正弦定理和余弦定理专题讲义-2025届高三数学一轮复习

正弦定理和余弦定理专题讲义-高考数学一轮复习专题 【高频考点】+【典型例题】+【跟踪训练】 目录导航 第一部分：高频考点 第二部分：典型例题 第三部分：跟踪训练 【第一部分】 高频考点 考点:1：余弦定理： 推论： 考点2：正弦定理： .（其中为外接圆的半径） 【第二部分】 典型例题 例题1．已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值； (3)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边a的长 答案．(1)； (2) (3)5 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及倍角公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案； （2）根据三角函数图象的平移可得的表达式，确定角的范围，即可求得答案； （3）结合（1）求出角A，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求得答案. 【详解】（1）由， 得， 故函数的最小正周期为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为； （2）由题意得， 因为，所以， 故； （3）由于，故，则， 而，故； 由若的面积为，得，则， 又，故， 故. 例题2．在三角形ABC中，的对边分别为，且满足__________． 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题． (1)求； (2)若三角形ABC的面积为为的中点，求的最小值． 答案．(1)任选一条件，都有 (2) 【分析】（1）选①，由正弦定理角化边结合余弦定理，即可求得答案；选②，利用三角函数诱导公式求出，结合角的范围即可求得答案； （2）利用三角形面积可求出，再将平方后结合基本不等式，即可求得答案；另外，也可利用的面积以及在中利用余弦定理求解. 【详解】（1）选择条件①，， 则， 由正弦定理可得，即， 所以，由，所以． 选择条件②，， 即，所以， 由，则， 所以，则． （2）由，解得． 又， 所以 所以，当且仅当时等式成立， 所以的最小值是． 另解：因为为中点， 所以，得， 在中，由余弦定理得 所以，当且仅当时等式成立， 所以的最小值是． 【第三部分】 跟踪训练 一、单选题 1．已知在中， 角的对边分别为，若的面积为， 且， 则（    ） A． B． C． D． 2．已知在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 4．如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 5．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 6．锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则是钝角三角形 D．（为外接圆的半径） 10．记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（    ） A．8 B． C．9 D． 11．在中，内角所对的边分别为，已知，，则c可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 13．的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为 . 14．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为 ． 四、解答题 15．的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，求. 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求C； (2)若的面积为，求c． 17．已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A D D C B ABD AB 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】利用三角形的面积公式得到，再利用余弦定理结合已知求解即可． 【详解】∵的面积 ∴，而， 又由余弦定理得： 即，解得：， 故选：A． 2．D 【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由，且，可得， 由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 故选：D. 3．C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 4．A 【分析】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 5．D 【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，分类讨论得到区域的形状，进而求得其面积. 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 6．D 【分析】由已知可得，，进而可求得，设边上的高长为，进而可得，可求解. 【详解】因为且为锐角三角形，可得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，又， 所以，解得， 由正弦定理可得，所认， 设边上的高长为，所以， . 故选：D. 7．C 【分析】由三角恒等变换化简可得A，再由及三角形面积公式得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为0，所以， 所以， 由，得， 所以． 故选：C． 8．B 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合重要不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 9．ABD 【分析】根据正弦定理可判断A，由三角形内角和及诱导公式可判断B，由余弦定理可判断C，根据面积公式及正弦定理可判断D. 【详解】由正弦定理，可得，故A正确； ，故B正确； 因为，只能说明C为锐角，不一定是钝角三角形，故C错误； 由正弦定理得，（为外接圆的半径），所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 10．AB 【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解． 【详解】由正弦定理得，得，则， 由，得，所以， 由余弦定理，得或17， 所以或， 所以的周长为8或， 故选：AB． 11．ABC 【分析】利用正弦定理、正弦的和角公式先判定，再利用三角换元设，根据余弦定理及三角恒等变换得出，利用正弦函数的性质求值域即可. 【详解】由已知及正弦定理可得， 即， 易知，所以，故， 由，可得． 设，， 则 ，其中，， 因为，所以， 又， 所以，可得，则． 故选：ABC． 12． 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 13． 【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得，即可利用面积可得有根，即可利用判别式求解. 【详解】由可得， 即， 由于，故， 由于，故，因此，故， ， 的面积为，故， 由于，， 故， 将代入可得， 化简得， 将其代入，且可得， 则，解得，或，（舍去） 故最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由可得有实数根，利用判别式求解. 14． 【分析】利用余弦定理进行化简，再结合二次函数求最值即可. 【详解】，故， 即，代入得：， 故 ， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为： 15．(1). (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解； （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理可得 所以， 又 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）解法一：如图，由题意得，， 所以，即， 又，所以， 所以，即， 所以. 解法二：如图，中，因为， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 16．(1) (2)2 【分析】（1）先由和余弦定理求得角,再由和正弦定理求得角； （2）由三角形面积公式求得，再由正弦定理得到，联立两方程，计算即得. 【详解】（1）由和余弦定理可得，，因，故； 又由和正弦定理得，， 即,即得，， 整理得，，因,故； （2）因的面积为，即① 由正弦定理，② 将②式代入①式，整理得，，解得. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. （2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$