江苏省马坝高级中学2024-2025学年高三上学期第一次质量测试数学试题

试卷第 1页，共 3页 马坝高中2025 届高三第一次质量测试 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．命题 1x  ， 2 1x m  的否定是 （ ） A． 1x  ， 2 1x m  B． 1x  ， 2 1x m  C． 1x  ， 2 1x m  D． 1x  ， 2 1x m  2．已知集合 A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若 A∩B＝B，则实数 a的取值范围是（ ） A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2 3．若不等式 2 2 0ax bx   的解集为 2 1x x   ，则二次函数 22 4y bx x a   在区间  0,3 上的最大值、最小值分别为 （ ） A．-1，-7 B．0，-8 C．1，-1 D．1，-7 4．设△ABC的三边分别为 a，b，c，若 a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径 为 （ ） A． 3 3 B． 5 5 C． 2 3 3 D．2 5．设△ABC的内角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c，其中 2, 3, 4 a b B    ，那么满 足条件的△ABC （ ） A．有一个解 B．有两个解 C．不能确定 D．无解 6．已知 lg 2 0.3010 ，由此可以推断 20142 是（ ）位整数. A． 605 B．606 C．607 D．608 7．已知 0  ，函数 ( ) 2sin 6 f x x       在 5, 2 6       上单调递减，则实数的取值范围 是 （ ） A． (0,1] B． 1 8, 2 5      C． 2 5, 3 6      D． 2 8, 3 5      试卷第 2页，共 3页 8．若函数 2 ( ) ln 2 xf x x  在 (0, )k 上不单调，则实数 k的取值范围是 （ ） A．[1, ) B． (1, ) C．(0,1) D． (0,1] 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．若 0ab  ，则下列各式中，一定成立的是 （ ） A．  lg lg lgab a b  B． lg lg lga a b b  C． 21 lg lg 2 a a b b       D．    26 1lg lg 3 ab ab 10．命题“ 2[1, 2], 0x x a    ”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ） A． 4a  B． 4a  C． 5a  D． 6a  11．已知函数   tan πf x x ，将函数  y f x 的图象向左平移 1 3 个单位长度，然后纵坐 标不变，横坐标伸长为原来的 2倍，得到函数  g x 的图象，则下列描述中正确的是（ ）． A．函数  g x 的图象关于点 2 ,0 3      成中心对称 B．函数  g x 的最小正周期为 2 C．函数  g x 的单调增区间为 5 1, 3 3 k k       ， k Z D．函数  g x 的图象没有对称轴 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若正数 x， y满足 2x y xy  ，则 2x y 的最小值为 . 13．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 1 2 sinB sinC  ，c2﹣b2＝2ab，则 cosA＝ . 14．已知过点 (0, )a 可作三条直线与曲线 3 2( ) 1 3 xf x x   相切，则实数 a的取值范围 为 ． 试卷第 3页，共 3页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算： 5 2 3log 3 9 3 32 15log 4 log 5 . 9 64           （2）计算：     1 2 3 42 3 40 2 31 36 0.9 3 1.5 2 4 8                     ； 16．（15 分）在锐角△ABC中，角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，已知 3b  ， sin sin 2 3A a B  . （1）求角A的大小； （2）求△ABC周长的取值范围. 17．（15分）已知函数 e( ) ln 2 x f x m x x x    ，mR . (1)若曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线与直线 2y x 相互垂直，求m的值； (2)若 2m  ，求函数 ( )f x 的极值. 高三数学试题 第 4页（共 1页） 18．（17分）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮 转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成， 每两个叶片之间的夹角均为 2π 3 ，现有一座风机，叶片旋转轴离地面 100米，叶片长 40 米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每 5秒旋转一圈．风机叶片端点 P从离地面 最低位置开始，转动 t秒后离地面的距离为 h米，在转动一周的过程中，h关于 t的函 数解析式为    sinh t A t B    （ 0A  ， 0  ， π ）． (1)求函数  h t 的解析式； (2)当风机叶片端点 P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点 P离地面的 高度不低于 80米的时长． 19．（17分）已知函数   exf x ax  . (1)若 2x  是  f x 的极值点，求 a的值； (2)若函数  f x 有两个零点 1 2,x x . ①求实数 a的取值范围； ②证明： 1 2 2x x  . 答案第 1页，共 5页 参考答案和评分标准 1．A 2．D 3．D 4．A 5．A 6．C【解析】令 20142 t ，两边取对数后求得 lg t，由此可得 20142 的整数位. 【详解】解：∵ lg 2 0.3010 ，令 20142 t ， ∴ 2014 lg 2 lg t  ，则 lg 2014 0.3010 606.214t    ，∴ 20142 是607位整数. 7．D【分析】利用整体的思想，求出 5, 2 66 6 6 x             ，使得  5 3, 2 , 2 2 6 6 6 2 2 k k k Z                        ，即可求解. 【详解】当 5, 2 6 x       时， 5, 2 66 6 6 x             .因为函数 ( ) 2sin 6 f x x       在 5, 2 6       上单调递减，所以   2 , 2 6 2 , 5 3 2 6 6 2 k k Z k                   解得  2 8 124 3 5 5 k k k Z     ， 又 0  ，所以 0k  ，故 2 8 . 3 5   8．B【分析】求导，利用导数判断 ( )f x 的单调性，结合题意可知1 (0, )k ，即可得结果. 【详解】因为 ( )f x 的定义域为  0,  ，且 21 1( ) xf x x x x     ，令 ( ) 0f x  ，解得 1x  ； 令 ( ) 0f x  ，解得0 1x  ；可知 ( )f x 在  0,1 内单调递减，在  1, 内单调递增，若函数 ( )f x 在 (0, )k 上不单调，即1 (0, )k ，可得 1k  ，所以实数 k的取值范围是 (1, ) . 9．CD 10．ACD 11．ABD【详解】将函数  y f x 的图象向左平移 1 3 个单位长度可得函数 πtan(π ) 3 y x  ， 然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍，得到函数   π πtan( ) 2 3 xg x   ， 令 π π π , Z 2 3 2 kx k   解得 2 , Z 3 x k k    ，当 0k  时 2 3 x   ，所以函数  g x 的图象关于点 2 ,0 3      成中心对称，A正确；函数  g x 的最小正周期为 π 2π 2 T   ，B正确； 令 π π π ππ π, Z 2 2 3 2 k x k k       解得 5 12 2 , Z 3 3 k x k k      ，所以函数  g x 的单调增区 间为 5 12 , 2 3 3 k k       ， k Z ，C错误；正切函数不是轴对称图形，D正确， 12．8 13． 11 16 【详解】由 1 2 sinB sinC  得 1 2 b c  ，得 c＝2b，∵c2﹣b2＝2ab，∴4b2﹣b2＝2ab， 答案第 2页，共 5页 即 3b2＝2ab，则 a 3 2  b，则 cosA 2 2 2 2 2 2 9 114 114 4 2 2 2 4 16 b b bb c a bc b b         ， 14． 4(1, ) 3 【详解】 2( ) 2f x x x  ，设点 1 1( , ( ))x f x 为曲线 ( )y f x 的切点， 则切线方程为 2 1 1 1 1( ) ( 2 )( )y f x x x x x    ，整理得 2 3 2 1 1 1 1 2( 2 ) 1 3 y x x x x x     ， 将点 (0, )a 代入可得 3 21 1 2 1 3 a x x    ．令 3 2 2( ) 1 3 g x x x    ，则 2( ) 2 2 2 (1 )g x x x x x      ， 当 0x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减；当0 1x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增；当 1x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减．又 (0) 1g  ， 4(1) 3 g  ，当 41 3 a  时，方程 ( )g x a 有 3 个不同的实数根，即当 41 3 a  时，有 3个不同的 1x 满足方程 3 2 1 1 2 1 3 a x x    ， 即过点 (0, )a 可作三条直线与曲线 3 2( ) 1 3 xf x x   相切．故答案为： 4(1, ) 3 . 15．【详解】  1 原式 2 2 2 5 3 3 33 5log 2 log 2 log 9 3 64      2 3 35log 2 5log 2 2 3 4      21  ---------------------------------------6 分  2 解：原式   1 2 32 2 3 40 4325 27 30.9 2 4 8 2                             2 3 23 25 2 21 2 3 3                    = 3 4 4 2 2 9 9     7 2 .--------------------------7 分 16．【详解】（1）∵ sin sin sin a b c A B C   ， ∴ sin sina B b A ， ∴ sin sin sin sin 2 3A a B A b A    ，-----------------2 分 即 4sin 2 3A  解得 3sin 2 A  ------------------------4 分 ∵ ABCV 为锐角三角形，所以 3 A  .-----------------6 分 （2）正弦定理可得： sin sin sin a b c A B C   可得 3 3 2 sin a B  ， 3sin sin Cc B  ---------------7 分 3 3 23 3 3sin3sin 2 323 3 3 sin sin BC a c B B             ， 答案第 3页，共 5页 ∴ 3 3 3 13 cos sin 2 2 2 3 sin B B a b c B           21 2cos 13 3 1 cos 9 3 3 9 3 3 1 92 2 sin 2 2 2 2 22sin cos tan 2 2 2 B B B B BB             .-----------10分 又∵ ABCV 为锐角三角形， 0 2 20 3 2 B B            ∴ 6 2 B       ， ，∴ 2 12 4 B       ， ，---------12分 ∵ tan tan 3 13 4tan tan 2 3 12 3 4 1 31 tan tan 3 4                     ， ∴  tan 2 312 B   ，，∴   1 1 2 3 tan 2 B  ， ，-----------------------------14分 ∴周长的取值范围 9 3 3 9 3 3 2        ， --------------------------15分 17．【详解】（1）函数 e( ) ln 2 x f x m x x x    ，求导得 2 (e( ) 21) x m x xf x x     ，-----2分 则 (1) 2f m    ，---------------4 分 依题意， ( 2) 2 1m     ，所以 5 2 m  .---------6 分 （2）当 2m  时，函数 e( ) 2ln 2 x f x x x x    的定义域为 (0, ) ，--------7 分 求导得 2 2 e 2 (e( 1) 2 )( 1)( ) 2 x x f x x x x x x x      ，-----------------9 分 当0 1x  时， ( ) 0f x  ，当 1x  时， ( ) 0f x  ，--------------11分 因此函数 ( )f x 在(0,1)上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，--------13分 所以函数 ( )f x 在 1x  处取得极小值 e 2 ，无极大值.----------15分 18．【详解】（1）由题意，得风机的角速度 2π 5   每秒，当 0t  时 60h  ．-------2 分 140, 60, sin 60, A B A B A B         解得 40, 100, π . 2 A B            --------------------------------8 分（解出一个参数 2分） 答案第 4页，共 5页 2π π( ) 40sin 100(0 5) 5 2 h t t t          ．----------------------------9 分 （2）令 ( ) 80h t  ，则 2π π( ) 40sin 100 80 5 2 h t t        ，--------11分 即 2π 1cos 5 2 t  ， π 2π 5π 3 5 3 t   ，解得 5 25 6 6 t  ，-------------13分 25 5 10 6 6 3    ．----------------------------------15分 当风机叶片端点 P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点 P离地面的高度不低于 80米的时长为 10 3 秒．--------17分 19．【详解】（1）   exf x a   ，---------------1 分 当 2x  时  2 0f   即 2e 0a  解得 2ea  ----------3 分 检验：当    2 2e , e e ,xa f x f x   在  , 2 递减；  f x 在  2,  递增 则 2x  是极小值点成立，所以 2ea  .--------------4 分 （2）由题意得函数  f x 的零点即方程 ex ax 的实根， ①（i）当 0x  时不成立.----------------5 分 （ii）当 0x  时 e x a x  ，令      2 2 e 1e e e, xx x x xxg x g x x x x      ，---------7 分  g x 的减区间      ,0 , 0,1 , g x 增区间 씘 ᭽∞ . 当  ,0x   时. ⸲.当 ⸲씘 ᭽ ∞ 时  min( ) 1 eg x g  ，--------9 分 若   e 0xf x ax   有两个零点.即 e x a x  有两个实根 1 2,x x ， 则 a的取值范围 ea  .-------------10 分 ②方法一：        1 2 1 2, 0,1 1,g x g x a x x      ，--------------------11分 令        1 1 12 , 0,1H x g x g x x    ， 于是        1 1 12 0,1H X g x g x x      ，----------------------13分         1 12 1 1 22 1 1 e 1 e 1 2 x xx x H x x x              1 1 2 2 2 1 1 1 1 22 1 1 e 1 2 e 1 2 x xx x x x x x       答案第 5页，共 5页       1 1 2 12 2 22 1 1 2 1 22 1 1 2 e 1 e 1 2 x x xx x x x x             ， 令    1 2e , 0,1x xx x x     ，则   0x  ，     1 1 2 2 2 2 2 ee 1 2 2 0 x xx x x x x x                 ， 则  x 在 ⸲씘 单调递减，所以  1 1  ，            12 2 2 1 1 1 22 1 1 e 1 1 1, 0 2 x x x x x H x x x           ，----------------15分 则  H x 在 ⸲씘 单调递减，        1 11 0 2H x H g x g x    又因为        1 2 2 1, 2g x g x g x g x    ，     2 1 1 21, 2 2g x x x x x     又因为 在 单调递增， ---------17 分 方法二：        1 2 1 2, 0,1 1,g x g x a x x      ，----------------11分 令        1 1 12 , 0,1H x g x g x x          1 12 1 22 1 1 e e1 2 x x H x x x x           ，-----------13分 令       2 2 4 4 e 2e e e 2 0 xx x x x xx xx x x x x         ，  x 在 ⸲씘h 单调递减，又因为 1 20 1 2 2x x     ，所以    1 12x x   ， 即   1 12 22 1 1 e e 0 2 x x x x     ，    0,H x H x  在 ⸲씘 单调递减，        1 11 0, 2H x H g x g x    ， 又因为        1 2 2 1, 2g x g x g x g x    ，-----------------------15分 又因为  g x 在 씘 ᭽ ∞ 单调递增， 所以 2 12x x  所以 1 2 2x x  .---------------17分 好分数官网：www.haofenshu.com ▣▣ 早识 下载APP查 关注成绩通知 马坝高中2025届高三第一次质量测试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场： 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座 号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂， 修改时用橡皮擦干净。 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 贴条形码区 4. 必须在题号对应的答题区域内作答， 超出答题区域书写无效。 5. 保持答卷清洁完整。 正确填涂 ■缺考标记 口 一.选择题(40分) 1[A][B][C][D] ■ 2[A][B][C][D] ■ 3[A][B][c][D] ■ 4[A][B][C][D] ■ 5[AJ[B][C][D] ■ 6[A][B][C][D] 7 [A]CB][c][D] 8[A][B][C][D] ■■■■ ■ 二选择题(18分) 9[A][B][c][D] 10[A][B][c][D] 11 [A][B][c][D] ■■■■ 三填空题(15分) 12 13 14 ▣口 ■ ID:3319128 ⑧Network Error 四解答题 15(13分) 第1页共2页 16(15分) 17(15分) 回 ▣ ■▣ ID:3319128 ⑧Network Error 18(17分)》 第2页共2页 19(17分)