2.1 圆的方程（9种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

2.1 圆的方程（9种题型基础练+能力提升练） 一．圆的标准方程（共4小题） 1．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为3的圆的标准方程． 【解答】解：设圆心坐标， 由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直， 结合的斜率为1得直线的斜率为， 所以，化简得①， 再由的中点在直线上， 得到，化简得② 联解①②，可得，， 圆心的坐标为， 半径为3的圆的标准方程为． 故选：． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用． 2．（2023秋•常州期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 　或　． 【分析】由题意可设圆心为，由圆与两坐标轴都相切，可得，求解值，然后分类求得圆的方程． 【解答】解：由圆心在直线上，可设圆心为， 由圆与两坐标轴都相切，可得， 解得，或． 若，则圆心为，半径为6，圆的方程为； 若，则圆心为，半径为2，圆的方程为． 故答案为：或． 【点评】本题考查圆的方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题． 3．（2023秋•赣榆区期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程 　（答案不唯一）　． 【分析】由题设，设圆心为，则半径，讨论所求圆与圆外切、内切的两种情况，分别求出对应的值，即可得到答案． 【解答】解：设圆心为，则半径， 假设与圆外切，则， 整理得，故，即， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足条件． 假设与圆内切， 结合点与的距离为，可知圆内切于所求圆， 则，所以，故，可得， 若，则，则圆心为，半径为，可得； 若，则，不满足条件． 综上所述，所求的圆为或． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，考查了计算能力，属于中档题． 4．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． （1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； （2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【分析】（1）利用中点坐标公式算出点的坐标，然后根据平行四边形的性质、垂直的两条直线的斜率关系，算出直线的斜率，进而求出直线的方程； （2）根据算出点的坐标，然后由斜率关系证出，得到点到的距离等于，进而可得所求圆的标准方程． 【解答】解：（1）根据，，可得的中点为． 由、，得， 因为四边形为平行四边形，所以，得， 而直线，可知直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得． （2）设，根据，，， 可得，，结合，得，，，即， 根据，，得，即， 所以点到的距离为， 因此，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为． 【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式、平面直角坐标系内两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共4小题） 5．（2022秋•广陵区校级期中）以点，为直径端点的圆的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】求出圆心坐标和半径，即可求出圆的标准方程． 【解答】解：圆心为的中点，半径， 即圆的标准方程为， 故选：． 【点评】本题主要考查圆的标准方程，求出圆心坐标和半径是解决本题的关键，是基础题． 6．（2022秋•苏州校级期中）过点且与直线相切，圆心在轴上的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设出圆心，利用半径相等列出方程，求出，即可求出半径，即可求解． 【解答】解：设圆心为， 过点且与直线相切，圆心在轴， 则，解得， 故圆的半径， 故圆的方程为． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题． 7．（2022秋•金坛区校级期中）圆心为，半径为的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用圆的标准方程求解即可． 【解答】解：圆心为，半径为的圆的方程为． 故选：． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题． 8．（2023秋•苏州期中）经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设圆心，，求得的值，可得圆心和半径，从而求得圆的方程． 【解答】解：设圆心，则由所求的圆经过原点和点， 即， 求得，可得圆心为，，半径为， 故圆的方程为． 故选：． 【点评】本题主要考查求圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题． 三．由圆的标准方程求圆的几何属性（共3小题） 9．（2022秋•淮安期中）圆的圆心坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】利用圆的标准方程真假写出结果即可． 【解答】解：圆的圆心坐标是：． 故选：． 【点评】本题考查圆的标准方程的应用，考查计算能力． 10．（2022秋•苏州期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为，底面宽为，则该门洞的半径为　　 A． B． C． D． 【分析】设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【解答】解：设半径为，，解得，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查垂径定理，属于基础题． 11．（2021秋•扬州期末）已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】设圆的半径为，圆心为，则由已知可得，由此即可求解． 【解答】解：设圆的半径为，圆心为， 则由已知可得， 解得或0，当时，， 当时，， 故选：． 【点评】本题考查了圆的半径的求解问题，涉及到点到直线的距离公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题． 四．圆的一般方程（共6小题） 12．（2023秋•启东市校级期中）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足． 【解答】解：由，得， 即，解得． 故选：． 【点评】本题考查圆的一般方程，属于基础题． 13．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知实数，满足，则的最大值是　　 A． B．4 C． D．7 【分析】根据题意，设，分析和，结合直线与圆的位置关系可得有，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆， 设，变形可得，其几何意义为直线， 直线与圆有公共点，则有，解可得， 故的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题． 14．（2024•如东县校级开学）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是　　 A．，， B． C． D． 【分析】把圆的方程化为标准方程，根据题意列出不等式求解即可． 【解答】解：因为圆的方程为， 把圆的方程化为标准方程，得， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以， 化简得， 解得或， 所以的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了圆的一般方程与标准方程应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．（2023秋•徐州期末）圆的圆心坐标和半径分别为　　 A．，2 B． C．，2 D． 【分析】直接利用圆的方程求出结果． 【解答】解：圆的圆心坐标和半径分别为，． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 16．（2024秋•铜山区月考）已知△三个顶点的坐标分别是，，． （1）求△的面积． （2）求△外接圆的方程． 【分析】（1）由△的顶点坐标，求出三边的长，进而判断出三角形的形状； （2）设圆的一般方程，将点，，的坐标代入，可得参数的值，即求出圆的方程． 【解答】解：（1）因为，，， 所以，， ， 可得，即该三角形为等腰直角三角形， 所以； （2）设△的外接圆的方程为， 所以，解得，，， 所以△的外接圆的方程为：． 【点评】本题考查三角形外接圆的求法及三角形形状的判断，属于中档题． 17．（2023秋•徐州期末）已知直线，，直线过点且与垂直． （1）求直线的方程； （2）设分别与，交于点，，为坐标原点，求过三点，，的圆的方程． 【分析】（1）直接利用直线的垂直求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程； （2）利用直线间的关系建立方程组，进一步求出和的坐标，最后利用圆的一般式求出圆的方程， 【解答】解：（1）直线，，直线过点且与垂直， 故直线的斜率，故直线的方程为，整理得． （2）由于分别与，交于点，， 故，解得，故； 同理，解得，故． 由于圆经过点，，， 设圆的方程为， 故，解得， 故圆的方程为． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 五．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共2小题） 18．（2022秋•海州区校级期中）以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可． 【解答】解：由题可知，直线过定点，所以圆方程为， 即． 故选：． 【点评】本题考查直线系方程的应用，圆的方程的求法，是基础题． 19．（2020秋•南京期中）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，则圆的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】先求得、的坐标，可得线段的中垂线与轴的交点的坐标，再根据为所求的圆的圆心，所求圆的半径为，从而得到所求的圆的标准方程． 【解答】解：直线与两坐标轴分别交于点，， 圆经过，，且圆心在轴上， 线段的斜率为，中点为，故线段的中垂线为， 线段的中垂线与轴的交点为所求的圆的圆心，半径， 故圆的方程为，即， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的交点，圆的弦的性质，求圆的标准方程，属于中档题． 六．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共2小题） 20．（2023秋•江苏月考）已知圆的方程为，则圆的半径为　　 A． B．2 C． D．8 【分析】先将圆的方程变形为圆的标准方程，即可求解． 【解答】解：圆的方程为，即， 故圆的边角为． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的半径的求解，属于基础题． 21．（2021秋•东海县期中）圆的半径为　　 A．2 B． C． D． 【分析】先将圆的一般方程转化为标准方程，即可得到答案． 【解答】解：圆可变形为， 所以圆的半径为． 故选：． 【点评】本题考查了圆的一般方程的应用，解题的关键是将圆的一般方程转化为圆的标准方程，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 七．圆的一般式方程与标准方程的互化（共2小题） 22．（2024秋•鼓楼区校级月考）方程所表示的圆的最大面积为　　 A． B． C． D． 【分析】将方程配方整理，结合圆的标准方程，求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果． 【解答】解：将圆的一般方程整理为标准方程可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为． 故选：． 【点评】本题考查圆的性质的应用，属于基础题． 23．（2024秋•鼓楼区校级月考）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围　　 A． B．， C． D． 【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，可得关于的不等式，解可得答案． 【解答】解：根据题意，变形可得：， 所以圆心坐标，半径为3， 因为圆上所有点都在第二象限， 所以，即的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查圆的方程，注意求出圆心和半径，属于基础题． 八．二元二次方程表示圆的条件（共3小题） 24．（2022秋•亭湖区校级期末）方程表示一个圆，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【分析】根据圆的一般方程列出不等式求出的取值范围． 【解答】解：因为方程表示一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了圆的一般方程应用问题，是基础题． 25．（2022秋•泰兴市月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】将方程化为标准式即可计算求解． 【解答】解：方程可变形为， 因为方程表示圆，则， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题． 26．（2024春•江都区月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】利用圆的一般式方程，即可求出的范围． 【解答】解：由题意得：，化为， 解得或． 故选：． 【点评】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力． 九．点与圆的位置关系（共5小题） 27．（2023秋•广陵区校级期中）若点在圆的外部，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算． 【解答】解：依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得． 故． 故选：． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题． 28．（2022秋•响水县校级期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【分析】直接利用点到圆心的距离小于半径求出结果． 【解答】解：点在圆的内部， ， 可得， 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：点与圆的位置关系的应用，属于基础题． 29．（2023秋•赣榆区校级月考）点在圆的内部，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由点在圆的内部，得到圆心到的距离小于圆的半径，所以由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，利用两点间的距离公式求出圆心到的距离，让其小于半径列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围． 【解答】解：由圆，得到圆心坐标为，半径， 点在圆内部． 故选：． 【点评】此题考查学生掌握点与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题． 30．（2023秋•梁溪区校级期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 【分析】直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果． 【解答】解：由于在圆的内部， 所以点到圆心的距离， 即：，整理得：． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：点与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 31．（2023秋•新吴区校级期中）已知点在圆的外部，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由圆的一般方程和点与圆的位置关系列出不等式组，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，定点在圆的外部， 则有，解可得， 故选：． 【点评】本题考查圆的一般方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•响水县校级期末）已知圆的方程是，则它的半径是　　 A．1 B． C．2 D．4 【分析】直接把圆的方程的一般式转换为标准式，进一步求出圆的半径． 【解答】解：圆的方程是转换为标准式为， 故圆的半径为． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 2．（2024•如东县校级开学）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为　　 A． B． C． D． 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项． 【解答】解：对于，由于点，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故不符合题意； 对于，由于点，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故不符合题意； 对于，首先利用点，，的坐标求出满足圆的方程，的坐标不满足圆的方程，即圆过四个点中的三个点，故符合题意； 对于，由于点，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 3．（2023秋•靖江市校级期中）若，则方程表示的圆的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可． 【解答】解：由题意可知：， 解之得， 又，所以． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 4．（2023秋•海安市校级期中）若圆的半径为2，则实数的值为　　 A． B． C．9 D．8 【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案． 【解答】解：由，得， 所以，解得． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 5．（2022秋•金湖县月考）在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于，两点，若的面积的最大值为8，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．，， 【分析】把圆化为标准方程，写出圆心和半径，求出为最大时的形状，再利用圆心到直线的距离求出实数的取值范围． 【解答】解：圆化为标准方程是， 则圆心为，半径，， 当时，取最大值8，此时为等腰直角三角形， ， 则圆心到距离， ， 即， ， 即， 解得或． 实数的取值范围是，，． 故选：． 【点评】本题考查了圆的方程与三角形面积的计算问题，是中档题． 6．（2023秋•天宁区校级月考）已知直线恒过定点，则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由条件令参数的系数等于零，求得和的值，即可得到定点的坐标，由此可以求得过点的圆的半径，易得该圆的标准方程． 【解答】解：由得到：． 则， 解得， 即． 因为圆的圆心坐标是， 所以， 所以与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为：． 故选：． 【点评】本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，根据题意求得顶点的坐标是解题的关键． 二．多选题（共3小题） 7．（2023秋•海陵区校级月考）已知方程，则下列说法正确的是　　 A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解． 【解答】解：由题意，方程，可化为， 可得圆的圆心坐标为， 中，当时，此时，所以错误； 中，当时，此时，表示圆心为的圆，所以正确； 中，当时，表示的圆的半径为，所以错误； 中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 8．（2022秋•贾汪区校级月考）点在圆的内部，则的取值可能是　　 A． B． C． D．2 【分析】直接利用点和圆的位置关系求出的取值范围，进一步求出的值． 【解答】解：由于点在圆的内部， 所以，整理得，解得． 故满足条件的答案为：． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，点和圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 9．（2022秋•连云港月考）若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程． 【解答】解：设圆心坐标为，半径，到直线的距离， 所以，解得或． 当时，圆的方程为； 当时，圆的方程为． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 10．（2023秋•南京月考）圆的半径的最大值为 　　． 【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用二次函数的性质求出的最大值． 【解答】解：圆，转换为标准式为：． 故； 当时，取得最大值为，即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 11．（2022秋•雨花台区校级月考）过点，且与已知圆切于点的圆的方程为 　　． 【分析】首先利用两圆相切确定的圆心和切点三点共线，求出圆心所满足的直线方程，进一步利用弦的垂直平分线经过圆心，建立方程组，求出圆心的坐标和半径，最后求出圆的方程． 【解答】解：已知圆转换为， 该圆的圆心坐标为， 所以圆的圆心在过点和点的直线上，即，整理得． 同时也在点和点的垂直平分线上， 即直线的方程为． 所以圆的圆心坐标满足，解得， 圆的半径为． 故圆的方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，直线垂直的充要条件，点斜式的直线方程，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 12．（2021秋•高港区校级月考）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为，圆心在直线上，若圆上存在一点，使得直线与直线交于点，则当实数变化时，圆心的横坐标的取值范围是　，　． 【分析】先判断出点所在运动轨迹，利用点在圆上，表示出圆心距的范围即可求出圆心的横坐标取值范围 【解答】解：因为直线与直线互相垂直，且分别过定点，， 故点在以为直径的圆上运动，直径，即半径为，圆心坐标为， 又因为点在圆上，故两圆有公共点，所以两圆的圆心距满足， 即，解得， 故答案为，． 【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题 四．解答题（共5小题） 13．（2023秋•大丰区校级期末）已知点，，，是的垂心． （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的方程． 【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，依次求出直线，，通过联立方程组，即可求解． （2）设出的外接圆的方程，将，，三点代入上式，即可求解． 【解答】解：（1）点，，，是的垂心， ， ， 直线过点， 直线的方程为，即， ， 所在直线与轴垂直， ， 直线的方程为， 联立，解得，， 故点的坐标为． （2）设的外接圆的方程为， ，，， ，解得，，， 故的外接圆的方程为． 【点评】本题主要考查圆的方程的求解，考查计算能力，属于中档题． 14．（2022•南京开学）已知的三个顶点分别为，，． 求：（1）边中线所在的直线方程； （2）的外接圆的方程． 【分析】（1）直接利用中点坐标求出的坐标，进一步求出边的中线的直线的方程． （2）法一：直接利用圆的一般式建立方程组，进一步确定、、的值，最后求出圆的方程． 法二：首先利用中垂线求出圆心的坐标，进一步确定圆的半径，最后求出圆的方程． 【解答】解：（1）已知的三个顶点分别为，， 所以中点， 所以中线方程为． （2）解法一：设外接圆方程为 所以，解得． 故圆的方程为：． 解法二：已知的三个顶点分别为，， 所以中点，， 中垂线方程为：， 中垂线， 联立方程组得圆心， 半径 所以外接圆方程为． 【点评】本题考查的知识要点：中点的坐标，直线的方程的求法，圆的方程的求法，圆的一般式和标准式之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 15．（2023秋•靖江市校级月考）在平面直角坐标系中，已知四点，，，． （1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由． （2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标． 【分析】（1）设出经过，，三点的圆的方程，将三点代入解方程，求出，，的值，再将点坐标代入即可得出结论； （2）由图象可知当点是和的交点时，它到，，，的距离之和最小，分别求出直线，的方程，联立即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）设经过，，三点的圆的方程为， 所以，解得，，， 所以经过，，三点的圆的方程为， 由于，故点也在这个圆上， 因此，四点，，，都在圆上． （2）因为，当且仅当点在线段上时取等号， 同理，，当且仅当点在线段上时取等号． 因此，当点是和的交点时，它到，，，的距离之和最小， 因为直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为，． 【点评】本题主要考查圆的方程和两直线交点坐标的求法，属于中档题． 16．（2023秋•贾汪区校级月考）已知圆过点、，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，求的最大值． 【分析】（1）设圆的方程为：，利用待定系数法确定圆的方程； （2）由题意设出的坐标，利用中点坐标公式和圆的方程得到点的轨迹方程，数形结合易知当与相切时，取最大值． 【解答】解：（1）设圆的方程为：， 则有 解得． 圆的方程为：． （2）由（1）知， 设，，，则， ， 又在圆上， ， ，的轨迹方程为． 如图，当与相切时，取最大值， 此时， 所以． 【点评】本题考查的是圆的一般方程，考查了轨迹方程的求法，利用代入法求圆的方程，训练了中点坐标公式的应用，是中档题． 17．（2021秋•邗江区期中）已知圆． （1）求证：对任意实数，该圆恒过一定点； （2）若该圆与圆外切，求的值． 【分析】（1）将分离，可得，对任意实数成立，由，求得、的值，由此可得圆所经过的定点的坐标． （2）利用两圆外切，两圆的圆心距等于半径之和，求出的值． 【解答】（1）证明：圆，即， 由，求得，可得圆恒过一定点 （2）解：圆，即， 由于该圆和圆外切，故两圆的圆心距等于半径之和， 即，解得． 【点评】本题考查圆过定点，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 圆的方程（9种题型基础练+能力提升练） 一．圆的标准方程（共4小题） 1．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•常州期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 　　． 3．（2023秋•赣榆区期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程 　　． 4．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． （1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； （2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共4小题） 5．（2022秋•广陵区校级期中）以点，为直径端点的圆的方程是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•苏州校级期中）过点且与直线相切，圆心在轴上的圆的方程为　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•金坛区校级期中）圆心为，半径为的圆的方程为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•苏州期中）经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为　　 A． B． C． D． 三．由圆的标准方程求圆的几何属性（共3小题） 9．（2022秋•淮安期中）圆的圆心坐标是　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•苏州期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为，底面宽为，则该门洞的半径为　　 A． B． C． D． 11．（2021秋•扬州期末）已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为　　 A． B． C．或 D．或 四．圆的一般方程（共6小题） 12．（2023秋•启东市校级期中）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知实数，满足，则的最大值是　　 A． B．4 C． D．7 14．（2024•如东县校级开学）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是　　 A．，， B． C． D． 15．（2023秋•徐州期末）圆的圆心坐标和半径分别为　　 A．，2 B． C．，2 D． 16．（2024秋•铜山区月考）已知△三个顶点的坐标分别是，，． （1）求△的面积． （2）求△外接圆的方程． 17．（2023秋•徐州期末）已知直线，，直线过点且与垂直． （1）求直线的方程； （2）设分别与，交于点，，为坐标原点，求过三点，，的圆的方程． 五．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共2小题） 18．（2022秋•海州区校级期中）以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是　　 A． B． C． D． 19．（2020秋•南京期中）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，则圆的方程为　　 A． B． C． D． 六．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共2小题） 20．（2023秋•江苏月考）已知圆的方程为，则圆的半径为　　 A． B．2 C． D．8 21．（2021秋•东海县期中）圆的半径为　　 A．2 B． C． D． 七．圆的一般式方程与标准方程的互化（共2小题） 22．（2024秋•鼓楼区校级月考）方程所表示的圆的最大面积为　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•鼓楼区校级月考）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围　　 A． B．， C． D． 八．二元二次方程表示圆的条件（共3小题） 24．（2022秋•亭湖区校级期末）方程表示一个圆，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 25．（2022秋•泰兴市月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•江都区月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 九．点与圆的位置关系（共5小题） 27．（2023秋•广陵区校级期中）若点在圆的外部，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 28．（2022秋•响水县校级期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D． 29．（2023秋•赣榆区校级月考）点在圆的内部，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•梁溪区校级期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 31．（2023秋•新吴区校级期中）已知点在圆的外部，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•响水县校级期末）已知圆的方程是，则它的半径是　　 A．1 B． C．2 D．4 2．（2024•如东县校级开学）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•靖江市校级期中）若，则方程表示的圆的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋•海安市校级期中）若圆的半径为2，则实数的值为　　 A． B． C．9 D．8 5．（2022秋•金湖县月考）在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于，两点，若的面积的最大值为8，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．，， 6．（2023秋•天宁区校级月考）已知直线恒过定点，则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） 7．（2023秋•海陵区校级月考）已知方程，则下列说法正确的是　　 A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 8．（2022秋•贾汪区校级月考）点在圆的内部，则的取值可能是　　 A． B． C． D．2 9．（2022秋•连云港月考）若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是　　 A． B． C． D． 三．填空题（共3小题） 10．（2023秋•南京月考）圆的半径的最大值为 　　． 11．（2022秋•雨花台区校级月考）过点，且与已知圆切于点的圆的方程为 　　． 12．（2021秋•高港区校级月考）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为，圆心在直线上，若圆上存在一点，使得直线与直线交于点，则当实数变化时，圆心的横坐标的取值范围是　　． 四．解答题（共5小题） 13．（2023秋•大丰区校级期末）已知点，，，是的垂心． （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的方程． 14．（2022•南京开学）已知的三个顶点分别为，，． 求：（1）边中线所在的直线方程； （2）的外接圆的方程． 15．（2023秋•靖江市校级月考）在平面直角坐标系中，已知四点，，，． （1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由． （2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标． 16．（2023秋•贾汪区校级月考）已知圆过点、，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，求的最大值． 17．（2021秋•邗江区期中）已知圆． （1）求证：对任意实数，该圆恒过一定点； （2）若该圆与圆外切，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$