精品解析：广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试题

惠州市惠阳区丰湖高级中学 2023-2024学年第二学期高二第二次段考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. ［1，4] 【答案】C 【解析】 【分析】本题先解不等式求出集合A、B，再结合补集和交集的定义即可求解. 【详解】因为集合或， ， 所以， 故 故选：C. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 3. 设数列的前项和为，若，则（ ） A. 65 B. 127 C. 129 D. 255 【答案】B 【解析】 【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案. 【详解】时，，则. 时，， ， 是2为首项，2为公比的等比数列，， 故选：B. 4. 如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A. 108 B. 96 C. 72 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理可得答案. 【详解】完成这件事情需要四步：第一步，地块有4种选择； 第二步，地块有3种选择；第三步，地块有2种选择；第四步，地块有2种选择； 共有种. 故选：D 5. 设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式可求得，再根据二项分布的概率求解即可 【详解】因为，故，故 故选：B 6. 已知直线与直线则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两直线平行的充要条件，即可判断求解. 【详解】由，可得，解得或1， 当时，，即，此时与重合不合题意， 当时，，，符合题意， 所以是的充要条件. 故选：B. 7. 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.16 C. 0.68 D. 0.17 【答案】C 【解析】 【分析】运用概率乘法公式求解即可. 【详解】设表示第次打击后该构件没有受损，， 则由已知可得，， 所以由乘法公式可得，即该构件通过质检的概率是0.68. 故选：C. 8. 的展开式中常数项为（ ） A. 544 B. 559 C. 495 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 二、多选题 9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：利用捆绑法分析；B：利用插空法分析；C：先考虑人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D：先选人与甲乙捆绑在一起，然后再看成个元素全排列. 【详解】对于A：将名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有种，故A正确； 对于B：将名男生放入到名女生形成的个空位中，所以排法有种，故B错误； 对于C：名男生和名女生全排列，排法有种， 其中甲在乙的左边的排法占总数的，所以有种排法，故C正确； 对于D：先选人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余人全排列， 所以有排法种，故D正确； 故选：ACD. 10. 某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据古典概型，对立事件，条件概率的计算公式逐一计算每个选项进行判断. 【详解】由题意可得，，故A错误， ，故B错误， ，， ，故C正确， ，故D正确． 故选：CD 11. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. ， B. 直线的斜率为1时， C. 的最小值为6 D. 以为直径的圆与的准线相切 【答案】AD 【解析】 【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，, ,，从而可判断A；根据可判断BC；设线段的中点为，求出点到准线的距离,即可判断D. 【详解】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为, 将直线方程与抛物线方程联立可得， 因为，所以，, 所以, ，故A正确； , 当时,有最小值4，故C错误； 当直线的斜率为1时，则，故，故B错误； 设线段的中点为，则, 所以点到准线的距离为, 所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确. 故选:AD. 三、填空题 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据点P处的切线与直线平行，由求解. 【详解】因为曲线， 所以， 设， 因为点P处的切线与直线平行， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或 13. 已知，则__________. 【答案】-63 【解析】 【分析】通过赋值法可得结果. 【详解】令，则，即 令，则，. 故答案为：-63 14. 的内角的对边分别为，，则__________；若，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦定理将条件转化为边的关系，利用余弦定理求角；结合正弦定理，内角和定理将表示为的函数，结合正弦函数的性质求其范围. 【详解】因为， 所以； 由正弦定理得， 所以，又， 所以， ， 由正弦定理可得，（为的外接圆的半径）， 由正弦定理得， 所以 ， 由已知，所以，则， 所以， 故答案为：；. 四、解答题 15. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 【答案】（1） （2）甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率. （2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率. 【小问1详解】 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 【小问2详解】 若取到的是次品， 此次品由甲车间生产的概率为： 此次品由乙车间生产的概率为： 此次品由丙车间生产的概率为： 16. 甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 【答案】（1） （2） 的分布列为 【解析】 【分析】（1）依题意可知前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【小问1详解】 乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率． 【小问2详解】 由题意，的可能取值为、、， 所以； ； ． 所以的分布列为 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，，是中点，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：设，则， 由题意得， ，， 是菱形，  ∵平面平面 ，平面平面， ∴平面 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，由余弦定理可知，再根据勾股定理可证，由题意易知，又平面平面 ，再根据面面垂直的性质定理即可证明结果； （2）根据题意建立空间直角坐标系，再利用空间向量的坐标运算公式求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略； （2）由（1）得，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，设，则 设是平面的一个法向量， 则 ，∴ 令，则， 设是平面的一个法向量， 则，∴， 令，则， ∴ 又二面角为钝二面角， ∴二面角的余弦值. 【点睛】本题主要考查了面面垂直性质定理的应用，同时考查了空间向量在求二面角中的应用，属于基础题. 18. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 【答案】（1） 0 1 2 ，数学期望： （2） 0 1 2 ，数学期望： （3） 因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即，第（1）不中奖的概率比第问小，即， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽. 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可； （2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可. 【小问1详解】 若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即， 所以的所有可能取值为，则 ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问2详解】 若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数， （1）若，的极大值是，求a的值； （2）若，在上存在唯一零点，求b的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值. 【详解】（1）若，则 的定义域为，． 若，，在定义域内单调递增，无极大值； 若，，单调递增；，单调递减． 时，取得极大值， ． （2）若，则， 令，得， 当时，有唯一解，即， 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 又因为有且只有1个零点，所以． 即． 因为，，整理可得故． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于(1)中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2023-2024学年第二学期高二第二次段考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. ［1，4] 2. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 设数列的前项和为，若，则（ ） A. 65 B. 127 C. 129 D. 255 4. 如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A. 108 B. 96 C. 72 D. 48 5. 设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.16 C. 0.68 D. 0.17 8. 的展开式中常数项为（ ） A. 544 B. 559 C. 495 D. 79 二、多选题 9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种 10. 某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. ， B. 直线的斜率为1时， C. 的最小值为6 D. 以为直径的圆与的准线相切 三、填空题 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________. 13. 已知，则__________. 14. 的内角的对边分别为，，则__________；若，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 16. 甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，，是中点，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 19. 已知函数， （1）若，的极大值是，求a的值； （2）若，在上存在唯一零点，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $