专题03与圆有关的轨迹问题（四种技巧精讲精练+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

专题03与圆有关的轨迹问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直接法求轨迹问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围是 . 【例1-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23高二上·四川成都·阶段练习）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【变式1-3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程． 题型02定义法求轨迹问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23高二上·浙江湖州·期中）已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【例2-3】．（24-25高二上·全国·随堂练习）长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）动点到点的距离为5，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22高二·全国·课后作业）经过圆外一点，作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（20-21高二上·山东泰安·阶段练习）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是 题型03几何法求轨迹问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·天津南开·期中）点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【例3-2】．（24-25高二上·全国·课后作业）平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【例3-3】（23-24高二上·江苏南京）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【变式演练】 【变式3-1】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【变式3-3】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 题型04相关点法求轨迹问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动． （1）线段的中点M的轨迹方程 ； （2）已知点为（1）所求轨迹上任意一点，则的最大值为 ． 【例4-3】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23高二上·广东东莞·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 ． 【变式4-3】（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知线段的端点，端点在圆上运动. (1)求直线被圆所截得的弦长； (2)点在线段上，且，求点的轨迹方程. 一、单选题 1．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·广东东莞·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 5．（23-24高二上·辽宁·期中）已知圆的半径为2，圆心在直线上.点.若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）若平面内两定点、的距离为4，动点满足，若点不在直线上，则三角形PAB的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为2 B．两圆外离 C．若分别为两圆上的点，则两点间的最大距离为 D．若为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知为定点，且，下列条件中能满足动点的轨迹为圆的有（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 三、填空题 12．（23-24高二上·北京·期中）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为 . 13．（23-24高二上·河南·期中）设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是 ． 14．（22-23高二上·全国·课后作业）已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知点和圆． (1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程． 16．（23-24高二上·广东·期末）已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 17．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 18．（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 19．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得. (1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03与圆有关的轨迹问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直接法求轨迹问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 【例1-2】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据条件利用直接法求得点的轨迹为一个圆，然后通过圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可. 【详解】解：设， 由可得， 化简得， 即点在以原点为圆心，2为半径的圆上. 又直线上存在点， 故直线与圆有公共点，因为圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 故答案为： 【例1-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程． 【答案】（且） 【分析】设，求出，则，化简后再去掉个别点即可. 【详解】设点的坐标为， 为等腰三角形，且为顶点，． 又， ， ． 又点不能与点重合，也不能使，，三点共线． 且， 点的轨迹方程为（且） 【变式演练】 【变式1-1】（22-23高二上·四川成都·阶段练习）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 【变式1-2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 【变式1-3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，根据数量积的坐标公式计算即可. 【详解】设，则， 由， 得，即， 所以动点的轨迹方程为． 题型02定义法求轨迹问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23高二上·浙江湖州·期中）已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线长定理可知，点到圆的圆心距离为定值，计算即可. 【详解】因为圆，所以圆心，半径，由勾股定理得，所以，所以的轨迹为以为圆心为半径的圆，所以的轨迹方程是. 故选：A 【例2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为（去掉，两点）， 故选：C. 【例2-3】．（24-25高二上·全国·随堂练习）长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】因为M是AB的中点，所以，所以M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得答案. 【详解】当（或）中有一个在原点处时，则. 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形. 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 【变式演练】 【变式2-1】（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）动点到点的距离为5，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的定义及标准方程即得. 【详解】由圆的定义及圆的标准方程可知动点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2-2】（21-22高二·全国·课后作业）经过圆外一点，作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的性质可知四边形为正方形，则可得到，结合两点间距离公式可得所求的关系式. 【详解】由圆的方程可知：圆心，半径， 设过的圆的两条切线与圆分别相切于点 ，，，， 四边形为正方形，，， 故选：D. 【变式2-3】（20-21高二上·山东泰安·阶段练习）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是 【答案】（去掉两点） 【分析】由题设给定的条件可得长，再由圆的定义即可得点C的轨迹，列式即得. 【详解】设，由题意知，， 因是以为底边的等腰三角形，于是有，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 又点构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B及点B关于点A对称的点， 所以点的轨迹方程为(去掉两点). 故答案为：(去掉两点) 题型03几何法求轨迹问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·天津南开·期中）点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D.    【例3-2】．（24-25高二上·全国·课后作业）平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，设，由向量垂直列出等式即可得出方程，再根据M在圆O的内部，联立两圆方程即可求得范围 【详解】连接，设点， ∵M是弦的中点，∴， 又∵，， ∴，即， 联立，解得或， 又∵M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是， 故答案为：． 【例3-3】（23-24高二上·江苏南京）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据圆的切线性质，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直径所对圆周角为直角的性质、互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可. 【详解】（1）设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. （2）设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解. 【变式演练】 【变式3-1】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出动直线恒过定点，依题意可得在以为直径的圆上，求出圆心，半径，再求出，即可求出的取值范围. 【详解】直线，即， 令，解得，所以动直线恒过定点， 坐标原点在动直线上的投影为点， 故，所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径， 又，所以， 即的取值范围是. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 【变式3-3】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 题型04相关点法求轨迹问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关点法求得点的轨迹方程，进而求得面积. 【详解】设线段的中点，， 则，即， 又因为端点在圆上运动，所以， 即， 整理得：， 所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆. 所以该圆的面积为. 故选：C. 【例4-2】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动． （1）线段的中点M的轨迹方程 ； （2）已知点为（1）所求轨迹上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）设点，用，示然后代入圆的方程即可； （2）根据点中的关系，代入消去，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】设点，有 则由已知可得，即， 代入得， 整理得， 即线段的中点M的轨迹方程为； 因为点为（1）所求轨迹上任意一点，则，且， 所以， 即的最大值为. 故答案为：；. 【例4-3】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆 【变式演练】 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程． 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 【变式4-2】（22-23高二上·广东东莞·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程，整理即可得到的轨迹方程. 【详解】设，，则由已知可得. 又是线段的中点，所以有，所以， 所以有，整理可得. 所以的轨迹方程是. 故答案为：. 【变式4-3】（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知线段的端点，端点在圆上运动. (1)求直线被圆所截得的弦长； (2)点在线段上，且，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长； （2）设点、，由题意可得出，利用平面向量的坐标运算可得出，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）解：圆心为，圆的半径为，圆心到直线的距离为， 因此，直线被圆所截得的弦长为. （2）解；设点、， 由题意可得，即，可得， 因为点在圆上，所以，，即， 化简可得， 故点的轨迹方程为. 一、单选题 1．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出等式并化简即可. 【详解】由题可知, 所以, 化简得, 故选：C, 2．（21-22高二上·广东东莞·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点在圆上运动，可得中点的轨迹方程． 【详解】设线段的中点坐标为，点坐标为． ∵的坐标是， ∴，， ∵端点在圆上运动， ∴， ∴，， ∴线段的中点的轨迹方程是． 故选：B． 3．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 5．（23-24高二上·辽宁·期中）已知圆的半径为2，圆心在直线上.点.若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心，表示出圆，设，依题意可得，将问题转化为两圆有交点求出参数的取值范围. 【详解】依题意设圆心，则圆：， 设，则，， 由，则，即， 依题意即圆与圆有交点，则，解得， 即圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D. 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用几何法求得点P的轨迹方程，再转化为两个圆有公共点列式求解即可. 【详解】由圆的弦长为可知中点P到的距离即为， 所以动点P的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程为， 又圆上存在点P，则圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径为3，则，即， 解得或，即. 故选：C 7．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）若平面内两定点、的距离为4，动点满足，若点不在直线上，则三角形PAB的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，得到，当点到（轴）的距离最大时，求解三角形的面积的最大值即可． 【详解】解：以经过，的直线为轴，建立直角坐标系， 如图所示：    则，，设， ∵，∴， 整理得：，即， 当点到（轴）的距离最大，即最大值为时，三角形的面积最大， 所以三角形面积的最大值为． 故选：C． 8．（23-24高二上·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果. 【详解】设，则由，得到， 整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点， 又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，解得， 故选D. 二、多选题 9．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为2 B．两圆外离 C．若分别为两圆上的点，则两点间的最大距离为 D．若为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为 【答案】ACD 【分析】A选项，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；B选项，求出圆心距，得到，两圆相交；C选项，数形结合得到；D选项，由垂径定理得到，从而得到线段的中点的轨迹方程. 【详解】A选项，圆化为标准方程得， 由此可知圆的圆心坐标为，半径为2，故A选项正确； B选项，将圆的方程化为， 圆心，半径为3， 因此， 因为，所以，所以两圆相交，故B选项错误； C选项，根据圆的图象可知，故C选项正确； D选项，不妨设中点为，则，圆的半径为3， 由垂径定理可知，即， 设点的坐标为，又点的坐标为， 所以，故D选项正确. 故选：ACD. 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知为定点，且，下列条件中能满足动点的轨迹为圆的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】建立平面直角坐标系，根据选项条件坐标代入化简可得轨迹方程，判断轨迹是否为圆即可. 【详解】如图所示，以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，    设，则. A项，若，则， 整理得， 以代，以代，方程不变， 故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点， 令，得；令，得； 所以该轨迹不是圆，故A错误； B项，由，得， 即， 整理得，即， 所以点的轨迹是表示以为圆心，为半径的圆，故B正确； C项，若，则， 即，所以点的轨迹为圆，故C正确； D项，因为，所以， 即，所以点的轨迹为直线，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D. 【详解】显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确； 设的中点为，则 因为，所以， 即线段的中点的轨迹方程为，故B正确； 圆心，半径为，当时，直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确； 设关于直线的对称点为，则解得即， 因为，所以， 所以的最小值为，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高二上·北京·期中）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据点点距离即可列方程化简求解. 【详解】设，则， 化简得，即， 故答案为： 13．（23-24高二上·河南·期中）设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用两点距离公式先求得P轨迹方程，结合圆的位置关系计算即可. 【详解】设点，由，可知， 整理可得点的轨迹方程为， 即与存在交点， 易知，圆心距为， 因此，解得． 故答案为：. 14．（22-23高二上·全国·课后作业）已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式以及已知条件化简，即可得出答案. 【详解】设，则，. 因为， 所以，， 整理可得，， 即. 所以，点M的轨迹是圆，方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知点和圆． (1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程； （2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径， 因为直线过点，且被圆截得的弦长为， 所以，圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 即，则，解得， 故直线的方程为，即； ②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意. 综上所述，直线的方程为或． （2）解：设点，因为，则点为线段的中点， 设点，由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在圆上运动，则，可得， 故点的轨迹方程为． 16．（23-24高二上·广东·期末）已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解. （2）由（1）求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解. 【详解】（1）设，由题意得，即，化简得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径， 设直线的斜率为，即直线方程为，因为直线与圆相切， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 17．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 【答案】(1) (2)直线过定点. 【分析】（1）设，利用几何关系列出等式，从而可求解. （2）作出图形，可得四点共圆且在以为直径的圆上，设求出，将两圆相减得公共弦所在直线方程，从而可求解. 【详解】（1）设点，依题意知， 化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）由题意作出下图，因 ，所以， 所以四点共圆且在以为直径的圆上，    设，则圆心，半径 ， 得，即， 又在圆：上，所以弦为两圆的公共弦， 将两圆相减得公共弦所在直线方程：， 即， 由，得 ， 所以直线过定点. 18．（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)89 【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可； （2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论. 【详解】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 19．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得. (1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）设，由，得到，代入即可求解； （2）由圆，得到圆心，半径，再由得方程为的方程，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】（1）取中点为坐标系原点O，建立平面直角坐标系， 则， 设，因为，可得， 所以，可得， 整理得，即轨迹方程为. （2）由圆，可得，可得圆心，半径， 因为圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，可得得方程为或， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交， 又由圆的弦长公式，可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$