第4节 数学思考-2024-2025学年小升初数学总复习知识点归纳

第四节数学思考 知识总览 转化法 数形结合思想 综合法 分析法 常见的数学 假设法 思想方法 分类思想 类比思想 方程思想 集合思想 优化思想 数字排列中的规律 算式中的规律 找规律 图形中的规律 数学 数形结合中的规律 思考 搭配问题 集合问题 植树问题 鸡兔同笼问题 数学广角 等量代换 最优方案 找次品 鸽巢问题 41/45 知识要点归纳 要点①常见的数学思想方法 核心要点 知识概述 在解答一些复杂的、陌生的问题时，可以根据题目中存在的相等关系， 把新的问题通过换角度、换方式、换叙述等办法进行转化，把新的问题 转化法 或复杂的问题转化为已学过的问题或容易解决的问题，从而达到化难为 易，化繁为简的目的。 把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来， 数形结合 通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思雏与形象思维的结合， 思想 把复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。如根 据图象理解正比例关系。 综合法 从已知条件出发，根据数量关系，逐步推出要解决的问题」 从问题入手，根据数量关系找出解答这个问题所需的条件，即由“结论” 分析法 探求“需知”，再逐步靠拢“已知”。 根据已知条件作出某种假设，然后结合其他条件进行推算，再适当调整， 假设法 从而得到正确结论的方法。如解决“鸡免同笼”问题时，通常假设全部 是鸡或全部是兔。 分类思想 按照一定的标准进行分类的思想。如将平面图形按直边、曲边分类。 依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一 类比思想 类数学对象上，从而获得另一类数学对象的性质的思想方法。如根据分 数的基本性质，猜测出比的基本性质。 将问题中的未知量用数字以外的数学符号（如字母）表示，根据相关数 方程思想 量之间的相等关系列出方程。如解比例及用比例解决问题等。 把具有相同性质的事物看作元素，进而把各元素构成的整体看作“集合” 集合思想 反映了把事物或事物间的联系概括成总体或总体间关系的思想方法。如 求两个数的公因数或公倍数。 在可行方案中，挑选出最优方案的思想。如沏茶问题，烙饼问题，打电 优化思想 话等。 42/45 了e®0找规律 核心要点 知识概述 一列数中，相邻两数的差是一个固定值。如1,3,5,7… 一列数中，相邻两数的比是一个固定值。如2,4,8,16… 一列数中，相邻两个奇数项的差是一个固定值，相邻两个偶数项的差也 是一个固定值。如2,10,4,13,6,16,8,19 数字排列 一列数中，每一项分别是它的项数的平方或立方。 中的规律 如1,4,9,16,25…这列数中，每一项都等于它的项数的平方。 以组为单位，隐含一定的规律。如1,1,2,3,5,8,13,21…每相 邻三项中，后一项是与它相邻的前两项的和。 相邻两数的差隐含一定的规律。如2,5,11,23,47…相邻两数的差中 后一个数是前一个数的2倍。 在探索算式中的规律时，应认真观察算式中各个部分的特点，用对应的 方法寻找规律。 1.加法算式中的规律 算式中的 1+2+1=4=2;1+2+3+2+1=9=32;1+2+3+4+3+2+1=16=42;…; 规律 1+2+3+…+n+(n+1)+n+…+3+2+1=(n+1)2。 2.乘法算式中的规律 12345679×9=111111111;12345679×18=222222222: 12345679×27=333333333;·;12345679×81=999999999。 从图形的个数、形状以及图形的简单性质入手，通过观察图形，分析变 化规律，再猜想、推理所求的结果。 1.数线段中的规律 把相邻两个端点之间的线段叫作基本线段，数线段时，线段上有几条基 图形中的 本线段，线段总条数就是从1加到几。如AB C DEFG 规律 有6条基本线段，线段总条数=1+2+3+…+6。数角或三角形时，均可参 照此法。 2.数正方形问题 如果大正方形的边上有个相等的小正方形，那么正方形的总个数为 12+22+32+…+n2。 43/45 续表 核心要点 知识概述 在探索数形结合的规律时，一方面需要考虑图形的变化规律，另一方面 需要考虑数的排列规律，通过数形结合思想解决问题。 1.数小棒中的规律 4… 4 10 摆n个正方形需要小棒：4+3(n-1)=(3n+1)根。 2.求周长问题 如 第1个第2个第3个 第4个 数形结合 第n个图形的周长是4na 中的规律 3.分数计算问题 如计算+1++是+1+1 + =1-1=63 2 481632 64 6464 1-2 1 16 1 P 164 32 同理可得 +1+1 1 十…+ =1-12”-1 48 2 44/45 7@60数学广角 核心要点 知识概述 采用连线、举例、计算等方法。 甲乙丙丁 搭配问题 如每两人握一次手，4个人一共要握手3+2+1=6（次）。 只喜欢语文只喜欢数学 集合问题 采用画图的方法。如 15人(9人 12人 既喜欢语文又喜欢数学 核心要点 知识概述 植树问题就是有关间隔的问题，如生活中上楼梯、锯木头、敲钟等问题 都可看作植树问题来解决。 植树问题 1.两端都栽：棵数=间隔数+1=路长÷间隔距离+1 2.两端都不栽：棵数=间隔数-1=路长÷间隔距离-1 3.一端栽另一端不栽或封闭线路上植树：棵数=间隔数=路长÷间隔距离 解决鸡兔同笼问题，一般采用假设法。假设全是鸡或全是兔，然后根据 鸡兔同笼 出现的腿数差可推算出鸡或兔的只数，也可以用列表、画图、方程等方 问题 法求解。 质量相等的物体可以相互代换，渗透的就是等量代换的数学思想。解题 等量代换 时可将某个条件用其他相等的条件进行代换，等量代换应用的是等式性 质的传递性，即如果A=B,B=C,那么A=C。 1,合理安排时间：合理安排各个环节，在同一时间内多做事，可使所需 最优方案 时间最少。如淘茶问题、烙饼问題、打电话问题等。 2.设计对阵方案：如田忌赛马中，优一中，中一差，差一优 在找次品时，应把物体分成尽可能相等的三份，不能平均分的，也应该 找次品 使最多的一份与最少的一份相差1。如将8个物品分成3份、3份、2份， 将16个物体分成5份、5份、6份。 鸽巢原理（一）：把m个物体任意放进n个“鸽巢”中(2n≥m>n,m, n是非零自然数)，总有1个“鸽巢”中至少放进了2个物体。 鸽巢问题 鸽巢原理（二）：把多于km个物体任意放进n个“鸽巢”中（≥2，k、 n是非零自然数)，总有1个“鸽巢”中至少放进了(k+1)个物体。 物体数÷鸽巢数=商…余数，至少放进物体数=商+1。 45/45