精品解析：广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题

南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试 数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再判断命题否定的真假，即可得到正确答案. 【详解】当时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题； 当时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题. 故选：B. 3. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】由得， 两式相减得，，所以，则. 故选：A. 4. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可得；B项由频率计算可得；C项分别求出平均数、中位数比较可知；D项由极差定义可得. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：， A项， 组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； B项，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； C项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是 ， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； D项，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是， 故极差小于等于，但不一定等于50，故D错误. 故选：D. 5. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 6. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 7. 已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱台上底面边长为，利用等腰梯形性质，结合侧棱长为，侧面积为建立关于的方程，求解可得上、下底面边长，由此结合正三角形性质可得进而可得，在中可得. 【详解】设中心为，中心为O， 如图，连接，由正棱台的性质可知，，平面， 平面，则， 在直角梯形中，过作，垂足为，则， 则四边形为平行四边形，且平面. 所以即为所求与平面ABC所成角. 在等腰梯形中过作，垂足为， 设，则，则， 在中，， 由正三棱台侧面积为，可知梯形的面积为， 故，解得，则， 在四边形中，， 则， 则在中，. 故侧棱与平面所成角的余弦值为.   故选：A. 8. 设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得为的中点，，设，，将B，C代入化简可求出，再代入，即可求出. 【详解】因为A，B，C在直线上，且， 所以为的中点，又因为， 所以，设，， 又因为B，C均在上，即， 所以，化简可得：， 因为，所以， 所以. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与的值域相同 C. 与有相同的零点 D. 与的最小正周期相同 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意分别画出两函数图象，可求得它们的对称轴、值域、零点、最小正周期等，即可得出结论. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 易知的对称轴为，值域为，零点为，最小正周期为； 易知，其图象如下图所示： 易知的对称轴为，即，值域为，零点为，最小正周期为； 因此可得与的图象有相同的对称轴，它们的最小正周期相同. 故选：AD 10. 已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ） A. B. C. 以AF为直径的圆与y轴相切 D. l上存在点E，使得为等边三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得直线经过抛物线焦点，设，联立直线与抛物线，可得的值，从而求解焦点弦，即可判断A；根据抛物线的定义过作，垂足为，从而可得的关系，即可判断B；结合抛物线的定义以及直线与圆的位置关系，即可判断C；根据抛物线的定义结合正三角形的几何性质，即可判断D. . 【详解】易知，准线的方程为，则直线经过焦点. 设， 由整理得，则， 根据抛物线的定义可知，，故A错误； 如图，过作，垂足为， 则，又， 所以，所以，故B正确； 以为直径的圆的半径为， 易知四边形为直角梯形，其中位线长为， 所以为直径的圆与相切，故C正确； 当为等边三角形时，， 由抛物线的定义可知，所以，这与为等边三角形矛盾， 所以上不存在点，使得为等边三角形，故D错误. 故选：BC. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 恒有两个单调性相同的区间 C. 当有三个零点时，可取得的整数有2个 D. 点为曲线的对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导将代入可知是的极大值点，可判断A错误，根据导函数特征可判断B正确，利用三次函数性质可知当有三个零点时需满足，解不等式可得C正确，利用函数对称中心的定义可证明D正确. 【详解】由可得其定义域为，且， 对于A，当时，， 令，解得或； 当时，，此时在上单调递增， 当或时，，此时在和上单调递减， 因此可得是的极大值点，即A错误； 对于B，由且可得，在和上单调性始终相同，即B正确； 对于C，由选项B可知，分别在和处取得极值， 由三次函数性质可得当有三个零点时，需满足， 又，即可得， 解得，所以可取得的整数有和0，共2个，即C正确； 对于D，假设点为曲线的对称中心，则应满足； 易知 ， 而， 所以，因此点为曲线的对称中心，即D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：求解三次函数对称中心的方法： （1）定义法：由函数对称中心定义可知当函数满足时，函数关于成中心对称； （2）平移法：将函数通过平移变换成奇函数，再利用奇函数图象性质得出对称中心； （3）导数法：对函数进行二次求导，其二阶导函数的零点即为函数对称中心的横坐标. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，，且，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先利用求得的值，再利用递推公式可求. 【详解】当得，又，得，解得. 则， 所以. 故答案为：1. 13. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得，再由两角差的正弦公式可得，代入结合两角和的正弦公式即可得出答案. 【详解】由可得：，所以， 则， 因为， 所以 . 故答案为：. 14. 在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有______种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有______种不同涂法. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用分步计数原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情况分类计算即可. 【详解】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种， 故共有种涂法. ②先涂，共有， 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 故共有涂法种， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及二倍角的正弦公式化简即可得解； （2）由正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，即可由三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由，可得, 由可知，可得，故. 【小问2详解】 由可得, 因为，所以， 由可得， 故 ， 又，可得, 所以. 16. 已知函数，曲线在处的切线为直线l. （1）求直线l的方程； （2）求函数在闭区间上的最值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出，后可求切线方程； （2）求出函数的导数，讨论其符号可得函数的单调性，从而可得函数的最值. 【小问1详解】 ，故，而， 故曲线在处的切线方程为. 故切线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得时，；时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，而. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面. （1）证明：⊥平面； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直. （2）由体积求出线段长，建立空间直角坐标系，找到两个面的一个法向量，由法向量求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 如图，取中点，连接与交于点， ，∴， ∵，，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵平面⊥平面且平面平面，平面， ∴平面 又∵且， ∴， ∴AD⊥平面 【小问2详解】 ∵，为正方形中心，故， ∴， 又∵平面⊥平面且平面平面，平面， ∴平面 ， ∴ 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，∴，∴ 则 由1）可知是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则即 设则，即是平面的一个法向量， 设二面角为，则， ∴ 18. 我省某市为吸引游客，推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点. （1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望； （2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率. 【答案】（1）答案见解析；. （2） 【解析】 【分析】（1）根据分布列的概念列出分布列，并求数学期望. （2）利用条件概率的计算公式进行计算. 【小问1详解】 由题意，的值可能为：0，1，2，3. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为：. 【小问2详解】 设“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，并抽中”为事件； 设“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中”为事件， 则. 表示：①三个抽奖机中选取自然风光类、历史文化类，其中自然风光类中奖； ②三个抽奖机中选取自然风光类、特色体验类，中奖； ③三个抽奖机中选取历史文化类、特色体验类，其中特色体验类中奖. 所以， 所以. 19. 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点. （1）求椭圆C的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明. 【答案】（1） （2）证明：由（1）及题意可知 设，当直线斜率为0时关于轴对称， 所以斜率与的斜率之商为.不合题意. 设方程为， 因为不过顶点所以. 由得. 则 . 所以， 则 . 所以， 则直线方程为，即经过点. 因为与轴交于点，所以. 所以数列是以为公比的等比数列. （3）证明：由（2）可知，，且， 所以是递减数列，则， 顶点到直线距离为 ，当时取等号； 故. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标即可得，再利用离心率公式即可； （2）首先讨论直线斜率为0的情况，再设设方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算并化简，最后整体代入韦达定理即可； （3）根据（2）中结论得，再利用其单调性得，最后利用点到直线的距离公式即可. 【小问1详解】 由椭圆经过点得，故. 则，所以椭圆离心率为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法并联立椭圆方程得到韦达定理式，最后整体代入化简斜率比值式，从而得到，最后即可证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试 数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 5. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与的值域相同 C. 与有相同的零点 D. 与的最小正周期相同 10. 已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ） A. B. C. 以AF为直径的圆与y轴相切 D. l上存在点E，使得为等边三角形 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 恒有两个单调性相同的区间 C. 当有三个零点时，可取得的整数有2个 D. 点为曲线的对称中心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，，且，则______. 13. 已知，，则______. 14. 在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有______种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有______种不同涂法. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，且，求的面积. 16. 已知函数，曲线在处的切线为直线l. （1）求直线l的方程； （2）求函数在闭区间上的最值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面. （1）证明：⊥平面； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值. 18. 我省某市为吸引游客，推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点. （1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望； （2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率. 19. 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点. （1）求椭圆C的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $