清单01 分式（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

清单01 分式（30个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【清单02】分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【清单03】分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【清单04】分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【清单05】分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 （1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． （2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． （3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【清单06】约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【清单07】通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【清单08】最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【清单09】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解， 再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【清单10】分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【清单11】分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 （1）注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． （3）注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【清单12】分式的化简求值 （1）先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （2）在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． （2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【清单13】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单14】分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单15】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单16】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【考点题型一】分式的有关概念 【例1】式子，，，，，中属于分式的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 【考点题型二】分式有、无意义的条件 【例2】使分式无意义的的取值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若分式有意义，则应满足的条件是 ． 【变式2-2】当x的取值满足 时，分式有意义 时，分式无意义 时，式子的值为0． 【考点题型三】分式的值为零的条件 【例3】（21-22九年级下·北京丰台·阶段练习）若分式的值为0，则x的取值为 ． 【变式3-1】若的值为零，则x的值为 ． 【变式3-2】（20-21九年级下·北京昌平·阶段练习）若分式的值为零，则的值为 ． 【考点题型四】求分式的值为正（负）数时未知数的值 【例4】（21-22八年级上·北京东城·期末）若分式的值为正数，则需满足的条件是（    ） A．为任意实数 B． C． D． 【变式4-1】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（22-23八年级·北京顺义·期末）已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【考点题型五】求分式的值为整数时未知数的值 【例5】若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【变式5-1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式的值为正整数，则整数x的值为 ． 【变式5-2】已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【考点题型六】分式求值 【例6】若，则 . 【变式6-1】（22-23八年级上·北京·期末）若，且，则的值是 ． 【变式6-2】（20-21八年级上·北京·期中）若5，则的值为 ． 【考点题型七】判断分式的变形是否正确 【例7】（18-19八年级·北京西城·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】求分式变形成立的条件 【例8】若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 【变式8-2】成立的条件是 ． 【变式9-1】下列各式中，与分式的值相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【考点题型十】约分 【例10】（23-24八年级上·北京昌平·期中）化简： ． 【变式10-1】（22-23八年级上·北京·阶段练习）约分： ， ． 【变式10-2】（22-23八年级上·北京昌平·期中）约分： ， ． 【考点题型十一】将分式的分子分母化为整数 【例11】（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（21-22八年级上·北京平谷·期中）把分式 的分子、分母中系数化为整数，则分式变为 【变式11-2】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：= ． 【考点题型十二】最简分式 【例12】下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 【变式12-2】下列各分式化简后与相等的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三】分式乘法 【例13】计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】化简：． 【变式13-2】化简：． 【考点题型十四】分式除法 【例14】化简： 【变式14-1】计算： ． 【变式14-2】化简的结果是 ． 【考点题型十五】分式乘除混合运算 【例15】（22-23八年级上·北京大兴·期末）计算：． 【变式15-1】（22-23八年级上·北京东城·期中）计算：． 【变式15-2】（20-21八年级上·北京海淀·阶段练习）计算： 【考点题型十六】分式乘方 【例16】计算： ． 【变式16-1】（19-20八年级上·北京西城·期中）计算： . 【变式16-2】（23-24八年级上·北京房山·期中）计算： ． 【考点题型十七】含乘方的分式乘除混合运算 【例17】（21-22八年级上·全国·课后作业）的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（22-23八年级上·北京房山·期中）计算：． 【变式17-2】（20-21八年级上·北京门头沟·期中）计算． 【考点题型十八】同分母分式加减法 【例18】（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算：． 【变式18-1】（23-24八年级上·北京顺义·期末）计算：． 【考点题型十九】最简公分母 【例19】分式和的最简公分母是 ． 【变式19-1】分式和的最简公分母为 ． 【变式19-2】（2122八年级上·北京·期中）分式的最简公分母为 . 【考点题型二十】通分 【例20】通分： (1)，； (2)，． 【变式20-1】通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【考点题型二十一】异分母分式加减法 【例21】（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【变式20-1】（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【考点题型二十二】整式与分式加减 【例22】化简： . 【变式22-1】（21-22八年级下·北京丰台·阶段练习）计算：． 【变式22-2】计算 ． 【考点题型二十三】分式加减混合运算 【例23】（23-24八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【变式23-1】（21-22八年级下·北京昌平·期末）分式运算： （1）；（2） 【考点题型二十四】分式混合运算 【例24】（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： ． 【变式24-1】（23-24八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【变式24-2】（23-24八年级上·北京通州·期末）计算：． 【考点题型二十五】分式化简求值 【例25】（21-22八年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式25-1】（2024·北京·三模）已知 ， 求代数式 的值． 【变式25-2】（23-24八年级上·北京·单元测试）若，则分式的值为 ． 【考点题型二十六】分式方程的概念 【例26】（21-22八年级上·北京昌平·期中）下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式26-1】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二十七】分式方程的解法 【例27】（23-24八年级上·北京·期末）解分式方程： 【变式27-1】（22-23八年级上·北京·期中）解分式方程： (1) (2) 【考点题型二十八】根据分式方程解的情况求值 【例28】关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【变式28-1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若分式方程的解是，则 ． 【变式28-2】（22-23八年级下·北京·期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【考点题型二十九】分式方程的无解问题 【例29】若关于x的分式方程有增根，则 ． 【变式29-1】如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 ． 【变式29-2】（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）若关于的分式方程无解．则的值为 ． 【考点题型三十】分式方程的实际应用 【例30】（21-22八年级下·北京海淀·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ． 【变式30-1】（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【变式30-2】京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【变式30-3】（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【变式30-4】（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【变式30-5】（23-24八年级上·北京·期中）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【变式30-6】（23-24八年级上·北京石景山·期中）列方程解应用问题 京源学校作为教育部国家级非物质文化遗产传承基地，一直致力于开发和实施京剧特色课程，学校组织初一、初二年级同学乘坐大巴车去国家大剧院观看京剧演出，国家大剧院距离学校千米．初一年级的车队出发分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，初二年级车队的平均速度是初一年级车队的平均速度的倍．问初一年级车队平均每小时行驶多少千米？ 【变式30-7】（23-24八年级上·北京昌平·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【变式30-8】（22-23八年级上·北京通州·期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 分式（30个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【清单02】分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【清单03】分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【清单04】分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【清单05】分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 （1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． （2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． （3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【清单06】约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【清单07】通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【清单08】最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【清单09】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解， 再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【清单10】分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【清单11】分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 （1）注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． （3）注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【清单12】分式的化简求值 （1）先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （2）在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． （2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【清单13】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单14】分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单15】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单16】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【考点题型一】分式的有关概念 【例1】式子，，，，，中属于分式的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】解∶式子，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故选：B． 【变式1-1】下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式，分母中含有字母的式子是分式，据此即可判断求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是多项式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-2】有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查分式的识别，根据形如，均为整式，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．注意不是字母． 【详解】解：①，是分式； ②，是分式； ③，不是分式； ④，是分式； 故答案为：①②④ 【考点题型二】分式有、无意义的条件 【例2】使分式无意义的的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义，分母等于0列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：x－1＝0， 解得：x＝1． 故选B． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义，即分母为零是解决问题的关键． 【变式2-1】若分式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】由分式的分母不能为0得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键． 【变式2-2】当x的取值满足 时，分式有意义 时，分式无意义 时，式子的值为0． 【答案】 ； ； ． 【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 由题意得：， 解得：， 由题意得：，且， 解得：； 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【考点题型三】分式的值为零的条件 【例3】（21-22九年级下·北京丰台·阶段练习）若分式的值为0，则x的取值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故答案为：0． 【变式3-1】若的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义和绝对值的意义，熟练掌握分式的意义是解题的关键． 根据题意先得出，再根据分式的意义即可得出答案． 【详解】解：若的值为零， 则且， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】（20-21九年级下·北京昌平·阶段练习）若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】由题意得：且 解得： 故答案为：2． 【考点题型四】求分式的值为正（负）数时未知数的值 【例4】（21-22八年级上·北京东城·期末）若分式的值为正数，则需满足的条件是（    ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵， ∴分式的值为正数时，， 解得：. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分式的值是正数的条件，是需要熟练掌握的内容．注意分式分母的值不能是0． 【变式4-1】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是熟练运用分式的性质，本题属于基础题型． 【变式4-2】（22-23八年级·北京顺义·期末）已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易得分母恒为正数，因为整个分式的值为负数，那么分子应为负数． 【详解】∵分式的值为负数， x2+1恒为正数， ∴1-2x＜0， ∴x＞． 故答案为x＞． 【点睛】考查了分式的值，本题用到的知识点为：非负数加1的结果恒为正数；分式为负，分式的分子和分母符号相反． 【考点题型五】求分式的值为整数时未知数的值 【例5】若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 【变式5-1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式的值为正整数，则整数x的值为 ． 【答案】3或7/7或3 【分析】分子为正整数5，若分式值为正整数，且x为整数，则等于1或5，从而问题可解． 【详解】解：的值为正整数， 或， 或， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了分式求值，根据题意得出等于1或5是解题的关键． 【变式5-2】已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【答案】的所有可能值为0，， 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是得出2是的倍数． 根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案． 【详解】解：． 由题意知或或或， ． 又， 舍去， 故的所有可能值为0，，． 【考点题型六】分式求值 【例6】若，则 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，将化为含有式子的形式，进行计算即可得，将代数式化为已知的形式，运用“整体思想”解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（22-23八年级上·北京·期末）若，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解∶，且， ， 原式． 故答案为∶． 【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-2】（20-21八年级上·北京·期中）若5，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】在两边同时乘以xy，得到x-y=5xy，再变形利用等量代换计算即可． 【详解】解：两边同时乘以xy， 得到x-y=5xy， 整理， 再将x-y=5xy代入得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查一个分式的变形以及等量代换的数学思想，解题的关键是通过等式的变形以及化简，利用等量代换巧解式子的值． 【考点题型七】判断分式的变形是否正确 【例7】（18-19八年级·北京西城·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式7-2】（23-24八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选C． 【考点题型八】求分式变形成立的条件 【例8】若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 【答案】B 【详解】∵, ∴2k=,∴k=(6x²y-3xy)=xy(2x-1).故选B. 【变式8-1】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）填空：在括号内填入适当的整式，使分式值不变： 【答案】a+b 【分析】观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同除以a． 【详解】解：根据分式的基本性质，则分式的分子变为 a（a+b）=a2+ab． 故答案为：a+b． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解此类题时，首先要观察已知的分子或分母的变化，再根据分式的基本性质进行求解． 【变式8-2】成立的条件是 ． 【答案】x≠1且x≠0 【详解】由题意,得x-1≠0,且x≠0, 解得,x≠1且x≠0. 故答案是:x≠1且x≠0. 【考点题型九】判断分式值的变化 【例9】（23-24八年级上·北京昌平·期中）将分式中的的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．不变 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质即可完成． 【详解】解： 当分式中的的值都扩大为原来的2倍时，分式的值不变． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式9-1】下列各式中，与分式的值相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质．把分式的分子、分母同时乘以即可得出结论． 【详解】解：把分式的分子、分母同时乘以得，． 故选：D． 【变式9-2】（23-24八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得， ∴新分式缩小到原来的， 故选C． 【考点题型十】约分 【例10】（23-24八年级上·北京昌平·期中）化简： ． 【答案】 【分析】分子分母因式分解后约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键． 【变式10-1】（22-23八年级上·北京·阶段练习）约分： ， ． 【答案】 【分析】根据分式的性质约分求解即可． 【详解】，． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 【变式10-2】（22-23八年级上·北京昌平·期中）约分： ， ． 【答案】 【分析】根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：， 【点睛】本题考查了约分，掌握分式的性质是解题的关键． 【考点题型十一】将分式的分子分母化为整数 【例11】（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 【变式11-1】（21-22八年级上·北京平谷·期中）把分式 的分子、分母中系数化为整数，则分式变为 【答案】 【分析】分式的分子分母都乘以10，可得答案； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 【变式11-2】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：= ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 【考点题型十二】最简分式 【例12】下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 【变式12-1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式． 根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简分式，所以A选项不符合题意； B．不是最简分式，所以B选项不符合题意； C．，是最简分式，所以C选项符合题意； D．不是最简分式，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式12-2】下列各分式化简后与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把每个选项中分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化简后即可求解． 【详解】解：A． 是最简二次根式，与不相等； B． 是最简二次根式，与不相等； C． 是最简二次根式，与不相等； D． ，与相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的约分化简，熟练掌握约分的方法是解题的关键． 【考点题型十三】分式乘法 【例13】计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先利用平方差公式展开，然后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 【变式13-1】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，提公因式法，因式分解，关键是掌握分式的乘法、提公因式法、因式分解的运用．先把分式的分子和分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式． 【变式13-2】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法． 先因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式． 【考点题型十四】分式除法 【例14】化简： 【答案】 【分析】本题考查分式除法，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键． 将每一个分式分子分母分解因式，把除法变成乘法，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【变式14-1】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子、分母的公因式．原式利用除法法则变形，再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式14-2】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点题型十五】分式乘除混合运算 【例15】（22-23八年级上·北京大兴·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题考查分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【变式15-1】（22-23八年级上·北京东城·期中）计算：． 【答案】2 【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式15-2】（20-21八年级上·北京海淀·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】将除法化为乘法并给各部分因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，一般是统一为乘法运算，对多项式进行因式分解后约分． 【考点题型十六】分式乘方 【例16】计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘方运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算，本题属于基础题型． 【变式16-1】（19-20八年级上·北京西城·期中）计算： . 【答案】 【分析】将分式的分子分母分别平方即可. 【详解】解： 故答案为. 【点睛】本题考查分式的乘方，掌握分式乘方的计算方法是关键. 【变式16-2】（23-24八年级上·北京房山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的计算．根据分式的乘方法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型十七】含乘方的分式乘除混合运算 【例17】（21-22八年级上·全国·课后作业）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】 = = = 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解． 【变式17-1】（22-23八年级上·北京房山·期中）计算：． 【答案】 【分析】原式先算乘方，再算乘除即可求出值． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式17-2】（20-21八年级上·北京门头沟·期中）计算． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键． 【考点题型十八】同分母分式加减法 【例18】（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：                ． 【变式18-1】（23-24八年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把原式变形为，再利用平方差公式把分子分解因式，再分子与分母约分即可得到答案， 【详解】解； 【考点题型十九】最简公分母 【例19】分式和的最简公分母是 ． 【答案】x（x-2） 【分析】将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母，据此解答． 【详解】解：第一分式的分母为x-2，第二个分式的分母分解因式为x（x-2）， ∴最简公分母是x（x-2）， 故答案为：x（x-2）． 【点睛】此题考查了分式的最简公分母，掌握分式最简公分母确定的方法是解题的关键． 【变式19-1】分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键． 【详解】解：分式，的最简公分母为， 故答案为：． 【变式19-2】（2122八年级上·北京·期中）分式的最简公分母为 . 【答案】 【分析】找出分式的分母，根据求最简公分母的方法，找出最简公分母即可. 【详解】分式的分母分别是：则它们的最简公分母是：，即. 故答案为 【点睛】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【考点题型二十】通分 【例20】通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了分式的通分， （1）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可； （2）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， （2）最简公分母是， ， 【变式20-1】通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 【考点题型二十一】异分母分式加减法 【例21】（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算法则，即可解题． 【详解】解：原式 ． 【变式20-1】（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先通分，再合并同类项计算，即可解答； （2）先根据平方差展开，再通分计算，最后约分，即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【考点题型二十二】整式与分式加减 【例22】化简： . 【答案】 【分析】利用分式的通分原则计算即可 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练进行分式的通分是解题的关键． 【变式22-1】（21-22八年级下·北京丰台·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，再进行加减计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式22-2】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点题型二十三】分式加减混合运算 【例23】（23-24八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【分析】先通分，再计算，最后约分进行计算即可得． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 【变式23-1】（21-22八年级下·北京昌平·期末）分式运算： （1）；（2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先通分，再化简； （2）先对x2-4分解因式，再通分化简． 【详解】(1)原式== (2)原式= = = = 【点睛】此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键 【考点题型二十四】分式混合运算 【例24】（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确理解运算顺序是关键． 首先计算括号内的式子，把除法转化成乘法，然后进行约分即可求解． 【详解】解： = = = 【变式24-1】（23-24八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则，先算括号，再算除法运算即可； 【详解】解：原式 ． 【变式24-2】（23-24八年级上·北京通州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ． 【考点题型二十五】分式化简求值 【例25】（21-22八年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．先根据分式的混合运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式25-1】（2024·北京·三模）已知 ， 求代数式 的值． 【答案】1 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ． ， ． 原式． 【变式25-2】（23-24八年级上·北京·单元测试）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及分式混合运算，由恒等变形得到，代入分式，化简求值即可得到答案，熟练掌握由已知等式的值求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，则， ， 故答案为：． 【考点题型二十六】分式方程的概念 【例26】（21-22八年级上·北京昌平·期中）下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【变式26-1】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：A、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意； B、方程分母中不含有未知数x，不是分式方程，故本选项符合题意； C、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意； D、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【考点题型二十七】分式方程的解法 【例27】（23-24八年级上·北京·期末）解分式方程： 【答案】方程无解 【分析】本题考查解分式方程，两边同乘，化分式方程为整式方程，求解即可，注意检验． 【详解】解： 左右同乘， ， 解得：， 检验时，， ∴原方程无解． 【变式27-1】（22-23八年级上·北京·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键． （1）方程两边同时乘上后移项、合并，最后检验即可． （2）将原式的项化为同分母，分子移项合并，最后检验即可． 【详解】（1）解：原方程化为． 方程两边同时乘上得：． 移项，合并，得：． 检验：将代入， 是原方程的解． （2）解：， 两边乘最简公分母得：， 展开得：． 合并同类项得：， 解得． 经检验，时，． 原分式方程无解． 【考点题型二十八】根据分式方程解的情况求值 【例28】关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得 解得： 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故答案为∶且 【变式28-1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若分式方程的解是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式28-2】（22-23八年级下·北京·期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于，列出不等式，进而即可求解． 【详解】解： 两边同时乘以，得 解得：， ∵分式方程的解小于， ∴，且 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【考点题型二十九】分式方程的无解问题 【例29】若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解分式方程 ，利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． 先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：，整理得：， ∵关于x的分式方程有增根，即， ∴， 把代入到中得：， 解得：； 故答案为：3． 【变式29-1】如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该分式方程无解， 若，方程无解； 若，， ， 故答案为：或． 【变式29-2】（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）若关于的分式方程无解．则的值为 ． 【答案】1 【分析】解分式方程得，由分式方程无解可得，从而可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 关于的分式方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题、解分式方程，分式方程无解有两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根． 【考点题型三十】分式方程的实际应用 【例30】（21-22八年级下·北京海淀·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】根据两种连环画单价间的关系，可得出每套《三国演义》连环画的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式30-1】（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【答案】该商场每千克红枣粽进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找出相等关系是解题的关键． 设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的重千克，列分式方程求解即可； 【详解】解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 该商场每千克红枣粽进价是元； 答：该商场每千克红枣粽进价是元． 【变式30-2】京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元 【分析】本题考查了分式方程的应用： （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天； （2）解：工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由： 设两队合作y天完成，根据题意得： ， 解得：， 此时元元， 所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 【变式30-3】（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 【变式30-4】（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【答案】(1)1300；； (2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 【变式30-5】（23-24八年级上·北京·期中）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元 (2)共有3种购买方案，购买12个型充电桩、8个型充电桩，所需购买总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键． （1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用=型单价 型数量+型单价 型数量，列出不等式，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ，且为整数， ，11，12， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买10个型充电桩、10个型充电桩； 方案二：购买11个型充电桩、9个型充电桩； 方案三：购买12个型充电桩、8个型充电桩； ∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价， ∴购买方案三总费用最少，最少费用（万元）， 答：共有3种购买方案，购买12个型充电桩、8个型充电桩，所需购买总费用最少． 【变式30-6】（23-24八年级上·北京石景山·期中）列方程解应用问题 京源学校作为教育部国家级非物质文化遗产传承基地，一直致力于开发和实施京剧特色课程，学校组织初一、初二年级同学乘坐大巴车去国家大剧院观看京剧演出，国家大剧院距离学校千米．初一年级的车队出发分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，初二年级车队的平均速度是初一年级车队的平均速度的倍．问初一年级车队平均每小时行驶多少千米？ 【答案】初一年级车队平均每小时行驶千米 【分析】设初一年级车队平均每小时行驶千米，则初二年级车队平均每小时行驶千米，根据题意“初一年级的车队出发分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达”列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设初一年级车队平均每小时行驶千米，则初二年级车队平均每小时行驶千米，根据题意得， 解得： 经检验，是方程的解； 答：初一年级车队平均每小时行驶千米． 【变式30-7】（23-24八年级上·北京昌平·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆10万元 【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， 答： 型汽车的进价为每辆10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． 【变式30-8】（22-23八年级上·北京通州·期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】(1)新能源车的每千米行驶费用为元， (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$