精品解析：海南省定安县定安中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

定安中学2023级高二年级第一学期开学考试数学学科试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 在中，已知，，，则等于（    ） A. B. C. 2 D. 1 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 11. 下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 在区间上单调递减 B. 最小正周期是 C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 13. 函数（且）的图像恒过定点______. 14. 已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定安中学2023级高二年级第一学期开学考试数学学科试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的商的运算法则可求得，进而可求得，可求. 【详解】，所以. 故选：. 2. 在中，已知，，，则等于（    ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求得. 【详解】由正弦定理，, 解得. 故选：A 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求出结果. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题：“”的否定是””， 故选：B. 4. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求出被到的研发人员人数和销售人员人数，从而可求得结果. 【详解】由题意可得被抽到的研发人员有人，销售人员有人， 则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多. 故选：A 5. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 6. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平均数和方差的公式计算即可． 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 则，， 所以的平均数是， 方差是 故选：A. 7. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为不等式恒成立，结合基本不等式求得，即可求解. 【详解】因为对任意，不等式， 即不等式恒成立， 因为，可得，当且仅当时，即等号成立， 所以，所以. 故选：D. 8. 函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式化为，再利用的单调性即可列不等式组求解. 【详解】因为，所以， 又函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以有，解得. 故选：C 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用换底公式，结合根式与分数指数幂的互化公式、指数幂的运算公式、指数式与对数式的互化公式逐一判断即可. 【详解】A：根据对数的换底公式，可知，所以本选项运算不正确； B：因为，所以本选项运算正确； C：因为，所以， 因此，所以本选项运算不正确； D：因为，所以本选项运算正确， 故选：BD 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 11. 下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 在区间上单调递减 B. 最小正周期是 C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】代入正切函数的结论求解判断A选项；由正切函数周期公式求解判断B，利用正切函数对称性判断C、D选项. 【详解】对于A，令，，解得， 当时，，所以在上单调递减， 又，故函数在区间上单调递减，正确； 对于B，最小正周期为，错误； 对于C，令得，，所以对称中心为，当时，是对称中心，正确； 对于D，函数不成轴对称，没有对称轴，错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，则， 若，则，解得. 故答案为：. 13. 函数（且）的图像恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可. 【详解】由，.此时. 故图像恒过定点. 故答案为： 【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题. 14. 已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积求出圆锥的高，根据勾股定理即可求得答案. 【详解】设圆锥的高为h，则由圆锥的底面半径为2，体积为， 可得， 故该圆锥的母线长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)； (2)分子分母同时除以cosθ，化弦为切﹒ 【小问1详解】 ，sinθ＝2cosθ，； 【小问2详解】 原式﹒ 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）设，则是中点，连接， 又∵是中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴， 平面，平面， ∴，同理， ，平面， ∴平面，而平面，故， ∴是二面角的平面角， 在直角中，，， ， ∴二面角的正切值为． 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）84 （3）总平均数为；总方差为 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】（1） 当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2） （3） 由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【解析】 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $