)=g(x2),则实数a的取值范围是 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列{a.}满足a1=20,+1,且a,=1 (1)求证：{an-2}是等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b,+b2+…+bn=an,求数列{nbn}的前n项和T. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2-3ax,g(x)=a21nx (1)若函数h(x)=f代x)+g(x)在x=1处取得极大值，求h(x)的极值及单调区间； (2)若a>0,不等式f(x)>2g(x)对一切xeR*恒成立，求实数a的取值范围. 17.（本小题满分15分) 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品 的时间进行了统计，得到如下的列联表： 每天看电子产品的时间 近视情况 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n(ad-bc)2 X=(a+b)(e+d)(a+e)(b+d) C③扫描全能王 3亿人藤在用的目猫AP白 (1)根据小概率值α=0.05的X2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； (2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是 多少？ (3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X,每天看电子产品 超过一小时的人数为Y,求P(X=Y)的值 18.(本小题满分17分)） 包知双曲线C:号-1@>0，b>0)的离心率为3，F,R,分别为其左、右焦点，P为双曲组 上任一点，Q(3,m)是双曲线在第一象限内的点，PF·PF的最小值是-2 (1)过点Q(3,m)分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A,B两点，O为 坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线I与双曲线交于不同的两点M,N,且满足QM⊥QN.证明：直线MW过定 点，并求出该定点坐标 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx,g(x)=(x+1)lnx (1)求p(x)=f(x)-x+1在(0，+∞)上的最大值； (2)求过点(0，-2)且与曲线y=g(x)相切的直线方程； （)证明：aeN.号含引1 口■■ 数学·第4页（共4页） CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APe口■■回▣■■ 数学参考答案 一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 3 4 5 6 8 答案 B 0 B C 0 B 【解析】 1.根据命题的否定得：3xeR,x2+2x+1<0,故选B 2.令A={语文成绩90分以上的同学，B=数学成绩90分以上的同学，U倒A+1B到 -|A∩B上53，故选C 3.gx·lg+kgx-1=gx+kgx-1<0,当素=0时，不等式成立：当k<0时，△=k2+4k <0,4<k<0,所以ke(4,0,故选D. 之PmPk+Pk+D+…+PW吵=gg2 20,2010g8-1og12 4. k+1 +9g太， log,2+log,5 =1og4=lg4,故k=5,故选B. l0g110 5。大齿轮每分钟转3圈，则小齿轮每分钟转5圈，每秒转二圆，所以每秒转过的弧长为 12 古2x2-m,故选C 6.f(x)=x3-6x的对称中心是(2，-16)，则左移2个单位，上移16个单位为奇函数，所以 a=2,b=-16,放选D. 7./=3x+2-x+k+5在区间0.3到上有变号零点，k=3x+2-5.；-32x+ 2x+124 8.f(x)是偶函数，在xe0,+)单调递增，令1=x2+x,若f)=k仅一个零点L,则=0， x2+x=0仅有两个不同的零点，不合题意：所以()=k有两个不同的零点4，-1，方程 x2+x=4和x2+x=-4共有四个不同的零点，△，=1+4>0,42=1-44>0，则 4<好0，所以)2+e西，放话A 数学参考答案·第1页（共7页） 口■■回口■■ 二、多项选择题〔本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD ABD BCD 9.a在第一、三象限，故选ACD. 10.令x=y=-1,f八-2)=2f(-2),f-2)=0,令y=-x-2,则f-2)=fx-1)+f八-x-3), 所以点(-2,0)是八)图象的一个对称中心，故A正确：令x=y=1,则(2)=2f(0)=4, 令y=-x+2,则4=f2)=八x-)+f(-x+),故B正确：设f(x)=x+2,符合题意， 但不是周期函数，故C错误：令x=y=0,f0)=2f八-1)，所以f八-)=1，令y=0, (x)=f(x-)+f-1)=f八x-)+1,所以{f(k)}是3为首项，1为公差的等差数列，这 样f(2025)=f)+(2025-1)1=2027,故D正确，放选ABD 2r+x-1 /0)-06-s-0) x+1 x+1 ,令Mx)=2lnx 1)在0，+)上单调通增，这样在0) 递减：在(，+)上，g(x)>0,gx)单调递增，所以g(x)=g)=0,又： x→0°，f(x)→+0，x→+D,f八x)→+o,所以f(x)在区间(0.+0)上有两个不同的零 点不无台a>0,故A错误；a=g=任：la5云in5=于一n x+11+ 1 1 1+ =8日8小又：与>1,在+上考=1，故B正 确：（信+103+1）=x+无+无+1>2+2√=4x<x2),故C正确：：nx+nx=0, h与+2ach与ch+2a+写a<n<a+fa=卖h低>0，n5-a 名+1 h无-专n无-2h与>04>D,n5>a成立：要证n5-a=n%-5hn +1 考+1 无+I +<>,即证x>1时，+1-3nx>0①，令x)=x+3 数学参考答案·第2页（共7页） 口■■回回■■ hx)=1-3x-3 所以x>1时，Mx)=M3)=4-3n3>4n25-3n3>ln36-ln27 >0,所以①成立，故D正确，故选BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 而 10 ( 【解析】 12.a为t角，cosa<0,sna>0,sina= 10 3(合君》如+6创=5+名名9，当且仅当a=名6写时取等号：所以中。的最大值为号 a+b 14.f(x)=c-2x,∫(x)=c-2,所以在0.n2)上，x)<0,fx)单减：在n2,+o) 上，了(x)>0,fx)单增，所以fx)=2-2n2>0,所以fx)单增，值域为 [a+c-l+ad小.由g)=l+lnx知， 在白习上g单诚，在日小上g单增 方程g=在[息上仅一个根，则k(子]U侣，所以 o*te-(3小}（是- 四、解答题（共7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) （1）证明：a-2=0,+1-2=a-2,… …(2分) 且a-2=-1≠0，……(3s分） 所以a。-2!是以-1为首项， 】为公比的等比数列，…(4分) -2-22-固 …(6分) 所以6- …(8分) 数学参考答案·第3页（共7页） 口■■口口■■ x=+2*3周++份 2+++ 所以=1+1付+”- …(10分 2 …(12分） 7=4-2+n 2 …(13分） 16.(本小题满分15分) 解：1)h)=2x-3a+g.2x-3+a-2r-a-a ……(2分) a≤0，h(x)>0,无极值点：…… …(3分) a>0,则在0引 (a,+∞)上，(x)>0,(x)单调递增： 在（侵上，M)<0,M)单调递减。 所以x=号是极大值点，0=2.(5分) (x)=x2-6x+4Inx, 所以，在(0，)，(2，+)上，h(x)>0,(x)单调递增： 在（山，2）上，h(x)<0,Mx)单调递减.…(7分) (x)大=0=-5.Mx)分推=h(2)=4ln2-8.…(9分) (2)x)=fx)-2g(x)=x2-3r-2a2lnx px)=2x-30-2d-2x-3r-2a-2r+a-2a …(11分) 因为a>0, 所以在(0,2a上，o(x)<0,x)单调递减： 在(2a,+0)上，p(x)>0,(x)单调递增，…(13分) x)-=e2a)=-2d2-2an2a>0,所以0<a<2元 …(15分) 数学参考答案·第4页（共7页） 口■■回口■■ 17.(本小题满分15分) 解：(1)假设H。:眼睛近视与长时间看电子产品没有关系， 4…(1分) X2 mad-bey 5010×25-10x5y=6349>3841, (a+bc+da+cb+d020×30×15×35 4444…4…(3分) 根据小概率值α=0.05的x独立性检验，H。不成立，眼睛近视与长时间看电子产品有关， …(5分) (2)5为每天看电子产品超过一小时的人数， P2)=P5=2)+PG=3)= 2C,C369 …(9分) C 91 (3)PX=y=0)=二×-= 44404040444444444444444444…4444*044444444440444444…(10分）】 224 PX=y=2)=×三 5^525 X=Y=1包含两种情况，一是其中一人是看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近 视看电子产品也没超过一小时：二是一人近视但看电子产品没超过一小时，一人看电子 产品超过一小时但没近视。 116 所以PX=Y=)=C×5×:+C×:× 25 51025 …(14分) 所以P(X=)=PX=y=0)+PX=y=1)+PX=y=2)= 53 **4…(5分) 100 18.(本小题满分17分) (1)解：设Px,),PEP吓=(-c--)(C-,-为)=+-c2 a2+ 6+-c2 万-6,4(2分 当=0时，PF·P吓的最小值为-b2,所以b2=2,2=1,c2=3, 双曲线方程为x2- 4444…4( 所以Q(3,4),双曲线的渐近线方程为y=±√2x, 数学参考答案·第5页（共7页） 口■■口口■■ -号9 y=2x, 化兰 ……(7分) 2 (2)证明：若直线1的斜率存在，不妨令直线1的方程为y=:+m,M(,片N(x,乃)， 2x-y-2=0.2-k2x2-2kmr-m2-2=0,4=8m2-8+16>0. y=k红+m, x+无 2km -m2-2 2-农，=2- …(9分) 0.QN=(x-3.y-4)(3-3,-4) =(偶-3x-3)+(+m-4:,+m-4) =(1+k2)xx+k(m-4)-3x+x)+9+(m-4)2=0,…(11分) 代入韦达定理得，m2-(6k+16)m-27k2+48=0,…(13分) m=9k+12或m=-3k+4, 当m=-3+4时，直线方程为y=:-3k+4过(3,4)矛盾： 当m=9k+12时，直线方程为y=x+9k+12,这样过点(-9.12). 小(5分) 若直线1的斜率不存在，令其方程为x=1,则M,√2r-2N,-√2r-2), QN.0=0-3,√22-2-41-3，-√2㎡-2-4) =(u-3+16-2r2+2=0→2+61-27=0， 4=3,直线过点Q,矛盾： 1=-9,直线过定点(-9,12). 综上，直线过定点（一9,12），…(17分) 19.(本小题满分17分) (1)解：)=-1=-x 在(0,1)上，o(x)>0,x)单调递增：在(1，+o)上，(x)<0,(x)单调递减 x）==0。… …(2分) 数学参考答案·第6页（共7页） 口■■口口■■ (2)解：令直线与g)相切于点(，片)，g)=+1+nx 这样k=玉+山+n·名=（化+nx,切线方程为y-为 过点(0，-2)，所以-2-%= 名++n元0-)，整理得：名=ln+l 由(1)知当且仅当无=1成立，所以切线为y=2x-2。 …(7分） 3)E明：由（知nx+,当且仅当x=1时取“=”，所以n+号号 3 ……(11分) 由(2)知直线y=2x-2与gx)相切于(1,0). 易证：当xe+o)时.g)>2x-.即nr>2-》 x+1 （证明：令M=nr-2-》,4=任=0，当>1时.M)单调 x+1 x (x+l)x(x+l 递增.Mx)>0)=0,1nx>2r-》) x+1 2 所以，当n=1时， 品 2× 2+ 2× 当≥2时， 2 3 2 31+1) 2×3 (3+1)31+)3”+13+1万 所以}片品 4”(17分) 数学参考答案·第7真（共7真）