精品解析：人教版2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

八年级下册数学期中复习题（综合巩固1） 一．选择题（共10小题） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的性质，根据二次根式的加法以及二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 已知，化简（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 3. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由题意证明，即得出． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴． 由“赵爽弦图”得：，，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 4. 如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可. 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点P表示的数为． 故选：A． 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式， 先求出值，再根据x的取值范围开平方解答即可 【详解】解：， ， ， 故选：B 6. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A. 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长． 【详解】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169， 在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2． ∵AB＝A′B′， ∴A′O2＋OB′2＝169， ∴OB′＝=， ∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 7. 关于四边形ABCD： ①两组对边分别相等； ②一组对边平行且相等； ③一组对边平行且另一组对边相等； ④两条对角线相等．以上四种条件中， 可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）． A. ①②③④ B. ①③④ C. ①② D. ③④ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：此题①②，连接对角线，根据所给条件都可以通过证三角形全等得到内错角相等，从而得到两组对边分别平行，是平行四边形；而③④中，等腰梯形也具备③④所给条件，并不是平行四边形，所以①②可以判定四边形ABCD是平行四边形，故选C． 考点：平行四边形的判定． 8. 如图，在中，点E，点F分别是和中点，平分交于点D，若，则边的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解题的关键．先根据线段中点的定义得到；然后由三角形中位线的性质和角平分线的定义判定，；则，所以． 【详解】解：∵点E是的中点，， ∴． ∵点E，点F分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 10. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，cm， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵cm， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴cm， ∴， 解得， ∴的长为10cm时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 若，求的算术平方根________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解： ∵， ∴，即； 当时，， ＝（－6）2＝36． 所以的算术平方根为6． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键． 12. 要使得代数式有意义，那么的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若代数式有意义， 则有且， 解得且． 故答案为：且． 13. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 14. 如图，中，是中点，平分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．延长交于，证明，根据全等三角形的中线得到，，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可． 详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，平分，且，点P为边中点，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于E，由角平分线的性质得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，平分，， ∴， ∵，点P为边中点，， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的矩形相等是解题的关键． 16. 如图，在中，，分别以为直角边作等腰直角、，若，与的面积和为8，则的面积为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的性质等知识． 要求的面积，只要求的值，即的值，通过，与的面积和为8，利用完全平方公式即可求出，由此得解． 【详解】解：、是等腰直角三角形， ，， 与的面积和为8， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确应用公式进行计算． （1）先化简二次根式，再加减即可； （2）先运用乘法公式个除法进行计算，再加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 原式 ． 19. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm； （2）114（cm2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 解：连接AC，如图． 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm， ∴AC． 即A、C两点之间的距离为15cm； 【小问2详解】 解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD =AB•BCAC•CD =9×1215×8 ＝54+60 ＝114（cm2）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键． 20. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由角平分线可得，由平行线的性质可得，即可得，根据等角对等边即可得到； （）由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，再由勾股定理即可求出的长； 本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）在（1）的基础上，此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】（1）米 （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键． （1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴求男子需向右移动的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为秒， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 22. 如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接、、， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ． 23. 如图，E、F是对角线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解答的关键． （1）连接交于O，利用平行四边形的性质得到，，证得即可证得结论； （2）由勾股定理求得，根据菱形的判定证得四边形是菱形，则有，由勾股定理得，进而求得，利用求解即可． 【小问1详解】 证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 则， 解得， ∴， ∴． 24. 如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． （1）求证：． （2）判断的形状，并说明理由． （3）作的中点N，连结，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 25. 如图甲，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右边作正方形，解答下列问题: （1）如果，， ①当点D在线段上时(与点B不重合)，如图乙，线段、之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果，，点D在线段上运动，试探究，当满足一个什么条件时，（点C、F重合除外）？并说明理由． 【答案】（1）①垂直，相等；②见详解； （2）当时，； 【解析】 【分析】（1）①由四边形是正方形与，，易证得，然后由全等三角形的性质，可证得，继而求得，即； ②由四边形是正方形与，，易证得，然后由全等三角形的性质，可证得，继而求得，即； （2）当时，过点A作交或的延长线于点G，则，可推出，所以，由（1）①可知． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②当点D在的延长线上时，如下图所示，①的结论仍成立， 由正方形得：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 当时，；理由如下： 如图，过点A作的垂线与所在直线交于G， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，第2问过点A作交的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键；运用了类比的方法，利用三角形全等解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册数学期中复习题（综合巩固1） 一．选择题（共10小题） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，化简（　　） A. B. C. D. 3. 如图，是由四个全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 4. 如图数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A. 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 7. 关于四边形ABCD： ①两组对边分别相等； ②一组对边平行且相等； ③一组对边平行且另一组对边相等； ④两条对角线相等．以上四种条件中， 可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）． A. ①②③④ B. ①③④ C. ①② D. ③④ 8. 如图，在中，点E，点F分别是和的中点，平分交于点D，若，则边的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 二．填空题（共6小题） 11. 若，求的算术平方根________． 12. 要使得代数式有意义，那么的取值范围是______． 13. 如图，某自动感应门正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 14. 如图，中，是中点，平分，则________． 15. 如图，在四边形中，，平分，且，点P为边中点，，则的面积为_______． 16. 如图，在中，，分别以为直角边作等腰直角、，若，与的面积和为8，则的面积为 __________________． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1） （2） 18. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 19. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片面积． 20. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）在（1）的基础上，此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 22. 如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点，若，求的长度． 23. 如图，E、F是对角线上两点，且． （1）求证：四边形平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 24. 如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． （1）求证：． （2）判断的形状，并说明理由． （3）作的中点N，连结，若，求的长． 25. 如图甲，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右边作正方形，解答下列问题: （1）如果，， ①当点D在线段上时(与点B不重合)，如图乙，线段、之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果，，点D在线段上运动，试探究，当满足一个什么条件时，（点C、F重合除外）？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$