湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练11

长郡中学2025届高三数学复习 小题精练（11） 一、单选题 1．已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设为正项等比数列的前n项积，若的公比，则（   ） A． B．32 C． D．512 3．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 4．已知点是△ABC的重心，点是线段的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．4 6．已知，且，则（   ） A．-1 B． C． D． 7．如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 10．中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的图象关于原点对称 B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D．曲线C上有且仅有3个点P满足 11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 三、填空题 12．已知直线与曲线相切，则 ． 13．宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为 m.（，，结果取整数） 14．已知数列，令为，，…，中的最大值，则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”.例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为 . 1．A 【分析】先求出复数，再进行判断即可. 【详解】由题意：， 所以复数对应的点的坐标为：，在第一象限. 故选：A 2．D 【分析】运用等比数列下标性质计算即可. 【详解】正项等比数列，，则，则， . 故选：D. 3．B 【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小， 相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1， 即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强， 故A、C、D错误，B正确. 故选：B. 4．C 【分析】根据向量的线性运算化简，求得，进而求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：C 5．C 【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得的值，从而求得右焦点到直线的距离即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，解得，所以双曲线的右焦点坐标为， 所以的右焦点到直线的距离为. 故选：C. 6．D 【分析】根据题意可得，，再利用正切两角和公式求得，再结合，从而结合正切两角差公式即可求解. 【详解】由题意得，则， 又因为，所以，同号， 又因为， 则，同正， 所以，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7．A 【分析】根据题意，先求平面与交点的位置，再设长方体的长、宽、高分别为，最后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接， 易知，所以平面与交点为.    设长方体的长、宽、高分别为，则. 平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为 . 故选：A. 8．D 【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点中心对称；通过求导判断导函数为正得在上单调递增；再利用对称性将进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得. 【详解】因为， 所以， 所以，即的图像关于点中心对称． （当且仅当时等号成立）． 因为，所以，所以在上单调递增． 由，得． 由可得，即， 所以，解得． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据函数式判断出函数图象的中心对称特点，利用导数判断函数的单调性；此外，还得会利用对称性将不等式进行简化. 9．BC 【分析】根据分组求和，利用等差数列、等比数列求和公式用、、、表示出，再结合，由系数对应相等分别求出、、、，选出答案. 【详解】当时，，不合题意； 当时，， ，，，，，， 所以， 故选：BC． 10．AC 【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断；令，，得的范围可判断；由曲线的方程可得，根据可判断；由题意得，设，结合题意计算可判断. 【详解】对于选项A： 化简得到：， 将代入可得， 所以曲线. 把代入得， 所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确； 对于选项B：令解得，即：曲线经过， 结合图象，得. 今，得， 令，得， 因此，结合图象曲线只能经过3个整点. 故B错误； 对于选项C：可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离， 即：都不超过3，故C正确； 对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则， 设，则， ， 故只有原点满足，故D错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法： 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系. （1）求谁设谁，设所求点的坐标为； （2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等； （3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入； （4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值； （5）代入方程，消去参数值. 11．ABD 【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假. 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象， 又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则， 又为的导函数，所以，即，则， 又为奇函数，所以，即， 由上得，故，故， 即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于， 故，即，故4是的一个周期， 又，即，所以为周期为4的周期函数， 因为，令可得，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是上的奇函数，故，结合得， ， 故，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：（1）若函数为奇函数，则，两边求导，可得，所以为偶函数.即奇函数的导函数为偶函数； （2）若函数为偶函数，则，两边求导，可得，所以为奇函数.即偶函数的导函数为奇函数. 12． 【分析】利用导数的几何意义以及切线过点求切线的斜率. 【详解】设直线（）与函数相切，切点为：， 因为，所以切线斜率为：. 所以切线方程为：. 由切线过点，得： 所以，解得：或. 所以（舍去）或. 故答案为： 13．44 【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果. 【详解】因为，，， 所以， 所以，所以， 因为， 所以， ， 在中，由正弦定理得， ， 所以 所以， 故答案为：44. 14．50 【分析】根据新定义，利用分类加法计数原理和排列求出满足条件的数列的个数． 【详解】当由1，5构成时，则，为的一个排列， 故满足条件的数列有个； 当由2，5构成时，则，为的一个排列， 或，为的一个排列， 故满足条件的数列有个； 当由3，5构成时，则，为的一个排列， 且数字4排在5的后面， 故满足条件的数列有个； 当由4，5构成时，则，为的一个排列， 故满足条件的数列有个. 由分类加法计数原理可得满足条件的数列共有50个. 故答案为：50. 学科网（北京）股份有限公司 $$