精品解析：山东省青岛市城阳区实验高级中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试卷

青岛实验高中2023级数学期初检测 一､单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 2. 已知向量的夹角为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 又因为，向量的夹角为， 所以，即，解得. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】， ， 且， 故选：D. 4. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若不垂直于，则必不垂直于 C. 若,，则 D. 若是异面直线，，则 【答案】D 【解析】 【分析】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【详解】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 5. 已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 6. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量， 则向量在向量上的投影向量是 . 故选：A. 7. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 在区间上的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，由函数图象平移变换可求得函数，结合余弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】，沿轴向左平移个单位， 得． 对于A，当，单调递减，所以选项A错误； 对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误； 对于C，是偶函数．所以选项C错误； 对于D，当，则，所以D正确， 综上可知，正确的为D. 故选：D． 【点睛】本题考查了辅助角公式化简三角函数式的应用，三角函数平移变换及余弦函数图象与性质的应用，属于基础题. 8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解 【详解】设为斜边上的高，则圆的半径， 设为斜边的中点，，则， 因为，， 则 ，故当时， 的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件A与事件是互斥事件 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：样本空间， 则，可得， 对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确； 对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误； 对于选项C：由选项B可知，则， 可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于选项D：因为， 所以事件与事件不是对立事件，故D错误； 故选：AC. 10. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数的模为5； B. 复数，则在复平面上的点在第四象限 C. 复数是纯虚数，则或 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接求复数的模判断；对于B，先求出再判断；对于C，由实部为零虚部不为零求解；对于D，利用复数的几何意义求解 【详解】解：对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，由，得，则在复平面上的点在第四象限，所以B正确； 对于C，因为复数是纯虚数，所以，解得，所以C错误； 对于D，由，可知在复平面上表示的点在单位圆上，表示在复平面上单位圆上的点到点的距离，所以的最大值为，所以D正确， 故选：ABD 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】不妨设正方体的棱长为1，对于A：可证平面∥平面，进而可知，即可得结果；对于B：分析可知直线与所成角为，且，分析的长度即可；对于C：分析可知∥平面，根据平行的定值结合锥体体积公式分析判断；对于D：分析可知平面与正方体的截面为四边形，求长度即可得面积. 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 对于选项A：取的中点，连接， 由题意可知：∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 又因为分别为的中点，则∥，可得∥， 且平面，平面，可得∥平面， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为∥，且，可得∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 由，平面，可得平面∥平面， 若∥平面，可知平面， 且侧面，侧面平面，可知， 所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确； 对于选项B：因为点的运动轨迹为线段， 则直线与所成角为， 因为侧面，侧面，则， 在中，， 又因为，则有： 当为线段的中点时，取到最小值； 当为线段的端点时，取到最大值； 则，即，可知，故B错误； 对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面， 则∥平面， 且，可知点到平面的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥， 由选项A可知：∥，则∥， 所以平面与正方体的截面为四边形， 由题意可知：， 则等腰梯形的高， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面∥平面，结合面面平行的性质分析点的运动轨迹，进而逐项分析求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，16，17，20，22，24， ，所以分位数为22. 故答案为：. 13. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为． 考点：正四棱柱外接球表面积． 14. 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________. 【答案】 ①. 米 ②. 平方米. 【解析】 【分析】由题可得，结合条件及面积公式可得，再利用三角恒等变换及正弦函数的性质即得. 【详解】在中，，AP=60米， ∴（米）， 在中，可得， 由题可知， ∴的面积为： ， 又，， ∴当，即时，的面积有最大值平方米， 即三角形绿地的最大面积是平方米. 故答案为：米；平方米. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. （1）求角的大小； （2）若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得，然后利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角； （2）利用余弦定理结合已知条件可求得，再由为角的角平分线，可得，利用三角形面积公式化简可求出的长. 【小问1详解】 解：，，且， ， 由正弦定理得， ， ，， 在三角形中，， ，， ∵，. 【小问2详解】 解：，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得 . 16. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； （3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 【答案】（1）人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可； （2）利用平均数公式求解即可； （3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可. 【小问1详解】 成绩在的人数为（人）， 成绩在的人数为（人）， 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人， 成绩低于50分的人数为（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人； 【小问2详解】 由，得， 则平均数， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分； 【小问3详解】 根据频率分布直方图可知： 的频率为，的频率为， 所以入围复赛的成绩一定在， 可知入围复赛的成绩的临界值为， 则，解得， 故估计入围复赛的成绩为分. 17. 如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1） 在四棱锥中，连接AC， 在中，由M、N为对应边上的中点，即MN为中位线，得， 又平面，平面，所以平面. （2） 在四边形中，，，则，由，得， 而，则，于是， 由，得，又平面平面，平面平面， 平面，于是直线平面，又平面，则， 又，平面，所以CD⊥平面． 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据线面平行的判定推理得证. （2）由条件结合面面垂直的性质可得，，再利用线面垂直的判定推理得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点. （1）若为的中点，求三棱锥的体积； （2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）存在，AB的中点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得点与点到平面的距离之比为，再由锥体的体积公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由二面角的定义可得是面与面所成锐二面角的平面角，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为， 故. 【小问2详解】 存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG， 则EG为面AEC与面PMD的交线. 易得， 在三角形中，，所以，所以平面EAC， 即存在点，且当为AB中点时，平面. 【小问3详解】 过点P作，因为， 所以，面面， 因为面，所以，又，， 所以面， 又因为，所以面，，， 所以是面与面所成锐二面角的平面角， 因为是等腰直角三角形，所以. 19. 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出； （2）由已知可得，两边平方，结合余弦定理可得，则面积可求； （3）令，利用正弦定理将表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可求得最值. 【小问1详解】 因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴． 【小问2详解】 因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. 【小问3详解】 设，当DC与外接圆（设圆心为O）相切时， 此时， 故， 所以. 又， 所以， 所以， 所以，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为， 所以 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为. 【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛实验高中2023级数学期初检测 一､单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量的夹角为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若不垂直于，则必不垂直于 C. 若,，则 D. 若是异面直线，，则 5. 已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 在区间上的值域为 8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件A与事件是互斥事件 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件 10. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数的模为5； B. 复数，则在复平面上的点在第四象限 C. 复数是纯虚数，则或 D. 若，则的最大值为 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为____________. 13. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 14. 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. （1）求角的大小； （2）若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 16. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； （3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 17. 如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点. （1）若为的中点，求三棱锥的体积； （2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $