专题2 直线的方程常考题型归纳训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题2 直线的方程常考题型归纳 1、 直线的倾斜角与斜率 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 二、直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 三、两条直线的位置关系 位置关系 ； ； 相交 垂直 平行 且 重合 且 注意：（1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 四、距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 5、 对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 题型1 直线的倾斜角与斜率 1．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，直线，，的斜率分别为，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）     A． B． C． D． 3．直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 题型2 斜率的范围与三点共线问题 5．若直线过定点，且与以为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 8．已知三点共线，则实数m的值为 ． 9．若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为 A．1 B． C． D． 题型3 直线的平行与垂直 10．设为实数，若直线垂直于直线，则（    ） A．0或-3 B．0 C．-3 D．3 11．（多选）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 12．（多选）已知直线，则（    ） A．在轴上的截距为2 B． C．的交点坐标为 D．之间的距离为 13．已知集合、，若，则 ． 题型4 求直线的方程 14．（多选）直线过点且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，则该直线方程（    ） A． B． C． D． 15．过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 . 16．已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； (3)边AC的垂直平分线的方程. 17．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 18．（1）经过点,且与直线垂直的直线方程及其截距. （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线及斜率． 题型5 直线过定点问题 19．若直线恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．无论实数λ取何值，直线恒过定点 . 21．要使直线不通过第二象限，则的取值范围是 ． 22．已知直线. (1)若直线的斜率，求实数的取值范围；(2)证明：对任意实数，直线都经过一个确定的点. 题型6 直线围成三角形问题 23．直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 24．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．5 25．已知直线，若直线不能围成三角形，求的实数的值 ． 26．(1)已知直线过点，在轴、轴上的截距互为相反数，求出直线的方程？ (2)直线过点，求直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值？ 题型7 距离公式的应用 27．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 28．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 29．已知直线，． (1)若，求实数的值； (2)若，求之间的距离． 30．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程. 31．已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 33．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 . 35．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 题型8四类对称问题 36．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 37．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 38．已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 . 39．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 40．已知直线l：，点． (1)若点P到直线l的距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程； (2)当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程． 专题2 直线的方程常考题型归纳参考答案 题型1 直线的倾斜角与斜率 1．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 答案 C 【分析】由已知直线斜率可以求得，再根据二倍角公式可以求得. 【详解】由直线可知，，，则. 2．如图所示，直线，，的斜率分别为，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）     A． B． C． D． 答案C 解析：由，结合的函数图像，直线对应的倾斜角为钝角， 则 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则，故. 3．直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析：因为两点横坐标不同，故倾斜角不为， 由题意得， 因为，所以. 4．若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 答案A 解析：由题意知，，解得：. 题型2 斜率的范围与三点共线问题 5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 答案D 解析：直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 6．已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案D 解析：由斜率公式可得，得， 当介于之间时，直线斜率的取值范围为，当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，所以直线的斜率的取值范围为， 7． 已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 答案 解析：   由已知，直线：，∴直线过定点，且斜率为， 由已知，直线的斜率，直线的斜率， ∵直线与线段相交，∴直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 8．已知三点共线，则实数m的值为 ． 答案0 解析：由三点共线可得，即，解得. 9．若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为 A．1 B． C． D． 答案C 解析：试题分析：因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C． 题型3 直线的平行与垂直 10．设为实数，若直线垂直于直线，则（    ） A．0或-3 B．0 C．-3 D．3 答案C 解析：因为直线垂直于直线， 所以，解得或. 当时，直线为，不符合题意，舍去. 当时，直线为，直线为，符合； 综上所述：. 11．（多选）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 答案ABD 解析：对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 12．（多选）已知直线，则（    ） A．在轴上的截距为2 B． C．的交点坐标为 D．之间的距离为 答案BC 解析：令 ，易得在轴上的截距为，A错误． 由，得，B正确． 由得所以的交点坐标为，C正确． 易得，则之间的距离为，D错误． 13． 已知集合、，若，则 ． 答案1 解析：依题知两直线平行，则，解得，经验证时，两直线不重合，所以. 题型4 求直线的方程 14．（多选）直线过点且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，则该直线方程（    ） A． B． C． D． 答案ABC 解析：当直线经过原点时，斜率为，要求的直线方程为，即． 当直线不经过原点时，设要求的直线方程为，再把点代入可得，或， 求得或，故要求的直线方程为或． 15．过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 . 答案和 解析：当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 16．已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； (3)边AC的垂直平分线的方程. 答案(1) (2) (3) 解析：（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为-2， 所以边上高所在直线的方程为：，即. （3）由（2）得的垂直平分线的斜率为-2，由（1）得的垂直平分线过点， 所以的垂直平分线的方程为：，即. 17．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 答案B 解析：方法一  ∵直线的一个方向向量为，∴， ∴直线的方程为，即． 方法二  由题意知直线的一个方向向量为， ∴直线的方程可设为，将点代入得， 故所求直线的方程为． 18．（1）经过点,且与直线垂直的直线方程及其截距. （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率． 答案： （1）（2） ；（3） ． 解析：（1）由条件设所求直线方程为  因为所求直线过点 所以,即  所以所求直线方程为 令，得y=-1.5；令，得x=3,所以在x和y轴上的截距分别为3和－1.5． （2）依题意可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，故所求直线的方程为． （3）依题意可设所求直线的方程为．令，得；令，得． 依题意可得， 解得． 题型5 直线过定点问题 19．若直线恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 答案A 解析：由，可得， 令，得，且，所以直线恒过定点． 20．无论实数λ取何值，直线恒过定点 . 答案 解析：将直线方程化为，进而分析求解. 【详解】由，可得， 令，解得， 所以直线恒过定点. 21．要使直线不通过第二象限，则的取值范围是 ． 答案 解析：由，得， 即，联立，解得，直线经过定点，经过第一象限； ①当时，直线不经过第二象限；②当时，直线方程化为：， 要使直线不经过第二象限，由于,则，解得：． 综上，要使直线不经过第二象限，则． 22．已知直线. (1)若直线的斜率，求实数的取值范围；(2)证明：对任意实数，直线都经过一个确定的点. 答案(1)(2)证明见解析 解析：（1）因为，由题知，所以，所以， 又因为，所以， 即，即，由，得到或，由， 得到或，所以或. （2）由，变形得到，令，得到，所以，不论取何值，恒过定点，结论成立. 题型6 直线围成三角形问题 23．直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 答案 解析： ，即直线所过定点为. 由题设直线方程为：，其中，则,. 由基本不等式，，面积的最小值为4， 当且仅当，即时取等号. 则三角形AOB面积最小时直线方程为 24．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．5 答案CD 解析：由题意可得直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，所以. 25．已知直线，若直线不能围成三角形，求实数的值 ． 答案 解析：由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得；当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得.故的值为. 26．(1)已知直线过点，在轴、轴上的截距互为相反数，求出直线的方程．？ (2)直线过点，求直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值？ 答案 (1)或 (2)4 解析：（1）当直线过原点时,直线的方程为：，当直线不过原点时，设直线的方程为：， 直线过点，则，此时的方程为：， 故的方程：或. （2）直线过点，则，当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立，直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为，所以面积的最小值为4。 题型7 距离公式的应用 27．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 答案C 解析：若，在直线的同侧，则，解得．若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．故选：C 28．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 答案C 解析：∵直线与直线平行，∴，解得， ∴直线，又∵直线可化为， ∴两平行线之间的距离． 29．已知直线，． (1)若，求实数的值； (2)若，求之间的距离． 答案(1)或； (2). 解析：（1）由，则，即， 所以，可得或. （2）由，则，可得，故或， 当，则，，此时满足平行，且之间的距离为； 当，则，，此时两线重合，舍； 综上，时之间的距离为. 30．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程. 答案 (1) (2)或 解析：（1）由两点式方程可得，，化简得. （2）可设直线m的方程为，由题意得，解得或， 故直线m的方程为或. 31．已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 答案D 解析：设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为，故选：D 32．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 答案B 解析：直线， 即，由解得，所以直线过定点， 所以的最大值为. 33．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 答案D 解析：找出点关于轴的对称点，连接， 与轴的交于点，连接，此时为最短， 由与关于轴对称，，所以，又， 则直线的方程为 化简得：，令，解得，所以故选：D． 34．若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 . 答案：. 解析：设，，中点由题可知， 所以，又，所以 即中点P的轨迹为直线.则P到原点的距离的最小值即为原点到直线的距离， 35． 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 答案 解析：， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ，所以的最大值为. 题型8四类对称问题 36．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 答案D 解析因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即.故选：D 37．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 答案A 解析：因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去），故所求直线方程为：.故选：A 38．已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 . 答案 解析 与不平行，故经过与的交点， 联立，解得，即在上， 取上另一点，设关于直线的对称点为， 则有，解得， 过两点和，故方程为，即 39．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 答案C 解析：直线的方程为，设点关于的对称点为， 则，得，即，点关于轴的对称点为，    由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，， 所以光线经过的路程. 40．已知直线l：，点． (1)若点P到直线l的距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程； (2)当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程． 答案 (1)， (2) 解析：（1）因为直线l：可得， 所以由解得，即直线过定点， 所以到直线l的距离， 此时，即，所以直线l的方程为，即. （2）时，直线l：，设关于直线l：的对称点， 则，解得，，即，又在反射直线上且反射直线过原点， 所以反射直线的斜率为，故反射直线的方程为，即. 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$